对于嘈杂的梯度，我们在选择学习率需要格外谨慎。 如果衰减速度太快，收敛就会停滞。 相反，如果太宽松，我们可能无法收敛到最优解。

泄漏平均值

小批量随机梯度下降作为加速计算的手段。 它也有很好的副作用，即平均梯度减小了方差。 小批量随机梯度下降可以通过以下方式计算：

为了保持记法简单，在这里我们使用时间时更新的权重。 如果我们能够从方差减少的影响中受益，甚至超过小批量上的梯度平均值，那很不错。 完成这项任务的一种选择是用泄漏平均值（leaky average）取代梯度计算： 

其中。 这有效地将瞬时梯度替换为多个“过去”梯度的平均值。 被称为动量（momentum）， 它累加了过去的梯度。 为了更详细地解释，让我们递归地将扩展到

其中，较大的相当于长期平均值，而较小的相对于梯度法只是略有修正。 新的梯度替换不再指向特定实例下降最陡的方向，而是指向过去梯度的加权平均值的方向。 这使我们能够实现对单批量计算平均值的大部分好处，而不产生实际计算其梯度的代价。 

上述推理构成了“加速”梯度方法的基础，例如具有动量的梯度。 在优化问题条件不佳的情况下（例如，有些方向的进展比其他方向慢得多，类似狭窄的峡谷），“加速”梯度还额外享受更有效的好处。 此外，它们允许我们对随后的梯度计算平均值，以获得更稳定的下降方向。 诚然，即使是对于无噪声凸问题，加速度这方面也是动量如此起效的关键原因之一。