【算法优选】 动态规划之路径问题——贰

news2024/11/18 17:07:50

文章目录

  • 🎋前言
  • 🌲[下降最小路径和](https://leetcode.cn/problems/minimum-path-sum/)
    • 🚩题目描述
    • 🚩算法思路：
    • 🚩代码实现
  • 🎍[最小路径和](https://leetcode.cn/problems/minimum-path-sum/)
    • 🚩算法思路
    • 🚩代码实现
  • 🌴[地下城游戏](https://leetcode.cn/problems/dungeon-game/)
    • 🚩题目描述
    • 🚩算法思路
    • 🚩代码实现
  • ⭕总结

🎋前言

动态规划相关题目都可以参考以下五个步骤进行解答：

  1. 状态表⽰

  2. 状态转移⽅程

  3. 初始化

  4. 填表顺序

  5. 返回值

后面题的解答思路也将按照这五个步骤进行讲解。

🌲下降最小路径和

🚩题目描述

给你一个 n x n 的 方形 整数数组 matrix ，请你找出并返回通过 matrix 的下降路径 的 最小和 。

下降路径 可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）。具体来说，位置 (row, col) 的下一个元素应当是 (row + 1, col - 1)、(row + 1, col) 或者 (row + 1, col + 1) 。

  • 示例 1：

在这里插入图片描述
输入：matrix = [[2,1,3],[6,5,4],[7,8,9]]
输出：13
解释：如图所示，为和最小的两条下降路径

  • 示例 2：

在这里插入图片描述
输入：matrix = [[-19,57],[-40,-5]]
输出：-59
解释：如图所示，为和最小的下降路径

class Solution {
    public int minFallingPathSum(int[][] matrix) {

    }
}

🚩算法思路：

关于这⼀类题，由于我们做过类似的，因此「状态表⽰」以及「状态转移」是⽐较容易分析出来的。
⽐较难的地⽅可能就是对于「边界条件」的处理。

  1. 状态表⽰：
    对于这种「路径类」的问题，我们的状态表⽰⼀般有两种形式：
    • 从 [i, j] 位置出发，到达⽬标位置有多少种⽅式；
    • 从起始位置出发，到达 [i, j] 位置，⼀共有多少种⽅式

这⾥选择第⼆种定义状态表⽰的⽅式：
dp[i][j] 表⽰：到达 [i, j] 位置时，所有下降路径中的最⼩和。

  1. 状态转移⽅程：
    对于普遍位置 [i, j] ，根据题意得，到达 [i, j] 位置可能有三种情况：
    • 从正上⽅ [i - 1, j] 位置转移到 [i, j] 位置；
    • 从左上⽅ [i - 1, j - 1] 位置转移到 [i, j] 位置；
    • 从右上⽅ [i - 1, j + 1] 位置转移到 [i, j] 位置；

我们要的是三种情况下的「最⼩值」，然后再加上矩阵在 [i, j] 位置的值。于是 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j +1])) + matrix[i][j] 。

  1. 初始化：
    可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：
    • 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
    • 「下标的映射关系」。

在本题中，需要「加上⼀⾏」，并且「加上两列」。所有的位置都初始化为⽆穷⼤，然后将第⼀⾏初始化为0 即可。

  1. 填表顺序：
    根据「状态表⽰」，填表的顺序是「从上往下」。

  2. 返回值：
    注意这⾥不是返回 dp[m][n] 的值！

题⽬要求「只要到达最后⼀⾏」就⾏了，因此这⾥应该返回「dp表中最后⼀⾏的最⼩值」。

🚩代码实现

class Solution {
    public int minFallingPathSum(int[][] matrix) {
        // 1. 创建 dp 表
        // 2. 初始化
        // 3. 填表
        // 4. 返回结果
        int n = matrix.length;
        int[][] dp = new int[n + 1][n + 2];
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            dp[i][0] = dp[i][n + 1] = Integer.MAX_VALUE;
        }
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            for(int j = 1; j <= n; j++) {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], Math.min(dp[i - 1][j - 1],dp[i - 1][j + 1])) + matrix[i - 1][j - 1];
            }
        }
    
        int ret = Integer.MAX_VALUE;
        for(int j = 1; j <= n; j++) {
            ret = Math.min(ret, dp[n][j]);
        }
        return ret;
    }
}

