主要解决过拟合

一、理论知识

1、使用均方范数作为硬性限制（不常用）
通过限制参数值的选择范围来控制模型容量

通常不限制偏移b
小的意味着更强的正则项
使用均方范数作为柔性限制
对于每个都可以找到使得之前的目标函数等价于下面的：

可以通过拉格朗日乘子来证明
超参数控制了正则项的重要程度

参数更新法则

总结：

• 权重衰退通过L2正则项使得模型参数不会过大，从而控制模型复杂度
• 正则项权重是控制模型复杂度的超参数

二、代码实现

权重衰减是最广泛使用的正则化技术之一
1.首先，人工生成数据

我们选择标签是关于输入的线性函数。 标签同时被均值为0，标准差为0.01高斯噪声破坏。 为了使过拟合的效果更加明显，我们可以将问题的维数增加到， 并使用一个只包含20个样本的小训练集。

%matplotlib inline
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
# print(torch.ones((num_inputs, 1)))
# print(true_w)
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
# print(train_iter)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)

2.1从零开始实现

只需将的平方惩罚添加到原始目标函数中。

def init_params():
    w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)
    b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
    return [w,b]

定义L2范数惩罚

def l2_penalty(w):
    return torch.sum(w.pow(2)) / 2

定义训练代码

def train(lambd):
    w,b = init_params()
    net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                           xlim=[5,num_epochs], legend=['train', 'test'])
    
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
#             增加了L2范数惩罚项
# 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为torch_size的向量
            l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)
            l.sum().backward()
            d2l.sgd([w,b], lr, batch_size)
        if(epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                    d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数是：',torch.norm(w).item())

忽略正则化直接训练
用lambd = 0禁用权重衰减

train(lambd=0)

w的L2范数是： 13.702591896057129

使用权重衰退

train(lambd=3)

w的L2范数是： 0.36873573064804077

2.2简洁实现

在实例化优化器时直接通过weight_decay指定weight decay超参数

def train_concise(wd):
    net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))
    for param in net.parameters():
        param.data.normal_()
    loss = nn.MSELoss(reduction='none')
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    # 偏置参数没有衰减
    trainer = torch.optim.SGD([
        {"params":net[0].weight,'weight_decay': wd},
        {"params":net[0].bias}], lr=lr)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            trainer.zero_grad()
            l = loss(net(X), y)
            l.mean().backward()
            trainer.step()
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1,
                         (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                          d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数：', net[0].weight.norm().item())

train_concise(0)

w的L2范数： 12.619434356689453

train_concise(3)

w的L2范数： 0.3909929692745209

【相关总结】