目录
🌼图的存储
（1）邻接矩阵
（2）边集数组
（3）邻接表
（4）链式前向星
😀刷题
🐍最大节点
🐍有向图 D 和 E
🐍奶牛排序
🌼图的存储
（1）邻接矩阵
adjacency matrix（邻接矩阵）
#define MaxVnum 100 // 节点数最大值
typedef char VexType; // 节点的数据类型, 根据需要定义
typedef int EdgeType; // 边上权值的数据类型; 不带权的图, 为0 / 1结构体
typedef struct {
VexType Vex[MaxVnum]; // 节点类型 + 一维数组存储节点
EdgeType Edge[MaxVnum][MaxVnum]; // 边上权值类型 + 邻接矩阵存储边
int vexnum, edgenum; // 节点数, 边数
} AMGraph;算法
void CreateAMGraph(AMGraph &G) { // 引用传递, 直接修改对象本身
// AMGraph 包含一维节点数组, 二维邻接矩阵数组, 节点数, 边数
int i, j;
VexType u, v; // 节点类型
cin >> G.vexnum;
cin >> G.edgenum;
for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)
cin >> G.Vex[i]; // 输入节点
for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)
for (int j = 0; j < G.vexnum; j++)
G.Edge[i][j] = 0; // 初始化邻接矩阵所有值为 0
while(G.edgenum--) {
cin >> u >> v; // 'a' 'b' ...
i = locatevex(G, u); // 查找节点 u 对应下标
j = locatevex(G, v); // 查找节点 v 对应下标
if(i != -1 && j != -1)
G.Edge[i][j] = G.Edge[j][i] = 1; // 无向图两点连通
}
}优点
（1）快速判断两点间，是否有边（Edge[i][j] == 1 有边）
（2）快速计算各节点的度
（无向图，邻接矩阵，第 i 行元素之和，就是节点 i 的 度）
（有向图，邻接矩阵，第 i 行的和为 出度，第 i 列的和为 入度）
缺点
（1）不利于增删节点（需要改变邻接矩阵大小，效率低）
（2）不利于访问邻接点
访问第 i 个点所有邻接点时，需要遍历第 i 行，时间复杂度 O(n)
访问所有点邻接点，时间复杂度 O(n^2)
（3）空间复杂度高，O(n^2)
初始可以这样定义👇（省去节点信息的查询步骤）
int M[m][n] = { {0,1,0,1}, {1,0,1,1}, {0,1,0,1}, {1,1,1,0} };直接定义一个邻接矩阵
（2）边集数组
数组存储每条边的起点和终点，以下是网的结构体定义（增加了一个权值域）
适用于 最小生成树 kruskal算法
struct Edge {
int u;
in v;
int w;
} e[N*N];（3）邻接表
邻接表，包括节点和邻接点
节点
typedef struct VexNode { // 定义节点类型
VexType data; // VexType为节点信息的数据类型, 根据需要定义
AdjNode *first; // 指向第1个邻接点
}VexNode;邻接点
typedef struct AdjNode { // 定义邻接点类型
int v; // 下标v
struct AdjNode *next; // 指向下一个邻接点
}AdjNode;邻接表结构体
typedef struct {
VexNode Vex[MaxVnum]; // 节点表
int vexnum, edgenum; // 节点数, 边数
} ALGraph;
算法代码
void CreateALGraph(ALGraph &G) { // 创建有向图的邻接表
VexType u, v; // 节点类型
cout << "请输入节点数和边数：" << endl;
cin >> G.vexnum >> G.edgenum;
cout << "请输入节点信息：" << endl;
for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) // 节点数 vexnum
cin >> G.Vex[i].data;
for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)