🎍最小路径和

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

  • 示例 1：
    在这里插入图片描述
    输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
    输出：7
    解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

  • 示例 2：
    输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
    输出：12

class Solution {
    public int minPathSum(int[][] grid) {

    }
}

🚩算法思路

像这种表格形式的动态规划，是⾮常容易得到「状态表⽰」以及「状态转移⽅程」的，可以归结到「不同路径」⼀类的题⾥⾯。

  1. 状态表⽰：
    对于这种路径类的问题，我们的状态表⽰⼀般有两种形式：
    • 从 [i, j] 位置出发，一系列操作；
    • 从起始位置出发，到达 [i, j] 位置，一系列操作。

这⾥选择第⼆种定义状态表⽰的⽅式：dp[i][j] 表⽰：到达 [i, j] 位置处，最⼩路径和是多少。

  1. 状态转移：
    简单分析⼀下。如果 dp[i][j] 表⽰到达到达 [i, j] 位置处的最⼩路径和，那么到达[i, j] 位置之前的⼀⼩步，有两种情况：
    • 从 [i - 1, j] 向下⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置；
    • 从 [i, j - 1] 向右⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置。

由于到 [i, j] 位置两种情况，并且我们要找的是最⼩路径，因此只需要这两种情况下的最⼩值，再加上 [i, j] 位置上本⾝的值即可。也就是： dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]

  1. 初始化：
    可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：
    • 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
    • 「下标的映射关系」。

在本题中，「添加⼀⾏」，并且「添加⼀列」后，所有位置的值可以初始化为⽆穷⼤，然后让dp[0][1] = dp[1][0] = 1 即可。

  1. 填表顺序：
    根据「状态转移⽅程」的推导来看，填表的顺序就是「从上往下」填每⼀⾏，每⼀⾏「从左往后」。

  2. 返回值：
    根据「状态表⽰」，我们要返回的结果是 dp[m][n]

🚩代码实现

class Solution {
    public int minPathSum(int[][] grid) {
        // 1. 创建 dp 表
        // 2. 初始化
        // 3. 填表
        // 4. 返回值
        int m = grid.length;
        int n = grid[0].length;
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        for(int j = 0; j <= n; j++)  {
            dp[0][j] = Integer.MAX_VALUE;
        }
        for(int i = 0; i <= m; i++) {
            dp[i][0] = Integer.MAX_VALUE;
        }
        dp[0][1] = dp[1][0] = 0;
        for(int i = 1; i <= m; i++){
            for(int j = 1; j <= n; j++) {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i - 1][j-1];
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}

🌴地下城游戏

🚩题目描述

恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城 dungeon 的 右下角 。地下城是由 m x n 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士最初被安置在 左上角 的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。

骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。

有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。

为了尽快解救公主，骑士决定每次只 向右 或 向下 移动一步。

返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。

注意：任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

  • 示例 1：
    在这里插入图片描述
    输入：dungeon = [[-2,-3,3],[-5,-10,1],[10,30,-5]]
    输出：7
    解释：如果骑士遵循最佳路径：右 -> 右 -> 下 -> 下 ，则骑士的初始健康点数至少为 7 。

  • 示例 2：
    输入：dungeon = [[0]]
    输出：1

class Solution {
    public int calculateMinimumHP(int[][] dungeon) {

    }
}

🚩算法思路

  1. 状态表⽰：

这道题如果我们定义成：从起点开始，到达 [i, j] 位置的时候，所需的最低初始健康点数。那么我们分析状态转移的时候会有⼀个问题：那就是我们当前的健康点数还会受到后⾯的路径的影响。也就是从上往下的状态转移不能很好地解决问题。

