2016年五一杯数学建模
A题 购房中的数学问题
原题再现
随着现代社会经济的快速发展，房地产成为国家经济发展中重要的经济增长点之一。为了充分利用楼房建设的土地面积，开发商经常会选择建筑高层住宅。在购买住房时，影响消费者选择购房的因素较多，其中主要有：地理位置、周边环境、交通便利性、住房户型、住房价格、采光、噪音污染、空气污染等。
目前，在东经 117.17o，北纬 34.18o 地理位置 A 处有高层建筑小区，小区规划图见附件 1。不考虑降雨、下雪等影响日照的天气，解决下列问题：
问题 1：建立数学模型，求解 A 小区 14-2-802 房间(客厅)在冬至日9:00-16:00 间可以享受日照的时间区间(具体楼高和楼间距等相关参数见附件 1 和 4)。
问题 2： 在问题 1 的基础上建立数学模型，以 A 小区 14-2-802 房间(客厅)为例，描述全年 365 天每一天可以享受日照的累计时间，并给出 14-2-802房间(客厅)全年享受日照时间超过 6 小时的天数和日期。
问题 3：假设在消费者 C 购房之前已经有一部分房间售出（数据见附件2），在仅考虑采光影响的条件下，给出消费者 C 的最优选房方案。
问题 4：在问题 3 的基础上，建立选房模型，要求考虑价格、交通、环境和噪音的影响，给出此时消费者 C 最优选房方案。相关信息如下：该小区售房价格方案:1-8 层为基价，然后逐层增加层价，最顶层单价为次顶层的 85%；1-14#楼除 10、11、12 号楼三处河景房的基价为 4450 元/m2，其他楼的基价为 4250 元/m2，所有楼的层价均为 10 元/层。
小区北侧有一条美丽的河流，河流北岸已经计划开发高架桥，高架桥北300m 处为规划地铁口；小区东侧为乡村公路和国有铁路；西侧为国道；南侧为街道，且距离小区南侧 500m 有发电厂烟囱。
问题 5：汽车停车位分布对于住户出行非常重要，建立数学模型并说明附件 3 中 7#楼汽车车位分布是否合理？考虑从停车位到电梯距离、楼层高度、上下班高峰期人流量等影响，建立数学模型，针对 7#楼重新设计合理的汽车车位分布方案。附件 3 中每车位的方格中第一行是车位号，第二行是对应的房间号。
整体求解过程概述(摘要)
针对于问题一,通过观察14#的分布发现，7 #和8#会影响14-8-802客厅的采光，利用公式sinz=sinxsiny+cosxcosycosv计算出冬至日不同时刻的太阳高度角[1]，通过公式 H1=H-L*tan(x)和H2=H1/h计算出14#被前面的楼遮挡的高度,并以此作为依据得到 A 小区 14-2-802 房间(客厅)在冬至日 9:00-16:00 间可以享受日照的时间区间为[9:00,10:28]; [12:31，14:19];[15:51，16:00]。
针对于问题二，根据公式（4.4）计算得出计算二十四个节气的太阳赤纬角，以此得到每个节气14-2-802客厅采光的时间长度，并用二十四个节气的太阳赤纬角近似这个节气中每一天的太阳赤纬角，进而计算出全年日照总时间为 2015.175 个小时；分析每个节气的采光时间，找出采光时间为 6 个小时的日期区间，根据模型一反推出太阳赤纬角的正弦值（0.5843），再计算出太阳赤纬角的正弦值（0.5873）相比较，得到惊蛰后的第 11 天采光时间为 6 小时，即 3 月 17 日，同理可计算出寒露和秋分之间的采光时间为 6 小时的日期为 10 月 12 日，由此可得14-2-802客厅全年享受日照时间超过 6 小时的天数为 209 天。
针对于问题三：在仅考虑采光问题时，我们从房间的日照时间和房间的类型等因素对每栋楼和每个单元进行综合评价。首先，仅考虑在正午时刻南北方向楼栋间的遮挡楼层数。其次，考虑在任意时刻楼栋间的遮挡楼层数及被遮挡日照的时间区间。最后，利用点坐标求出楼间距和时角，从而求出该楼在任意时刻被前面的楼所遮挡的时间区间。在仅考虑采光问题时，综合被出售过的房间我们给出 C 消费者最优的购房方案为：1-1,4#,5-2,6#整栋楼在冬至日任意时刻采光都较好。
