《形式语言与自动机理论（第4版）》笔记（三）

文章目录

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前导
《形式语言与自动机理论（第4版）》笔记（一）
《形式语言与自动机理论（第4版）》笔记（二）

第四章：正则表达式
4.1|启示
4.2|正则表达式的形式定义
正则表达式性质

4.3|正则表达式与 $F A$ 等价
正则表达式表示的语言是正则语言
$n = 0$ 时
$\varepsilon$
$\emptyset$
$\forall a \in \Sigma$ ， $r = a$

$n = k + 1$ 时
$r = r_{1} + r_{2}$
$r = r_{1} r_{2}$
$r = r_{1}^{*}$

例题
问题
解答

正则语言可以用正则表达式表示
构造与 $D F A$ 等价的正则表达式
图上作业方法
预处理
循环操作

4.4|正则语言等价模型的总结

前导

《形式语言与自动机理论（第4版）》笔记（一）

《形式语言与自动机理论（第4版）》笔记（二）

第四章：正则表达式

4.1|启示

4.2|正则表达式的形式定义

正则表达式性质

$\varepsilon)^{*}) = L(r^{*})$
$L((r^{*} s^{*})^{*}) = L((r + s)^{*})$

4.3|正则表达式与 $F A$ 等价

正则表达式表示的语言是正则语言

施归纳于正则表达式中所含运算符的个数 $n$ ，证明对于字母表 $\Sigma$ 上的任意正则表达式 $x$ ，存在 $\ M$ ，使得 $L (M) = L (x)$ ，并且 $M$ 恰有一个终止状态，而且 $M$ 在终止状态下不做任何移动

$n = 0$ 时

$\varepsilon$

$\emptyset$

$\forall a \in \Sigma$ ， $r = a$

$n = k + 1$ 时

$r = r_{1} + r_{2}$

此时 $r_{1}$ ， $r_{2}$ 种运算符的个数不会大于 $k$ ，由归纳假设，存在满足定理要求的 $\varepsilon-NFA$ ， $M_{1} = (Q_{1} , \Sigma , \delta_{1} , q_{01} , \set{f_{1}})$ ， $M_{2} = (Q_{2} , \Sigma , \delta_{2} , q_{02} , \set{f_{2}})$ ，使得 $L(M_{1}) = L(r_{1})$ ， $L(M_{2}) = L(r_{2})$
不妨设 $Q_{1} \cup Q_{2} = \emptyset$ ，取 $q_{0}$ ， $\notin Q_{1} \cup Q_{2}$ ，令 $(Q_{1} \cup Q_{2} \cup \set(q_{0} , f) , \Sigma , \delta , q_{0} , \set{f})$ ，其中 $\delta$ 的定义为
- $\delta(q_{0} , \varepsilon) = \set{q_{01} , q_{02}}$
- 对 $\forall q \in Q_{1} - \set{f_{1}}$ ， $\in \Sigma \cup \set{\varepsilon}$ ， $\delta(q , a) = \delta_{1}(q , a)$ ，对 $\forall q \in Q_{2} - \set{f_{1}}$ ， $\in \Sigma \cup \set{\varepsilon}$ ， $\delta(q , a) = \delta_{2}(q , a)$
- $\delta(f_{1} , \varepsilon) = \set{f}$
- $\delta(f_{2} , \varepsilon) = \set{f}$

