一、预备知识

1、字母表和符号串

字母表： 符号的非空有限集 例：$\sum$=$a，b，c$
符号： 字母表中的元素 例： $a，b，c$
符号串： 符号的有穷序列 例：$a,aa,ac,abc，..$
空符号串：无任何符号的符号串$(\epsilon )$

2、符号串形式定义

有字母表$\sum$，定义：
（1）ε是$\sum$上的符号串；
（2）若x是$\sum$上的符号串，且a $\in$ $\sum$，则 ax 或 xa 是$\sum$上的符号串；
（3）y是$\sum$上的符号串，$iff$ （当且仅当）y可由（1）和（2）产生。

3、符号串相等

1. 符号串相等：若x、y是集合上的两个符号串，则x＝y iff（当且仅当）组成x的每一个符号和组成y的每一个符号依次相等
2. 符号串的长度：x为符号串，其长度$|x|$等于组成该符号串的符号个数。
3. 符号串的联接：若x、y是定义在Σ上的符号串， 且$x＝XY，y＝YX$，则x和y的联接 $xy＝XYYX$也是$\Sigma$上的符号串。
4. 符号串集合的乘积运算：令A、B为符号串集合，定义 $AB＝${$xy|x\in A,y\in B$}
   $A＝${$s,t$}, $B=$ {$u,v$}, $AB=${$su，sv，tu，tv$}
   注意因为$\epsilon x＝x\epsilon ＝x$，所以{$\epsilon$}$A=A$ {$\epsilon$}$=A$。但$\epsilon A$=$A\epsilon$=$\varnothing$
5. 符号串集合的幂运算：$A^2$=AA ,$A^n=A^{n-1}A=A{A}^{n-1}$
6. 符号串集合的闭包运算：设A是符号串集合，定义
   $A^{＋}＝A^1\cup A^2\cup A^3\cup \dots \dots \cup A^n\cup \dots$ 称为集合A的正闭包。
   $A\ast ＝A^0\cup A^{＋}$ 称为集合A的闭包

4、延申

1. 若A为某语言的基本字符集( 把字符看作符号）
   $A＝${$a,b,\dots \dots z,0,1,\dots \dots ,9,+,－,\times {,}_{,}/,(,),=,\dots \dots$}
2. B为单词集 （单词是符号串）
   $B=${$begin,end,if,then,else,for,\dots \dots ,<标识符>,<常量>,\dots \dots$}
3. C是句子（语言的句子是定义在B上的符号串。）
   若令C为句子集合，则$C\subset B\ast$ , 程序$\subset C$
4. 词法：若把字符看作符号，则单词就是符号串，单词集合就是符号串的集合。
5. 句法：若把单词看作符号，则句子就是符号串，而所有句子的集合（即语言）就是符号串的集合。

二、文法

1、 一些概念

1. 文法：对语言结构的定义与描述。即从形式上用于描述和规定语言结构的称为“文法”（或称为“语法”）。
2. 语法规则：我们通过建立一组规则，来描述句子的语法结构。规定用“$::=$”表示“由…组成”（或“定义为…”）。 eg.$<句子>::=<主语><谓语>$
3. 由规则推导句子：有了一组规则之后，可以按照一定的方式用它们去推导或产生句子。
4. 推导方法：从一个要识别的符号开始推导，即用相应规则的右部来替代规则的左部，每次仅用一条规则去进行推导。
   这种推导一直进行下去，直到所有带< >的符号都由终结符号替代为止
   有若干语法成分同时存在时，我们总是从最左的语法成分进行推导，这称之为最左推导，类似的有最右推导(还有一般推导）。

从一组语法规则可推出不同的句子，如以上规则还可推出“大象吃象”、“大花生吃象”、“大花生吃花生”等句子，它们 在语法上都正确，但在语义上都不正确。
所谓文法是在形式上对句子结构的定义与描述，而未涉及语义问题。
5. 语法（推导）树：我们用语法（推导）树 来描述一个句子的语法结构。
语法成分：在形式语言中又称“非终结符”
单词符号：在形式语言中又称“终结符号”

