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基本概念

Bootstrap方法是一种统计技术，用于估计一个样本统计量的分布（例如均值、中位数或标准偏差）。它通过从原始数据集中重复抽取样本（通常是带替换的）来工作，允许评估统计量的变异性和不确定性。这种方法特别有用于小样本数据集或当传统参数统计方法不适用时。

Bootstrap过程的基本步骤如下：

1. 重复抽样：从原始数据集中随机抽取n个观测值，形成一个新的样本。这个过程通常是带替换的，意味着同一个观测值可以在一个样本中出现多次。

2. 计算统计量：在每个新生成的样本上计算感兴趣的统计量（例如均值或中位数）。

3. 重复过程：重复上述两步多次（通常是成千上万次），生成统计量的多个估计值。

4. 分析结果：通过观察所有估计值的分布来评估统计量的分布、置信区间等。

习题7.3

1. 题目要求

2.解题过程

解：

相继地、独立地自原始样本数据用放回抽样的方法，得到10000个容量均为5的Bootstrap 样本。

对每个Bootstrap样本算出样本均值 ${\overline{x}}_i^{{}^{\ast }}(i=1,2,\cdots ,10000)$ ，将10000个 ${\overline{x}}^{\ast }$ 按自小到大排序，左起第500位为 ${\overline{x}}_{(500)}^{\ast }=1098$ ，左起第9500位为 ${\overline{x}}_{(9500)}^{\ast }=1232$ ，于是得 μ 的一个置信水平为0.90的Bootstrap置信区间为
$$({\overline{x}}_{(500)}^{\ast },{\overline{x}}_{(9500)}^{\ast })=(1098,1232)$$

3.程序

求解的MATLAB程序如下：

clc, clear

a = [1050, 1100, 1120, 1250, 1280];
b = bootci(10000, {@ (x)mean(x), a}, 'alpha', 0.1);
b

4.结果

得 μ 的一个置信水平为0.90的Bootstrap置信区间为:
$$({\overline{x}}_{(500)}^{\ast },{\overline{x}}_{(9500)}^{\ast })=(1098,1232)$$

习题7.5

1. 题目要求

2.解题过程

解：

求解 x 和 y 之间的回归方程，即一个能够最佳拟合这些数据的线性模型.

构造线性方程组的系数矩阵 b。它由四列组成，分别是 1/x、1、x 和 x 的平方。这些列的选择基于假设的线性关系形式，但也可以根据具体的问题进行调整。需要注意的是，已经对 x 取了转置，使其成为一个列向量。

求出的系数矩阵如下：
$$b=\left[\begin{array}{cccc}1.0000& 1.0000& 1.0000& 1.0000\\ 0.5000& 1.0000& 2.0000& 4.0000\\ 0.2500& 1.0000& 4.0000& 16.0000\\ 0.2000& 1.0000& 5.0000& 25.0000\\ 0.1429& 1.0000& 7.0000& 49.0000\\ 0.1250& 1.0000& 8.0000& 64.0000\\ 0.1111& 1.0000& 9.0000& 81.0000\\ 0.1000& 1.0000& 10.0000& 100.0000\end{array}\right]$$
最后，使用反斜杠符号求解线性方程组的最小二乘解。具体来说，它使用了正规方程的方法，即求解 $(b^{T}b{)}^{-1}{b}^{T}y$，其中 $b^T$ 表示 b 的转置，${}^{-1}$ 表示矩阵的逆，$y$ 表示因变量的向量。最终的结果是一个包含了四个系数的列向量，分别对应于 b 矩阵的四列。这些系数定义了回归方程的形式，可以用于预测新的因变量值。

最终求解得到的回归方程为：
$$y=\frac{0.6498}{x}+0.5901+0.0666x-0.0091x^2,$$

3.程序

求解的MATLAB程序如下：

clc, clear

x = [1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10]';
y = [1.3, 1, 0.9, 0.81, 0.7, 0.6, 0.55, 0.4]';

b = [1 ./ x, ones(size(x)), x, x.^2] % 构造线性方程组的系数矩阵
% 这一行代码构造了线性方程组的系数矩阵 b。它由四列组成，分别是 1/x、1、x 和 x 的平方

% 使用反斜杠符号求解线性方程组的最小二乘解
cs = b \ y % 求最小二乘解

4.结果

回归方程为：
$$y=\frac{0.6498}{x}+0.5901+0.0666x-0.0091x^2,$$

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