用泰勒展开线性化

news2024/12/24 0:05:16

在点 $x_{0}$ 附近做泰勒展开：

当 $x$ 和 $x_{0}$ 很接近的时候， $x-x_{0}$ 很小， $(x-x_{0})^{2}$ 更小，所以可以忽略 $(x-x_{0})^{2}$ 及后面的高阶项，得到

$f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$

因为 $f(x_{0})$ 、 $f'(x_{0})$ 都是常数，所以等式右边是 x的线性方程，在 $x_{0}$ 点附近进行了线性化。

举个例子：

假设 $f(x)=sin(x)$

那么做一阶泰勒展开，得到：

$f(x)=sin(x_{0})+cos(x_{0})(x-x_{0})$

如果 $x_{0}=0$ ，即在0点附近做泰勒展开，得

$f(x)=sin(0)+cos(0)(x-0)=x$

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