2、文法的定义

$文法G=（V_n，V_t，P，Z）$
$V_n：非终结符号集$
$V_t：终结符号集$
$P：产生式或规则的集合$
$Z：开始符号（识别符号）Z\in Vn$

其中，$V＝V_n\cup V_t$称为文法的字汇表。
$规则：U::=xU\in V_n,x\in V^{\ast }$

规则的定义：规则是一个有序对(U, x), 通常写为: $U::=x$ 或$U\to x$ , $|U|=1$ $|x|$ >= $0$

3、推导的形式定义

$文法G：v＝xUy，w＝xuy$
$其中x、y\in V^{\ast }，U\in V_n,u\in V^{\ast }$
$若U::=u\in P，则v={>}^{G}w$
$若x=y=\epsilon 有U::=u，则U={>}^{G}u$

$文法G，u_0,u_1,u_2,\dots \dots ，u_n\in V^{+}$
$ifv=u_0={>}^G{u}_1={>}^G{u}_2={>}^G\dots \dots ={>}^G{u}_n＝w$
$则v={>}_G^{+}w$

$文法G，有v，w\in V^{+}$
$ifv={>}_G^{+}w,或v=w，则v={>}_G^{\ast }w$

4、规范推导

$有xUy==>xuy,若y\in V_t^{\ast },则此推导为规范的，记为xUy$ =|=> $xuy$

直观意义：规范推导＝最右推导
最右推导：若规则右端符号串中有两个以上的非终结符时，先推右边的。
最左推导：若规则右端符号串中有两个以上的非终结符时，先推左边的

若有v = u0 =|=> u1=|=> u2=|=>……=|=> un= w, 则 $v$ $=|={>}^{+}$ $w$

5、语言的形式定义

1. $句型：x是句型等价于Z={>}^{\ast }x,且x\in V^{\ast }；$
2. $句子：x是句型等价于Z={>}^{+}x,且x\in V_t^{\ast }；$
3. $语言：L(G[Z]）=${$x|x\in V_t^{\ast },Z={>}^{+}x$} ；
   $G和G’是两个不同的文法，若L(G)=L(G’),则G和G’为等价文法。$

6、递归文法

递归规则：规则右部有与左部相同的符号（非终结符）对于 $U::=xUy$

1. $若x=\epsilon ,即U::=Uy，左递归$
2. $若y=\epsilon ,即U::=xU，右递归$
3. $若x,y\ne \epsilon ，即U::=xUy，自嵌入递归$

递归文法：文法G，存在$U\in V_n$
$ifU=={>}^{+}\dots U\dots ,则G为递归文法；$
$ifU==>U^{+}\dots ,则G为左递归文法；$
$ifU=={>}^{+}\dots U,则G为右递归文法。$

递归文法的优点：可用有穷条规则，定义无穷语言

左递归文法的缺点：不能用自顶向下的方法来进行语法分析

7、BNF范式

巴克斯范式（Backus-Naur Form，简称BNF）是一种用于描述上下文无关文法（Context-Free Grammar，简称CFG）的形式化表示方法,具体规则如下：

1. 非终结符（Non-terminal symbols）：用尖括号括起来，表示语法规则的左侧。非终结符表示一类语法结构，可以根据产生式规则进行替换。
2. 终结符（Terminal symbols）：用引号括起来，表示语法规则的右侧。终结符是构成实际句子的基本符号，是语言中的实际词汇或符号。

expr     -> expr '+' term | expr '-' term | term
term     -> term '*' factor | term '/' factor | factor
factor   -> '(' expr ')' | NUMBER

总结

编译主要的目的是：$给定C语言程序x以及语言规范G,求x\in L(G)?$

三、短语、简单短语和句柄

$给定文法G[Z],w=xuy\in V+，为该文法的句型$

$若Z=={>}^{\ast }xUy,且U=={>}^{+}u,则u是句型w相对于U的$短语；

$若Z=={>}^{\ast }xUy,且U==>u,则u是句型w相对于U的$简单短语。

$其中U\in V_n，u\in V^{+}，x,y\in V^{\ast }$

$任一句型的最左简单短语称为该句型的$句柄。

直观理解：短语u 是目标句型w的一部分或全部，是推导过程的前面某个句型(xUy)中的某个非终结符(U)所能推出的符号串。

任何句型本身一定是相对于识别符号Z的短语

四、语法树(推导树)

