二阶常系数非齐次线性微分方程：类型二

news2024/11/25 11:35:29

f(x)=p_{n}(x)e^{\alpha x}cos\beta x或 f(x)=p_{n}(x)e^{\alpha x}sin\beta x

\frac{d^{2}}{dx^{2}}+p\frac{dy}{dx}+qy=p_{n}(x)e^{\alpha x}cos\beta x  (1)

\frac{d^{2}}{dx^{2}}+p\frac{dy}{dx}+qy=p_{n}(x)e^{\alpha x}sin\beta x (2)

欧拉公式

e^{i\beta x}=cos\beta x+isin\beta x

p_{n}(x)e^{(\alpha +i\beta) x}=p_{n}(x)cos\beta x+p_{n}(x)isin\beta x

\frac{d^{2}}{dx^{2}}+p\frac{dy}{dx}+qy=p_{n}(x)e^{(\alpha+i\beta ) x}(3)

设(3)有特解\widetilde{y}=\widetilde{y_{1}}+i\widetilde{y_{2}}

\widetilde{y_{1}}是(1)的特解 

\widetilde{y_{2}}是（2）的特解

例 ：

\frac{d^{2}}{dx^{2}}-y=sinx

解 r^{2}-1=0 ,r=\pm 1

所以其通解为

Y=C_{1}e^{X}+C_{2}e^{-x}

n=0,\alpha =0,\beta =1

\frac{d^{2}}{dx^{2}}-y=e^{ix}

这是属于上一篇提到的第一种情况

其特解

\widetilde{y}=ae^{ix}

\frac{d\widetilde{y}}{dx}=iae^{ix}

\frac{d\widetilde{^{2}y}}{dx^{2}}=-ae^{ix}

即 -ae^{ix}-ae^{ix}=e^{ix}

简化

-2a=1

a=-1/2

\widetilde{y}=-\frac{1}{2}e^{ix}=-\frac{1}{2}(cosx+isinx)

原方程特解为

\widetilde{y}=-\frac{1}{2}sinx

原方程通解为

Y=Y+\widetilde{y}

解法二

将P_{n}(x)e^{\alpha x}cos\beta x 或 P_{n}(x)e^{\alpha x}sin\beta x

改写为f(x)=[P^{1}_{n}(x)cos\beta x+P^{2}_{l}sin\beta x]e^{\alpha x}

设\alpha +i\beta是特征方程的k重根（k=0或1）

则方程特解形如：

\widetilde{y}=x^{k}[R^{1}_{m(x)}cos\beta x+R^{2}_{m}(x)sin\beta x]e^{\alpha x}

其中 m= max{n，l} ,指多项式的幂。

用解法二重求例题

\frac{d^{2}}{dx^{2}}-y=sinx

解

解 r^{2}-1=0 ,r=\pm 1

所以其通解为

Y=C_{1}e^{X}+C_{2}e^{-x}

m=0,\alpha =0,\beta =1

i不是特征方程的根，k=0

设\widetilde{y}=acosx+bsinx为特解

\frac{d\widetilde{y}}{dx}=-asinx+bcosx

\frac{d^{2}\widetilde{y}}{dx^{2}}=-acosx-bsinx

所以代入原式

-acosx-bsinx-acosx-bsinx=sinx

-2acosx-(2b+1)sinx=0

因为\frac{sinx}{cosx}\neq常数

所以线性无关。

所以 -2a=-(2b+1)=0

a=0,b=-1/2

例

 \frac{d^{2}}{dx^{2}}-y=e^{x}cos2x+sinx

可以利用叠加原理，分别求特解。

1、先求齐次线性微分方程的通解

\frac{d^{2}}{dx^{2}}-y=0  通解为Y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}

将右边的自由项，拆解成两部分。

\frac{d^{2}}{dx^{2}}-y=e^{x}cos2x 的特解\widetilde{y_{1}}=-\frac{1}{8}e^{x}(cos2x-\frac{1}{8}sin2x)

\frac{d^{2}}{dx^{2}}-y=sinx的特解\widetilde{y_{1}}=-\frac{1}{2} sinx

所以所求方程为y=Y+\widetilde{y_{1}}+\widetilde{y_{2}}

高阶方程的求解

例 

y^{'''}+3y^{''}+3y^{'}+y=e^{x}

r^{3}+3r^{2}+3r+1=0

(r+1)^{3}=0, r_{1}=r_{2}=r_{3}=-1

y^{'''}+3y^{''}+3y^{'}+y=0 的通解 Y=(C_{1}+C_{2}+C_{3}x^{2})e^{-x}

\alpha =1不是特征方程的根。

可设特解为\widetilde{y}=ae^{-x}

\widetilde{y^{'}}=\widetilde{y^{''}}=\widetilde{y^{'''}}=ae^{-x}  代入原方程

a+3a+3a+a=1

a=1/8

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