动态规划——数塔问题（三维数组的应用）

news2024/12/23 8:28:42

一、例题要求及理论分析

声明：理论指导《算法设计与分析第四版》

因为这个地方用到了三维数组，感觉很有意思就故意挑出来分享给大家（三维数组可以看成很多页二维数组）

4.5.1认识动态规划
数塔问题：
如图4-12所示的一个数塔，从顶层到底层或从底层到顶层，在每一结点可以选择向左走或是向右走，要求找出一条路径，使路径上的数值和最大。
问题分析：
(1）不难理解，这个问题用贪婪算法有可能会找不到真正的最大和。以图4-12为例就是如此。采用贪婪策略，无论是自上面下，还是自下而上，每次向下都选择较大的一个数移动，则路径和分别为：

数塔图
9+15+8+9+10=51（自上而下）,19+2+10+12+9=52（自下而上）
都得不到最优解，真正的最和是：
9+12+10+18+10=59
(2）要找到最大和的前提条件是，要能看到数塔的全貌，下面的算法设计都是以此为前提的。
在知道数塔全貌的前提下，可以用枚举法或第5章将学习的搜索算法来解决问题。但从图中可以看出，在数塔层数为 n 时，要枚举的路径为2^(n-1)条。在 n 稍大的情况下，需要列举出的路径条数是一个非常庞大的数目。所以枚举法也不是一个适合此问题的算法策略。
(3）这个问题的原始数据是一个三角形的二维图形，而且问题的答案与各层数据间关系复杂，不适合用分治算法分解为与原问题相似的子问题。
下面就学习用动态规划解决此问题。
算法设计：动态规划设计过程如下。
1．阶段划分
从数塔问题的特点来看，不难发现解决问题的阶段划分，应该是自下而上逐层决策。不同于贪婪策略的是做出的不是唯一决策，第一步对于第五层的8个数据，做如下4次决策：
对经过第四层2的路径，在第五层的19,7中选择19;
对经过第四层18的路径，在第五层的7,10中选择10;
对经过第四层9的路径，在第五层的10,4中也选择10;
对经过第四层5的路径，在第五层的4,16中选择16。
这是一次决策过程，也是一次递推过程和降阶过程。因为以上的决策结果将5阶数塔题变为4阶子问题，递推出第四层与第五层的和为：
21(2+19),28(18+10),19(9+10),21(5+16)

用同样的方法还可以将4阶数塔问题变为3阶数塔问题……最后得到的1阶数问题，就是整个问题的最优解。
2、存储、求解
1）原始信息存储
原始信息有层数和数塔中的数据，层数用一个整型变量 n 存储，数塔中的数据用二维数组 data ，存储成如下的下三角阵：

12 15

10 6 8

2 18 9 5

19 7 10 4 16

2）动态规划过程存储
由于早期阶段动态规划决策的结果是一组数据，且本次的决策结果是下次决策的唯一依据（无后效性），所以必须在存储每一次决策的结果，若仅仅是求最优解，用一个一维数组存储最新的决策结果即可；但若要同时找出最优解的构成或路径，则必须用二维数组 d 存储各阶段的决策结果。根据上面的算法设计，二维数组 d 的存储内容如下：

d [ n ][j]= data [ n ][j] j=1,2,……，n;
i = n -1, n -2,…,1, j =1,2,…, i 时
d [ i ][ j ]= max ( d [ i +1][j], d [ i +1][j+1])+ data [ i ][j]
最后 d [1][1］存储的就是问题的结果。

二、代码

#include<stdio.h>
int main()
{
 int a [50][50][3], i , j , n ;
 printf (" please input the number of rows :\n");
 scanf("%d",&n);
 for ( i =1; i <= n ; i = i +1)
   for ( j =1; j <= i ; j = j +1)
    { 
        scanf("%d",&a [ i ][ j ][1]);
        a [ i ][ j ][2]= a [ i ][ j ][1];
        a [ i ][ j ][3]=0;
    }
 for ( i = n -1; i >=1; i = i -1)
   for ( j =1; j <= i ; j = j +1)
    if ( a [ i +1][ j ][2]> a [ i +1][ j +1][2])
        {
        a [ i ][ j ][2]= a [ i ][ j ][2]+ a [ i +1][ j ][2];
        a [ i ][ j ][3]=0;
        }
   else 
       {
       a [ i ][ j ][2]= a [ i ][ j ][2]+ a [ i +1][ j +1][2]; a [ i ][ j ][3]=1;
       }
   printf (" max =%d\n", a [1][1][2]);
    j =1;
for ( i =1; i <= n -1; i = i +1)
{ printf ( "%d->",a [ i ][ j ][1]);
 j = j + a [ i ][ j ][3];
}
 printf ("%d", a [ n ][ i ][1]);
 return 0;
}