G.Vex[i].first = NULL; // 下一个邻接点置空
cout << "请依次输入每条边的两个节点 u, v" << endl;
while (G.edgenum--) {
cin >> u >> v;
int i = locatevex(G, u); // 查找节点 u 的下标
int j = locatevex(G, v); // 查找节点 v 的下标
if (i != -1 && j != -1)
insertedge(G, i, j); // 插入边
// 无向图多插入 1 次
}
}插入代码
void insertedge(ALGraph &G, int i, int j) // 头插法(插入一条边)
{
AdjNode *s; // 新的邻接点
s = new AdjNode; // 开辟内存
// i 和 j相连, 所以是向 j 出边
s->v = j; // 邻接点下标
s->next = G.Vex[i].first; // 新的邻接点的下一个, 是原来节点 i 的下一个
G.Vex[i].first = s; // 原来节点 i 的下一个, 变成邻接点
}邻接表优点
（1）便于增删节点
（2）便于访问所有邻接点（ 时间复杂度O(n + e) ）
（3）空间复杂度低（ 节点表 n 个空间 ，无向图邻接点表 n + 2e 空间，有向图临界点表 n + e 空间，所以空间复杂度O(n + e) ），而邻接矩阵空间复杂度 O(n^2)
存储图，稀疏图 -> 邻接表，稠密图 -> 邻接矩阵
缺点
（1）不利于判断两节点是否有边（需要遍历该节点后，整条链表）
（2）不利于计算各节点的度
无向图为该节点后单链表节点数
有向图(邻接表)的出度为 单链表节点数，但不易求入度
有向图(逆邻接表)的入度为 单链表节点数，但不易求出度
总体上，邻接表，访问同一节点所有关联边时，仅需访问该点后单链表，这是一大优势
（4）链式前向星
链式前向星——最完美图解-腾讯云开发者社区-腾讯云 (tencent.com)
（👆算法训练营原文）
链式前向星--最通俗易懂的讲解-CSDN博客
链式前向星，即静态链表，边集数组 + 邻接表
可快速访问一个节点的所有邻接点
（1）边集数组：edge[i]，第 i 条边
（2）头节点数组：head[k]，存储以 顶点 k 为起点的第 1 条边的下标（edge[i] 中的 i，即第几条边）
结构体
struct node {
int to, next, w;
}edge[maxe]; // 边集数组, 对边数的设置要比 maxn*maxn大
int head[maxn]; // 头节点数组next
与edge[cnt]（第 cnt 条边）起点相同的上一条边的编号（之所以是上一条，不是下一条，因为邻接表采取头插法 -- 逆序）
添加边 u，v，w
void add(int u, int v, int w)
{
// 第 cnt 条边
edge[cnt].to = v; // 终点
edge[cnt].w = w; // 权值
edge[cnt].next = head[u]; // -1时没有上一条边
head[u] = cnt++; // 先赋值, 后自增
// 起点 u 为顶点的, 第一条边是 cnt, 然后 cnt++, 进入下一条边
}有向图：一次 add(u, v, w)
无向图：两次 add(u, v, w) 和 add(v, u, w)
访问一个节点 u 所有邻接点
当 edge[i].next != -1，说明还有邻接点
for (int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)
{
int v = edge[i].to; // 顶点 u 的邻接点
int w = edge[i].w; // u-v 这条边的权值
}特点
（1）类似邻接表，头插法（倒序）进行链接 --> 边的输入顺序不同，创建的链式前向星也不同
（2）无向图的话，每输入一条边，需要添加 2 条边，又因为边从 0 开始，比如 edge[0]和edge[1]，edge[2]和edge[3]，4和5等等（即 0000和0001，0010和0011，0100和0101），此时，两条反向边，可以互相异或 1 得到另一条边，i 和 i^1
这个特性在网络流中较为常用（异或运算，不需要额外的存储 / 操作，节省空间和时间）
（3）整合了边集数组和邻接表，属于静态链表，不需要频繁创建节点
😀刷题
🐍最大节点
P3916 图的遍历 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
思路
本题，求，从节点 v 出发，能到达的最大节点 u