这个时候我们要换⼀种状态表⽰：从 [i, j] 位置出发，到达终点时所需要的最低初始健康点数。这样我们在分析状态转移的时候，后续的最佳状态就已经知晓。

综上所述，定义状态表⽰为：
dp[i][j] 表⽰：从 [i, j] 位置出发，到达终点时所需的最低初始健康点数。

  1. 状态转移⽅程：
    对于 dp[i][j] ，从 [i, j] 位置出发，下⼀步会有两种选择（为了⽅便理解，设 dp[i] [j] 的最终答案是 x ）：
    • ⾛到右边，然后⾛向终点
      那么我们在 [i, j] 位置的最低健康点数加上这⼀个位置的消耗，应该要⼤于等于右边位置的最低健康点数，也就是： x + dungeon[i][j] >= dp[i][j + 1] 。通过移项可得： x >= dp[i][j + 1] - dungeon[i][j] 。因为我们要的是最⼩值，因此这种情况下的 x = dp[i][j + 1] - dungeon[i][j] ；
    • ⾛到下边，然后⾛向终点
      那么我们在 [i, j] 位置的最低健康点数加上这⼀个位置的消耗，应该要⼤于等于下边位置的最低健康点数，也就是： x + dungeon[i][j] >= dp[i + 1][j] 。通过移项可得： x >= dp[i + 1][j] - dungeon[i][j] 。因为我们要的是最⼩值，因此这种情况下的 x = dp[i + 1][j] - dungeon[i][j] ；

综上所述，我们需要的是两种情况下的最⼩值，因此可得状态转移⽅程为：dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j]

但是，如果当前位置的 dungeon[i][j] 是⼀个⽐较⼤的正数的话， dp[i][j] 的值可能变成 0 或者负数。也就是最低点数会⼩于 1 ，那么骑⼠就会死亡。因此我们求出来的 dp[i][j] 如果⼩于等于 0 的话，说明此时的最低初始值应该为 1 。处理这种情况仅需让 dp[i][j] 与 1 取⼀个最⼤值即可：dp[i][j] = max(1, dp[i][j])

  1. 初始化：
    可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：
    • 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
    • 「下标的映射关系」。

在本题中，在 dp 表最后⾯添加⼀⾏，并且添加⼀列后，所有的值都先初始化为⽆穷⼤，然后让dp[m][n - 1] = dp[m - 1][n] = 1 即可。

  1. 填表顺序：
    根据「状态转移⽅程」，我们需要「从下往上填每⼀⾏」，「每⼀⾏从右往左」。

  2. 返回值：
    根据「状态表⽰」，我们需要返回 dp[0][0] 的值

🚩代码实现

class Solution {
    public int calculateMinimumHP(int[][] d) {
        // 1. 创建 dp 表
        // 2. 初始化
        // 3. 填表
        // 4. 返回值
        int m = d.length;
        int n = d[0].length;
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        for(int j = 0; j <= n; j++) {
            dp[m][j] = Integer.MAX_VALUE;
        }
        for(int i = 0; i <= m; i++) {
            dp[i][n] = Integer.MAX_VALUE;
        }
        dp[m][n - 1] = dp[m - 1][n] = 1;
        for(int i = m - 1; i >= 0; i--) {
            for(int j = n - 1; j >= 0; j--) {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i][j + 1], dp[i + 1][j]) - d[i][j];
                dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], 1);
            }
        }
        return dp[0][0];
    }
}

⭕总结

关于《【算法优选】 动态规划之路径问题——贰》就讲解到这儿，感谢大家的支持，欢迎各位留言交流以及批评指正，如果文章对您有帮助或者觉得作者写的还不错可以点一下关注，点赞，收藏支持一下！

本文来自互联网用户投稿，该文观点仅代表作者本人，不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如若转载，请注明出处：http://www.coloradmin.cn/o/1302526.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符，请联系多彩编程网进行投诉反馈，一经查实，立即删除！

相关文章

12.11

12.11

1.q&#xff0c;w&#xff0c;e亮led1&#xff0c;2&#xff0c;3&#xff1b; a&#xff0c;s&#xff0c;d灭led1&#xff0c;2&#xff0c;3&#xff1b; main.c #include "uar1.h"#include "led.h"void delay(int ms){int i,j;for(i0;i<ms;i){for…
阅读更多...
计算机科学与技术认识实习【报告】

计算机科学与技术认识实习【报告】

一、实习目的 此次认识实习主要面对计算机科学与技术专业的同学&#xff0c;了解专业在未来的发展趋势&#xff0c;通过观看公司的介绍视频和技术发展情况招聘信息后的感想和学习体会等多种方式&#xff0c;使我们了解本专业相关领域的发展现状&#xff0c;让我们在校园内课堂上…
阅读更多...
(纯原创)基于JavaWeb的宠物领养商城（详细源码以及开发设计报告）