1、概念

句子( 句型）结构的图示表示法，它是有向图，由结点和有向边组成。
根结点： 识别符号（非终结符）。
中间结点：非终结符。
叶结点： 终结符或非终结符。
有向边：表示结点间的派生关系。

2、语法树推导–句型的推导

一般采用自顶向下分析法
给定G[Z]，句型w：可建立推导序列，$Z=={>}_G^{\ast }w$
可建立语法树，以Z为树根结点，每步推导生成语法树的一枝，最终可生成句型w的语法树。

3、规约

自下而上地修剪子树的某些末端结点（短语），直至把整棵树剪掉（留根），每剪一次对应一次归约。
从句型开始，自右向左地逐步进行归约，建立推导序列。
通常我们每次都剪掉当前句型的句柄（最左简单短语）即每次均进行规范归约。即对句型中最左简单短语(句柄) 进行的归约称为 规范归约

五、二义性

1、二义性文法

若对于一个文法的某一句子（或句型）存在两棵不同的语法树，则该文法是二义性文法，否则是无二义性文法。

无二义性文法的句子只有一棵语法树，尽管推导过程可以不同。（如最左推导，规范推导等）

若一个文法的某句子存在两个不同的规范推导，则该文法是二义性的，否则是无二义性的。

若文法是二义性的，则在编译时就会产生不确定性，遗憾的是在理论上已经证明：文法的二义性是不可判定的，即不可能构造出一个算法，通过有限步骤来判定任一文法是否有二义性。
现在的解决办法是：提出一些限制条件，称为无二义性的充分条件，当文法满足这些条件时，就可以判定文法是无二义性的。

2、二义性的改进

优先级的实现：层次定义：越靠上层，优先级越低；越靠下层，优先级越高

3、有害文法

1. 若文法中有如U::=U的规则，则这就是有害规则，它会引起二义性
   
2. 多余规则：在推导文法的所有句子中，始终用不到的规则。即该规则的左部非终结符不出现在任何句型中（不可达符号）
   在推导句子的过程中，一旦使用了该规则，将推不出任何终结符号串。即该规则中含有推不出任何终结符号串的非终结符（不活动符号）

六、乔姆斯基文法体系

1、概念

形式语言：用文法和自动机所描述的没有语义的语言。
文法定义：乔姆斯基将所有文法都定义为一个四元组：

$文法G=（V_n，V_t，P，Z）$
$V_n：非终结符号集$
$V_t：终结符号集$
$P：产生式或规则的集合$
$Z：开始符号（识别符号）Z\in Vn$

2、分类

文法和语言分类：0型、1型、2型、3型
这几类文法的差别在于对产生式（语法规则）施加不同的限制。

1. 0型——PSG
   $P：u::=v其中u\in V^{＋}，v\in V^{\ast }V=V_n\cup V_t$
   0型文法称为短语结构文法。规则的左部和右部都可以是符号串，一个短语可以产生另一个短语
2. 1型——CSG（上下文有关文法）
   $P：xUy::=xuy其中U\in V_n，x、y、u\in V^{\ast }$
   称为上下文敏感或上下文有关。也即只有在x、y这样的上下文中才能把U改写为u。
   左边即要有多个终结符或者非终结符，一定要有终结符。
   1型和0型区别是左边与右边长度比较，1型右边一定比左边长
3. 2型——CFG（上下文无关文法）
   $P：U::=u其中U\in V_n，u\in V^{\ast }$
   称为上下文无关文法。也即把U改写为u时，不必考虑上下文。(1型文法的规则中x，y均为 ε 时即为2型文法）
   箭头左边一般一个字符，因此推导不受上下文约束
   2型文法与BNF表示相等价
4. 3型——RG（正则文法）
   
   3型文法称为正则文法。它是对2型文法进行进一步限制，一个规则中只允许一个终结符和一个非终结符组合。
   3、总结
   二义性和这些文法的关系