往证 $L(r_{1} + r_{2}) = L(M)$
- 由归纳假设， $L(r_{1}) = L(M_{1})$ ， $L(r_{2}) = L(M_{2})$ ，根据正则表达式的定义 $L(r_{1} + r_{2}) = L(r_{1}) \cup L(r_{2})$ ， $L(r_{1} + r_{2}) = L(M_{1}) \cup L(M_{2})$ ，因此，只需要证明 $L(M_{1}) \cup L(M_{2})$
- 先证 $L(M_{1}) \cup L(M_{2}) \subseteq L(M)$
  - 设 $\in L(M_{1}) \cup L(M_{2})$ ，从而有 $\in L(M_{1})$ ，或者 $\in L(M_{2})$
  - 当 $\in L(M_{1})$ 时，有 $\delta_{1}(q_{01} , x) = \set{f_{1}}$
  - 由 $M$ 的定义可得 $\begin{aligned} \delta(q_{0} , x) &= \delta(q_{0} , \varepsilon x \varepsilon) \\ &= \delta(\delta(q_{0} , \varepsilon) , x \varepsilon) \\ &= \delta(\set{q_{01} , q_{02}} , x \varepsilon) \\ &= \delta(q_{01} , x \varepsilon) \cup \delta(q_{02} , x \varepsilon) \\ &= \delta(\delta(q_{01} , x) , \varepsilon) \cup \delta(\delta(q_{02} , x) , \varepsilon) \\ &= \delta(\delta_{1}(q_{01} , x) , \varepsilon) \cup \delta(\delta_{2}(q_{02} , x) , \varepsilon) \\ &= \set{f} \cup \delta(\delta_{2}(q_{02} , x) , \varepsilon) \end{aligned}$
  - 即 $\in L(M)$
  - 同理可证，当 $\in L(M_{2})$ 时， $\in L(M)$
- 再证 $\subseteq L(M_{1}) \cup L(M_{2})$
  - 设 $\in L(M)$ ， $\in \delta(q_{0} , x)$
  - 按照 $M$ 的定义， $\begin{aligned} \delta(q_{0} , x) &= \delta(q_{0} , \varepsilon x \varepsilon) \\ &= \delta(\delta(q_{0} , \varepsilon) , x \varepsilon) \\ &= \delta(\set{q_{01} , q_{02}} , x \varepsilon) \\ &= \delta(q_{01} , x \varepsilon) \cup \delta(q_{02} , x \varepsilon) \\ &= \delta(\delta(q_{01} , x) , \varepsilon) \cup \delta(\delta(q_{02} , x) , \varepsilon) \\ &= \delta(\delta_{1}(q_{01} , x) , \varepsilon) \cup \delta(\delta_{2}(q_{02} , x) , \varepsilon) \end{aligned}$
  - $\in \delta(q_{0} , x)$ ，并且此时 $M$ 的最后一次移动必是根据 $\delta(f_{1} , \varepsilon) = \set{f}$ 或 $\delta(f_{2} , \varepsilon) = \set{f}$ 之一进行的移动
    - 如果是根据定义式 $\delta(f_{1} , \varepsilon) = \set{f}$ 进行的最后一次移动，此时必有 $\delta_{1}(q_{01} , x) = \set{f_{1}}$ ， $\in L(M_{1})$
    - 如果是根据定义式 $\delta(f_{2} , \varepsilon) = \set{f}$ 进行的最后一次移动，此时必有 $\delta_{2}(q_{02} , x) = \set{f_{2}}$ ， $\in L(M_{2})$
  - 无论是哪一种情况，都有 $\in L(M_{1}) \cup L(M_{2})$

$r = r_{1} r_{2}$

此时 $r_{1}$ 、 $r_{2}$ 中运算符的个数不会大于 $k$ ，由归纳假设，存在满足定理要求的 $\varepsilon-NFA$ ， $M_{1} = (Q_{1} , \Sigma , \delta_{1} , q_{01} , \set{f_{1}})$ ， $M_{2} = (Q_{2} , \Sigma , \delta_{2} , q_{02} , \set{f_{2}})$ ，使得 $L(M_{1}) = L(r_{1})$ ， $L(M_{2}) = L(r_{2})$ ，而且 $Q_{1} \cap Q_{2} = \emptyset$
取 $(Q_{1} \cup Q_{2} , \Sigma , \delta , q_{01} , \set{f_{2}})$ ，其中 $\delta$ 的定义为
- 对 $\forall q \in Q_{1} - \set{f_{1}}$ ， $\in \Sigma \cup \set{\varepsilon}$ ， $\delta(q , a) = \delta_{1}(q , a)$
- 对 $\forall q \in Q_{2}$ ， $\in \Sigma \cup \set{\varepsilon}$ ， $\delta(q , a) = \delta_{2}(q , a)$
- $\delta(f_{1} , \varepsilon) = \set{q_{02}}$