(纯原创)基于JavaWeb的宠物领养商城（详细源码以及开发设计报告）

摘要 本宠物领养系统以MVC分层为原则&#xff0c;数据持久化使用Mybatis&#xff0c;数据库使用MySQL&#xff0c;这些技术目前相对比较成熟&#xff0c;方便系统的维护与扩展 商城系统包括了宠物领养、用户注册、用户登录、商品查询、商品添加到购物车、删除商品等几大功能…
阅读更多...
Java LeetCode篇-二叉树经典解法（实现：判断平衡二叉树、找两个节点最近的祖先等）

Java LeetCode篇-二叉树经典解法（实现：判断平衡二叉树、找两个节点最近的祖先等）

&#x1f525;博客主页&#xff1a; 【小扳_-CSDN博客】 ❤感谢大家点赞&#x1f44d;收藏⭐评论✍ 文章目录 1.0 平衡二叉树 1.1 实现判断平衡二叉树的思路 1.2 代码实现判断平衡二叉树 2.0 二叉树的层序遍历 2.1 实现二叉树层序遍历的思路 2.2 代码实现二叉树层序遍历 3.0 …
阅读更多...
【C语言】【数据结构】自定义类型：结构体

【C语言】【数据结构】自定义类型：结构体

引言 这是一篇对结构体的详细介绍&#xff0c;这篇文章对结构体声明、结构体的自引用、结构体的初始化、结构体的内存分布和对齐规则、库函数offsetof、以及进行内存对齐的原因、如何修改默认对齐数、结构体传参进行介绍和说明。 ✨ 猪巴戒&#xff1a;个人主页✨ 所属专栏&am…
阅读更多...
Linux安装Nginx并部署Vue项目

Linux安装Nginx并部署Vue项目

今天部署了一个Vue项目到阿里云的云服务器上&#xff0c;现记录该过程。 1. 修改Vue项目配置 我们去项目中发送axios请求的文件里更改一下后端的接口路由&#xff1a; 2. 执行命令打包 npm run build ### 或者 yarn build 打包成功之后&#xff0c;我们会看到一个dist包&a…
阅读更多...
中文语音标注工具FunASR（语音识别）

中文语音标注工具FunASR（语音识别）

全称 A Fundamental End-to-End Speech Recognition Toolkit&#xff08;一个语音识别工具&#xff09; 可能大家用过whisper&#xff08;openAi&#xff09;&#xff0c;它【标注英语的确很完美】&#xff0c;【但中文会出现标注错误】或搞了个没说的词替换上去&#xff0c;所…
阅读更多...
万户协同办公平台ezoffice wpsservlet接口任意文件上传漏洞

万户协同办公平台ezoffice wpsservlet接口任意文件上传漏洞

声明 本文仅用于技术交流&#xff0c;请勿用于非法用途 由于传播、利用此文所提供的信息而造成的任何直接或者间接的后果及损失&#xff0c;均由使用者本人负责&#xff0c;文章作者不为此承担任何责任。 一、漏洞描述 万户ezOFFICE协同管理平台是一个综合信息基础应用平台&am…
阅读更多...
Linux网络——高级IO

Linux网络——高级IO

目录 一.五种IO模型 1.阻塞式IO 2.非阻塞式IO 3.信号驱动IO 4.多路转接IO&#xff1a; 5.异步IO 二.同步通信 vs 异步通信 三.设置非阻塞IO 1.阻塞 vs 非阻塞 2.非阻塞IO 3.实现函数SetNoBlock 四.I/O多路转接之select 1.初识select 2.select函数原型 3.socket就绪…
阅读更多...
3.c++进阶语法函数和指针

3.c++进阶语法函数和指针

1.函数 5&#xff1a;03 2.指针
阅读更多...
【51单片机系列】74HC595扩展实验之使用74HC595芯片在LED点阵中显示数字

【51单片机系列】74HC595扩展实验之使用74HC595芯片在LED点阵中显示数字

本实验实现的功能是使用74HC595芯片实在LED点阵中显示数字字符0。 要点亮多个LED灯&#xff0c;需要用到动态数码管的动态扫描原理。 首先如何点亮一行上面的多个灯或一列上面的多个灯&#xff0c;明显就是需要某行或某列有效&#xff0c;同时使多列或多行有效。比如在第一行有…
阅读更多...
记录 | xftp远程连接两台windows