建立原图的反向图，即 add(u, v) 变成 add(v, u)
然后从节点 n 开始递归，一直到节点 1
对于当前最大节点 u，凡是能到达的节点 v，v能到达的最大节点就是 u
解释
结合图理解👇
节点 1 的第 1 条边是 edge[0]，边的编号为 0，0号边即 节点1 到 节点2，距离（权值）为 5 的这条边，这条边的终点是 2（to），权值是 5（w），没有上一条边（next == -1）
if (ans[v]) return;两种可能的解释👆
（1）已经得到最远的点，避免后续多余的计算
（2）已经计算过的点，因为是反向的，此时再计算，可能会把无法到达的点算进去，导致结果错误
AC 代码
#include<iostream>
#include<cstdio> // scanf()
#include<cstring> // memset()
using namespace std;
const int MAX = 100010;
int n, m, cnt = 0, head[MAX], ans[MAX];
struct node
{
int to, next;
}e[MAX];
// 添加 u 到 v 的边
void add(int u, int v)
{
e[cnt].to = v; // 终点
e[cnt].next = head[u]; // 节点 u 的第一条边, 就是它的上一条边
head[u] = cnt++; // 先赋值, 再自增
}
// 递归遍历所有邻接边
// 注意是倒序反向遍历, 所以 u 是最远可到达的点
void dfs(int u, int v)
{
if (ans[v]) return; // 已经得到最远点
ans[v] = u; // 最远的点
// 递归遍历所有邻接边
for (int i = head[v]; i != -1; i = e[i].next) { // head[v] 节点 v 的第1条边
int v1 = e[i].to; // 邻接点
dfs(u, v1); // 最大节点 u 所能到达的点 v1
}
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
// 初始化 头节点 数组
memset(head, -1, sizeof(head));
// 添加反向边
int u, v;
while(m--) {
scanf("%d%d", &u, &v);
add(v, u);
}
// 倒序 dfs 递归
for (int i = n; i >= 1; --i)
dfs(i, i);
// 输出
for (int i = 1; i <= n; ++i)
cout << ans[i] << " ";
return 0;
}
🐍有向图 D 和 E
From D to E and Back - UVA 11175 - Virtual Judge (vjudge.net)
思路
把 D 的边缩成点，D 的边对应 E 的点
如果D存在边 i (u, v)，j (v, w)，那么 E 存在点 i, j，以及一条 i 到 j 的边
因为 D 和 E，都是有向图（关键）
所以， 若 D 中，边 i, j 有公共端点，那么 i 连接的边，j 一定也连接
换言之，E 中，点 i, j 有公共连接点 k，那么，此时如果 i 有邻接点 k2，j 必定也邻接 k2（因为 E 是有向图）
即，E中，点 i 和 点 k1 有边，点 j 和 k2 也有边，此时若点 i 和 k2 有边，j 必定也和 k2 有边
解释
第一个
宏定义
第二个
REP(i,b,e)
REP后要紧跟着 (i,b,e)，不要加个空格，否则报错：i was not defined in this scope
第三个
flag1, flag2 的声明，应该放在 i, j 两重循环内，而不是放在 check() 里
因为 return false，是针对相同的 i, j 去遍历每一个 k 的
第四个
每组测试，读入的是 m，边数
第五个
注意Yes，No之前有空格，直接复制题目会错
第六个
为什么用邻接矩阵存储呢，需要不断判断两个两个节点之间是否有边
AC 代码
远程 OJ 崩了，样例过了，就当过了吧
#include<bits/stdc++.h>
#define REP(i,b,e) for(int i=(b); i<(e); ++i)
using namespace std;
const int N = 310;
int g[N][N], n, m; // g 邻接矩阵
bool check()
{
REP(i, 0, n) // 0~n-1
REP(j, 0, n) { //0~n-1
int flag1 = 0, flag2 = 0;