往证 $L(r_{1} r_{2}) = L(M)$
- 由归纳假设， $L(r_{1}) = L(M_{1})$ ， $L(r_{2}) = L(M_{2})$ ，根据正则表达式的定义 $L(r_{1} r_{2}) = L(r_{1}) L(r_{2})$ ， $L(r_{1} r_{2}) = L(M_{1}) L(M_{2})$ ，因此，只需要证明 $L(M) = L(M_{1}) L(M_{2})$
- 先证 $L(M_{1}) L(M_{2}) \subseteq L(M)$
  - 设 $\in L(M_{1}) L(M_{2})$ ，从而有 $x_{1} \in L(M_{1})$ 并且 $x_{2} \in L(M_{2})$ ，使得 $x = x_{1} x_{2}$
  - $\delta(q_{01} , x_{1}) = \delta_{1}(q_{01} , x_{1}) = \set{f_{1}}$ ， $\delta(q_{02} , x_{2}) = \delta_{2}(q_{02} , x_{2}) = \set{f_{2}}$
  - $\begin{aligned} \delta(q_{01} , x) &= \delta(q_{01} , x_{1} x_{2}) \\ &= \delta(\delta(q_{01} , x_{1}) , x_{2}) \\ &= \delta(\delta_{1}(q_{01} , x_{1}) , x_{2}) \\ &= \delta(f_{1} , x_{2}) \\ &= \delta(f_{1} , \varepsilon x_{2}) \\ &= \delta(\delta(f_{1} , \varepsilon) , x_{2}) \\ &= \delta(q_{02} , x_{2}) \\ &= \delta_{2}(q_{02} , x_{2}) \\ &= \set{f_{2}} \end{aligned}$
  - 即 $\in L(M)$
- 再证 $\subseteq L(M_{1}) L(M_{2})$
  - 设 $\in L(M)$ ， $\delta(q_{01} , x) = \set{f_{2}}$
  - 必存在 $x$ 的前缀 $x_{1}$ 和后缀 $x_{2}$ ，使得 $x = x_{1} x_{2}$ ，并且 $x_{1}$ 将 $M$ 从状态 $q_{01}$ 引导到状态 $f_{1}$ ， $x_{2}$ 将 $M$ 从状态 $q_{02}$ 引导到状态 $f_{2}$ ，即 $\begin{aligned} \delta(q_{01} , x) &= \delta(q_{01} , x_{1} x_{2}) \\ &= \delta(f_{1} , x_{2}) \\ &= \delta(f_{1} , \varepsilon x_{2}) \\ &= \delta(q_{02} , x_{2}) \\ &= \set{f_{2}} \end{aligned}$
  - 其中， $\delta(q_{01} , x_{1}) = \set{f_{1}}$ ，说明 $\delta_{1}(q_{01} , x_{1}) = \set{f_{1}}$ ， $\delta(q_{02} , x_{2}) = \set{f_{2}}$ ，说明 $\delta_{2}(q_{02} , x_{2}) = \set{f_{2}}$ ，这表明 $x_{1} \in L(M_{1})$ ， $x_{2} \in L(M_{2})$
  - 从而 $x_{1} x_{2} \in L(M_{1}) L(M_{2})$

$r = r_{1}^{*}$

此时 $r_{1}$ 中运算符的个数不会大于 $k$ ，由归纳假设，存在满足定理要求的 $\varepsilon-NFA$ ， $M_{1} = (Q_{1} , \Sigma , \delta_{1} , q_{01} , \set{f_{1}})$ ，使得 $L(M_{1}) = L(r_{1})$
取 $(Q_{1} \cup \set{q_{0} , f} , \Sigma , \delta , q_{0} , \set{f})$ ，其中 $q_{0}$ ， $\notin Q_{1}$ ， $\delta$ 的定义为
- 对 $\forall q \in Q_{1} - \set{f_{1}}$ ， $\in \Sigma$ ， $\delta(q , a) = \delta_{1}(q , a)$
- $\delta(f_{1} , \varepsilon) = \set{q_{01} , f}$
- $\delta(q_{0} , \varepsilon) = \set{q_{01} , f}$

往证 $L(r_{1}^{*}) = L(M)$
- 由归纳假设， $L(M_{1}) = L(r_{1})$ ，根据正则表达式的定义 $L(r) = (L(r_{1}))^{*}$ ，只需证明 $L(M) = (L(M_{1}))^{*}$
- 先证 $\subseteq (L(M_{1}))^{*}$
  - 设 $\in L(M)$ ，如果 $\varepsilon$ ，由克林闭包的定义，显然 $\in (L(M_{1}))^{*}$
  - 如果 $\neq \varepsilon$ ，由 $M$ 的定义，必定存在 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\cdots$ ， $x_{n}$ ， $x_{1} x_{2} \cdots x_{n} (n \geq 1)$ 满足 $\begin{aligned} \delta(q_{0} , x) &= \delta(q_{0} , x_{1} x_{2} \cdots x_{n}) \\ &= \delta(\delta(q_{0} , \varepsilon) , x_{1} x_{2} \cdots x_{n}) \\ &= \delta(q_{01} , x_{1} x_{2} \cdots x_{n}) \\ &= \delta(\delta_{1}(q_{01} , x_{1}) , x_{2} \cdots x_{n}) \\ &= \delta(f_{1} , x_{2} \cdots x_{n}) \\ &\cdots \\ &= \delta(f_{1} , x_{n}) \\ &= \delta(\delta(f_{1} , \varepsilon) , x_{n}) \\ &= \delta(q_{01} , x_{n}) \\ &= \delta(\delta_{1}(q_{01} , x_{n}) , \varepsilon) \\ &= \delta(f_{1} , \varepsilon) \\ &= \set{f} \end{aligned}$
  - 这表明 $x_{1} x_{2} \cdots x_{n} \in (L(M_{1}))^{*}$
- 再证 $(L(M_{1}))^{*} \subseteq L(M)$
  - 类似地，不难证明 $(L(M_{1}))^{*} \subseteq L(M)$