记录 | xftp远程连接两台windows

1、打开openssh 设置 -> 应用 -> 可选功能 -> 添加功能 -> OpenSSH 客户端&#xff0c;将 ssh 客户端安装将两台电脑的 ssh 开启&#xff0c;cmd 中输入 net start sshd2、配置 win10 账号密码 3、进行 xftp 连接
阅读更多...
【Spring】@SpringBootApplication注解解析

【Spring】@SpringBootApplication注解解析

前言&#xff1a; 当我们第一次创建一个springboot工程时&#xff0c;我们会对启动类&#xff08;xxxApplication&#xff09;有许多困惑&#xff0c;为什么只要运行启动类我们在项目中自定义的bean无需配置类配置&#xff0c;扫描就能自动注入到IOC容器中&#xff1f;为什么我…
阅读更多...
java--LinkedList集合的底层原理

java--LinkedList集合的底层原理

1.什么是链表&#xff1f;有啥特点&#xff1f; ①链表中的结点是独立的对象&#xff0c;在内存中是不连续的&#xff0c;每个结点包含数据值和下一个结点的地址。 ②链表的特点1&#xff1a;查询慢&#xff0c;无论查询那个数据都要从头开始找。 ③链表的特点2&#xff1a;链…
阅读更多...
day3_qt

day3_qt

完善对话框&#xff0c;点击登录对话框&#xff0c;如果账号和密码匹配&#xff0c;则弹出信息对话框&#xff0c;给出提示”登录成功“&#xff0c;提供一个Ok按钮&#xff0c;用户点击Ok后&#xff0c;关闭登录界面&#xff0c;跳转到其他界面 如果账号和密码不匹配&#xf…
阅读更多...
进程、容器与虚拟机的区别

进程、容器与虚拟机的区别

进程、容器与虚拟机 参考&#xff1a;关于进程、容器与虚拟机的区别&#xff0c;你想知道的都在这&#xff01; 进程、容器与虚拟机的结构图 进程 介绍 进程是一个正在运行的程序&#xff0c;它是一个个可执行文件的实例。当一个可执行文件从硬盘加载到内存中的时候&#xf…
阅读更多...
安装Anconda时出现Failed to extract packages的解决方法

安装Anconda时出现Failed to extract packages的解决方法

目录 1. 问题所示2. 原理分析3. 解决方法 1. 问题所示 在win7安装Anconda的时候&#xff0c;出现Failed to extract packages 截图如下所示&#xff1a; 2. 原理分析 该版本过于新&#xff0c;无法兼容win7系统&#xff0c;要么更换系统 要么将anconda版本降低即可 3. 解决…
阅读更多...
基于SSM超市订单管理系统（Java毕业设计）

基于SSM超市订单管理系统（Java毕业设计）

大家好&#xff0c;我是DeBug&#xff0c;很高兴你能来阅读&#xff01;作为一名热爱编程的程序员&#xff0c;我希望通过这些教学笔记与大家分享我的编程经验和知识。在这里&#xff0c;我将会结合实际项目经验&#xff0c;分享编程技巧、最佳实践以及解决问题的方法。无论你是…
阅读更多...
计算机二级Python基本操作题-序号46

计算机二级Python基本操作题-序号46

Python 函数查询 1. 《卖火柴的小女孩》是丹麦童话故事作家安徒生的一篇童话故事&#xff0c;发表于1846年。主要讲了一个卖火柴的小女孩在富人阖家欢乐、举杯共庆的大年夜冻死在街头的故事。这里给出《卖火柴的小女孩》的一个网络版本文件&#xff0c;文件名为“小女孩.txt”…
阅读更多...
IOday8作业

IOday8作业

使用消息队列完成两个进程之间相互通信(多进程) #include<myhead.h>//定义结构体 struct buf {long mtype;char mtest[1024]; };#define SIZE (sizeof(struct buf)-sizeof(long))//进程 int main(int argc, const char *argv[]) {//创建keykey_t key1 ftok("/&quo…
阅读更多...
推荐文章
最新文章

Copyright @ 2022~2023