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P4071 [SDOI2016] 排列计数 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
https://www.luogu.com.cn/problem/P4071题干:
有多少个1到n的排列a，使得恰好有m个位置满足ai = i ， 回答T组询问，答案多 10^9+7取模
数据范围： n,m<=1e6, T<=1e5;
思路：
第一步：假设有m个位置满足ai=i，先从n个数字里面选出m个位置，然后把它们放到它们应该在的地方。
一共有C（n，m）种方案 。
第二步：求剩下的n-m个数字 错排的情况有多少种，
假设 d（x）表示 t个数字错排的情况，那么由公式可得：
d（x） = (x-1) ( d(x-1) + d(x-2) )
很明显满足递推关系。
所以答案就是： C（n，m）* （n-m-1）* （ d(x-1)+d(x-2) ) % P
如何求组合数？ 我们都知道公式
要求 整个式子模P的值怎么求呢？
第一步，预处理 所有的阶乘模上P的值，放进一个数组frc。
第二步，设置一个求逆元的函数inv（），由于模数是质数，所以我们考虑用快速幂。
又由于第一步已经求了所有的阶乘，所以第二步，我们用上面的结果就可，求出m！，（n-m）！
的逆元，然后相乘取模： inv（m！）*inv（（n-m）！） * n！ （mod p）
第三步，预处理所有的错排情况，存入数组D。
(别忘了特判一下，n==m的情况）
最后美美滴写答案就可以了。
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#include<iostream>
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#include<cstring>
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using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N = 1e6+7;
const ll M = 1e6+7;
const ll P = 1e9 + 7;
ll get_inv(ll a, ll b) {
ll s = 1;
while (b) {
if (b & 1)s = s * a % P;
a = a * a % P;
b >>= 1;
}
return s;
}
ll frc[N];
void get_frc(void) {
for (ll i = 1; i <= N; i++) {
frc[i] = frc[i - 1] * i % P;
}
}
ll D[N];
void get_d() {
for (ll i = 3; i <= N; i++) {
D[i] = ((i - 1)) * (D[i - 1] + D[i - 2]) % P;
}
}
int main() {
frc[0] = 1;
D[1] = 0;
D[2] = 1;
get_d();
get_frc();
ll t;
cin >> t;
while (t--) {
ll n, m;
cin >> n >> m;
if (n == m)cout << 1 << endl;
else {
ll sum = get_inv(frc[m], P - 2)%P * get_inv(frc[n - m], P - 2)%P * frc[n]%P * D[n - m] % P;
cout << sum<<endl;
}
}
}