REP(k, 0, n) { // 0~n-1
if (g[i][k] && g[j][k]) flag1 = 1; // 共同邻接点
if (g[i][k] ^ g[j][k]) flag2 = 1; // 一方有, 一方没有
}
if (flag1 && flag2) return false;
}
return true;
}
int main()
{
int T, cnt = 1;
cin >> T;
int x, y;
while (T--) {
memset(g, 0, sizeof(g)); // 初始化邻接矩阵
cin >> n >> m;
REP(i, 0, m) { // 读取 m 条边
cin >> x >> y;
g[x][y] = 1;
}
if (check())
printf("Case #%d: Yes\n", cnt++);
else
printf("Case #%d: No\n", cnt++);
}
return 0;
}
🐍奶牛排序
Ranking the Cows - POJ 3275 - Virtual Judge (vjudge.net)
思路
样例
奶牛理解为有向图的节点，关系理解为边
对于 n 个节点的图，两两之间的关系有， 1 + ... + n-1 种，即 n(n-1) / 2
样例中 5 个节点，就有 10 种关系
然后根据给出的 5 条边，又能间接得到另外的 2 条边
所以10 - （5 + 3）= 3
还需要知道 3 种关系
位运算
那么，如何得到已知的关系是 7 种呢
每个节点用一个 bitset 表示👇目录中 2.4.7 bitset
STL入门 + 刷题（下）_千帐灯无此声的博客-CSDN博客
bitset<maxn>p[maxn]; // maxn表示位数, p[] 二进制数组初始化：p[i][i] = 1，表示自身可达（即自己和自己有关系）
输入
输入 2 1 （其他输入同理）
即 2 -> 1 的有向边，2 可达 1，那么 p[2][1] = 1，p[2] = 000110👇
右边第 0 位开始，第 2 位为 1，表示自身可达，第 1 位为 1，即节点 2 可达 节点 1
根据已知点找其他
if (p[i][k]) p[i] |= p[k]; // 等价于 if (p[i][k]) p[i] = p[i] | p[k];按位或：同时为 0 才为 0
可以间接找到每个点与其他点的关系👇
（比如节点 a 可达节点 b，b 可达 c，那么间接得到 a 也可达 c）
计算结果
两两间，总的关系数：n(n-1) / 2
用 ans 累计每个 bitset 数组 p[i] 中 1 的个数
由于 ans 中包括 n 种自己到自己的关系
所以已知关系为 ans - n
输出答案为 总数 - 已知数 =
n(n-1) / 2 - ans + n
解释
看懂代码后，有个疑问，如果最后还差 5 个关系，是否存在，只需要再调查 2 个关系，就能间接得到剩下 3 个关系的可能呢（可能是出题者结果导向，或者我的理解有偏差）
👆如果按这个意思，那么题目会复杂很多👆
坑
编号从 1 开始，所以如果你所有 for 循环都是 0 ~ n-1，就会 Wrong Answer
AC 代码
#include<iostream> // 编号 1 开始
#include<bitset>
using namespace std;
const int N = 1010;
// N 表示长度为 N 的位集合
bitset<N> p[N]; // 数组 p 的每个元素都是 bitset<N> 类型, 即一个二进制数
int main()
{
int n, m, x, y, ans = 0;
cin >> n >> m;
// 初始化 bitset 数组
for (int i = 1; i <= n; ++i)
p[i][i] = 1; // 自己和自己有联系
while (m--) {
cin >> x >> y;
p[x][y] = 1; // 节点 x 可达 y
}
// 间接求其他关系
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 1; j <= n; ++j)
if (p[j][i])
p[j] = p[j] | p[i];
// 输出
for (int i = 1; i <= n; ++i)
ans += p[i].count(); // 统计每个 bitset 中 1 的个数
cout << n*(n-1)/2 - ans + n << endl;
return 0;
}除了常规意义的 邻接矩阵，边集数组，邻接表，链式前向星（存储图）外
我们还可以考虑 bitset，用二进制来存图