例题

问题

构造与正则表达式 $0 + 1)^{*} 0 + (00)^{*}$ 等价的 $F A$

解答

正则语言可以用正则表达式表示

构造与 $D F A$ 等价的正则表达式

设 $\ M = (\set{q_{1} , q_{2} , \cdots , q_{n}} , \Sigma , \delta , q_{1} , F)$
令 $R_{ij}^{k} = \set{x \mid \delta(q_{i} , x) = q_{j} , 而且对于 x 的任意前缀 y (y \neq x , y \neq \varepsilon) , 如果 \delta(q_{i} , y) = q_{l} , 则 l \leq k}$
为了便于计算，将 $R_{ij}^{k}$ 递归地定义为

$R_{ij}^{0} = \begin{cases} \set{a \mid \delta(q_{i} , a) = q_{j}} , & i \neq j \\ \set{a \mid \delta(q_{i} , a) = q_{j}} \cup \set{\varepsilon} , & i = j \end{cases}$

$R_{ij}^{k} = R_{ik}^{k - 1} (R_{kk}^{k - 1})^{*} R_{kj}^{k - 1} \cup R_{ij}^{k - 1}$

显然， $\displaystyle\bigcup\limits_{q_{f} \in F}{R_{1f}^{n}}$

图上作业方法

对 $\ M = (Q , \Sigma , \delta , q_{0} , F)$ 的状态转移图，操作步骤如下

预处理

在状态转移图中增加状态 $X$ 和 $Y$ ，从状态 $X$ 到 $M$ 的开始状态 $q_{0}$ 引一条标记为 $\varepsilon$ 的弧，对 $\forall q \in F$ ，从状态 $q$ 到状态 $Y$ 分别引一条标记为 $\varepsilon$ 的弧
去掉所有的不可达状态

循环操作

重复如下操作，直到该图中不再包含除了 $X$ 和 $Y$ 的其他状态，并且这两个状态之间最多只有一条弧
- 并弧：对图中任意两个状态 $q$ ， $p$ ，如果图中包含有从 $q$ 到 $p$ 的标记为 $r_{1}$ ， $r_{2}$ ， $\cdots$ ， $r_{g}$ 的并行弧，则用从 $q$ 到 $p$ 的、标记为 $r_{1} + r_{2} + \cdots + r_{g}$ 的弧取代这 $g$ 个并行弧，其中， $q$ 和 $p$ 可以是同一个状态
- 去状态 $1$ ：对图中任意 $3$ 个状态 $q$ ， $p$ ， $t$ ，如果从 $q$ 到 $p$ 有一条标记为 $r_{1}$ 的弧，从 $p$ 到 $t$ 有一条标记为 $r_{2}$ 的弧，并且不存在从状态 $p$ 到状态 $p$ 的弧，则将状态 $p$ 和与之关联的这两条弧去掉，增加一条从 $q$ 到 $t$ 的标记为 $r_{1} r_{2}$ 的弧
- 去状态 $2$ ：对图中任意 $3$ 个状态 $q$ ， $p$ ， $t$ ，如果从 $q$ 到 $p$ 有一条标记为 $r_{1}$ 的弧，从 $p$ 到 $t$ 有一条标记为 $r_{2}$ 的弧，并且存在一条从状态 $p$ 到状态 $p$ 标记为 $r_{3}$ 的弧，则将状态 $p$ 和与之关联的这 $3$ 条弧去掉，增加一条从 $q$ 到 $t$ 的标记为 $r_{1} r_{3}^{*} r_{2}$ 的弧
- 去状态 $3$ ：如果图中只有 $3$ 个状态，而且不存在从状态 $X$ 到 $Y$ 的路，则将除状态 $X$ 和 $Y$ 之外的第三个状态及其相关的弧全部删除
从状态 $X$ 到 $Y$ 的弧的标记为所求的正则表达式，如果该弧不存在，则所求的正则表达式为 $\emptyset$