2024年进入-1/12的世界

news2024/12/24 9:54:04

1.从一段与AI的对话开始

cj:

1+2+3+4...无限的＋下去结果是无穷大吗？

chatgpt:

是的，从常规的数学观点来看，级数 1+2+3+4+… 无限相加的结果是正无穷。
这是因为每一项都是正数，并且随着项数的增加，部分和会趋近于无穷大。
因此，我们可以说这个级数的和是正无穷。

cj:

但是欧拉提出答案是-1/12

2.欧拉

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。欧拉出生于牧师家庭，自幼受父亲的影响。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作。欧拉对数学的研究如此之广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。 [1]此外欧拉还涉及建筑学、弹道学、航海学等领域。瑞士教育与研究国务秘书Charles Kleiber曾表示：“没有欧拉的众多科学发现，我们将过着完全不一样的生活。”法国数学家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人的老师。

3.如何得出-1/12

3.1 欧拉的推导过程

当时欧拉没有直接给出1+2+3+4+···等于-1/12的推导过程

3.1 最为简单拉马努金的推导过程

S1      = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6...
S2      = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6...
S1 - S2 =     4   +   8   +   12   +  16 + ...
        = 4(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6...)
                       S1
S1 - S2 = 4S1
S1 = - S2/3


S2      = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6...
S2      =     1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6...
2S2     = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1...
2S2     =     1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1...
4S2     = 1
S2      = 1/4

S1 = - 1/12

3.2 利用黎曼函数推导

Riemann zeta 函数：

ζ(s) = 1^(-s) + 2^(-s) + 3^(-s) + 4^(-s) + …

其中，s 是一个复数，实部大于 1。

Riemann zeta 函数在 s>1 时是收敛的，有一个有限的和。

 Riemann zeta 函数应用到 s=-1 上，这是一个复数，实部小于 1。在这种情况下，原始的级数 1+2+3+4+… 并不能直接求和，因为它是发散的。

通过解析延拓，得到以下等式：

ζ(-1) = 1^(-(-1)) + 2^(-(-1)) + 3^(-(-1)) + 4^(-(-1)) + …
= 1 + 2 + 3 + 4 + …

计算 ζ(-1) 的值。根据解析延拓的公式，我们可以使用欧拉乘积公式：

ζ(s) = 2^s × π^(s-1) × sin(πs/2) × Γ(1-s) × ζ(1-s)

其中，Γ 表示伽玛函数。

将 s=-1 代入上述公式，得：

ζ(-1) = 2^(-1) × π^-2 × sin(-π/2) × Γ(2) × ζ(2)
= 1/2 × 1/π^2 × (-1) × 1 × ζ(2)
= -1/12 × ζ(2)

计算 ζ(2) 的值。 ζ(2) 是著名的巴塞尔问题中的一个结果，其值等于 π^2/6。

将这个结果代入之前的等式中：

ζ(-1) = -1/12 × (π^2/6)
= -π^2/72

所以，得出 1+2+3+4+… 的和是 -1/12。