目录
3.二叉树的顺序结构及实现
3.1 二叉树的顺序结构
3.2 堆的概念及结构
3.3 堆的实现
3.2.1 堆向下调整算法
3.2.2堆的创建
3.2.3 建堆时间复杂度
3.2.4 堆的插入
3.2.5 堆的删除
3.2.6 堆的代码实现
3.4 堆的应用
3.4.1 堆排序
3.4.2 TOP-K问题
3.二叉树的顺序结构及实现
3.1 二叉树的顺序结构
普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为
可能会存在大量的空间浪费
。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆
(
一种二叉树
)
使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统
虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。
3.2 堆的概念及结构
堆的性质：
• 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
• 堆总是一棵完全二叉树。
每一个大堆的父节点都大于他自己的子节点（
兄弟之间无大小关系）。
3.3 堆的实现
3.2.1 堆向下调整算法
现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。
向下调整算法有一个前提：
左右子树
必须是一个堆
，才能调整。
int array[] = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};
3.2.2堆的创建
下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。
int a[] = {1,5,3,8,7,6};具体步骤如下图：
3.2.3 建堆时间复杂度
因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明
(
时间复杂度本来看的就是
近似值
，多几个节点不影响最终结果)
：
运用错位相减法，可以计算出建堆的时间复杂度：
3.2.4 堆的插入
先插入一个
10
到数组的尾上，再进行
向上调整算法
，直到满足堆。
3.2.5 堆的删除
删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。
3.2.6 堆的代码实现
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
HPDataType* _a;
int _size;
int _capacity;
}Heap;
// 堆的构建
void HeapCreate(Heap* hp, HPDataType* a, int n);
// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp);
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x);
// 堆的删除
void HeapPop(Heap* hp);
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp);
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp);
// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp);3.4 堆的应用
3.4.1 堆排序
堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：
1.
建堆
• 升序：建大堆
• 降序：建小堆
2.
利用堆删除思想来进行排序
建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。
3.4.2 TOP-K问题
TOP-K
问题：即求数据结合中前
K
个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大
。
比如：专业前
10
名、世界
500
强、富豪榜、游戏中前
100
的活跃玩家等。
对于
Top-K
问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了
(
可能数据都不能一下子全部加载到内存中)
。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：
1.
用数据集合中前
K
个元素来建堆
前k
个最大的元素，则建小堆
前k
个最小的元素，则建大堆
2.
用剩余的
N-K
个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素
将剩余N-K
个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的
K
个元素就是所求的前
K
个最小或者最大的元素。
首先，创建一个很多个数的文本：
void CreateNDate()
{
// 造数据
int n = 10000000;
srand(time(0));
const char* file = "data.txt";
FILE* fin = fopen(file, "w");
if (fin == NULL)
{
perror("fopen error");
return;
}
for (int i = 0; i < n; ++i)
{
int x = (rand() + i) % 1000000;
fprintf(fin, "%d\n", x);
}
fclose(fin);
}然后，创建一个小堆（用向上调整），一个一个读取文本里面的数，只要数大于栈顶，就push进去，然后向下调整，这样就能使得大数据进得去，出不来。
void PrintTopK(const char* file, int k)
{
FILE* fout = fopen(file, "r");
if (fout == NULL)
{
perror("fopen error");
return;
}
// 建一个k个数小堆
int* minheap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
if (minheap == NULL)
{
perror("malloc error");
return;
}
// 读取前k个，建小堆
for (int i = 0; i < k; i++)
{
fscanf(fout, "%d", &minheap[i]);
AdjustUp(minheap, i);
}
int x = 0;
while (fscanf(fout, "%d", &x) != EOF)
{
if (x > minheap[0])
{
minheap[0] = x;
AdjustDown(minheap, k, 0);
}
}
for (int i = 0; i < k; i++)
{
printf("%d ", minheap[i]);
}
printf("\n");
free(minheap);
fclose(fout);
}那么设计好了这么一个TopK问题的程序，如何检验正确性呢？
这时候你就可以在文本中随机修改几个数，让这几个数超出随机数的范围，看看终端能不能显示出你输入进文本的这几个“卧底”。如果有显示，则程序设计无误。
向下调整接口：
void AdjustDown(int* a, int size, int parent)
{
int child = parent * 2 + 1;
while (child < size)
{
// 假设左孩子小
if (child + 1 < size && a[child + 1] > a[child])
{
++child;
}
if (a[child] > a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}向上调整接口：
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
int parent = (child - 1) / 2;
//while (parent >= 0)//错
while (child > 0)
{
if (a[child] < a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
}
else
{
break;
}
}
}