针对于问题四，本文在问题 3 的基础上，从购房者角度出发，综合考虑采光、价格、交通、环境、噪音等因素，采用层次分析法[3]构建层次结构选房模型，将采光、价格、交通、环境、噪音 5 个因素作为评价准则，对文中所给条件进行量化，并用楼号数和楼层两个因素来确定房间位置，划分房间等级，其中最优房间为 A类房间，B 类房间次之，包括 7#26-34 层，8#26-34 层，9#26-34 层。
针对于问题五：通过分析7#的泊车位我们发现了 3 个不合理的地方。第一：传统的平行泊车位；第二：7#本身是有一定的倾斜角度为9.15 ；第三：车位排列分布不合理。进而我们通过汽车的最小转弯半径[10]建立数学模型，利用公式（4.10）可以求出最优角度x=58.20 ，再与楼的倾斜角度取平均得到x1=69.525，在安排泊车位排列顺序的时候我们把楼层相对高的停车位安排到电梯附近，从电梯附近依次向周围排列泊车位。
模型假设：
1. 周年以 2015 年记；
2. 用二十四节气的太阳高度角去近似该节气 15 天的太阳高度角；
3. 假设太阳光线经过A,B和C ,D时是匀速的；
4. 在问题 3 中，以冬至日正午时太阳高度角计算接受日照情况；
5. 除考虑因素，其他因素对房间好坏影响可忽略不计；
6. 假设环境、交通、噪音、采光、价格 5 个评价准则的权重是相等的；
7. 假设以同一种车型计算最小转弯半径、车库宽度以及车库长度；
8. 不考虑车库边线的宽度；
9. 假设每辆车都按规定停放，不超出泊车位边界线。
问题分析：
针对于问题一：通过观察14#的分布我们发现，7#和8#会影响14-8-802客厅的采光，利用公式sinz=sinxsiny+cosxcosycosv计算出冬至日不同时刻的太阳高度角（主要计算A ,B,C,D四点），利用太阳高度角和楼层高度通过公式H1=H-Ltan(x)和H2=H1/h就可以计算出14#被前面的楼遮挡的高度，计算出遮挡区间，即可得到享受日照时间。
针对于问题二：一年中每一天的太阳赤纬角是不同的，一天钟每一时刻的太阳高度角也是不同的，计算出每一天的太阳赤纬角和该天中不同时刻的太阳高度角那么就可以计算出7#和8#对14-2-802客厅采光的影响。根据公式（4.4）可以计算出一年中任何时刻的太阳赤纬角，为方便计算我们用二十四个节气的太阳赤纬角[2]去近似这个节气中每一天的太阳赤纬角，即每一节气的 15 天都用该节气的太阳赤纬角计算。得到每个节气14-2-802客厅采光的时间长度，进而计算出全年日照总时间：分析每个节气的采光时间，找出采光时间为 6 个小时的日期区间，再通过太阳时角和楼间距根据模型一反推出太阳赤纬角的正弦值（0.5843），再计算出太阳赤纬角的正弦值（0.5873）进行比较得到采光 6 小时的日期，由此求得14-2-802客厅全年享受日照时间超过 6 小时的天数。
针对于问题三：在仅考虑采光问题时，我们从房间的日照时间和房间的类型等因素对每栋楼和每个单元进行综合评价，通过公式sinz=sinxsiny+cosxcosycosv计算出冬至日不同时刻的太阳高度角，利用太阳高度角和楼层高度和，通过公式H1=H-L*tan(x)和H2=H1/h可以计算出每栋楼被前面的楼遮挡的高度。其次，在仅考虑在正午时刻南北方向楼栋间的遮挡楼层数，从而可以求出正午时刻被遮挡的楼层数。最后，考虑在任意时刻楼栋间的遮挡楼层数及被遮挡日照的时间区间，我们利用点坐标可以求出楼间距和时角从而求出该楼在任意时刻被前面的楼所遮挡的时间区间，给出最优方案。
针对于问题四，针对问题 4，本文在问题 3 的基础上，从购房者角度出发，综合考虑采光、价格、交通、环境、噪音等因素，采用层次分析法构建层次结构选房模型，将采光、价格、交通、环境、噪音 5 个因素作为评价准则，对文中所给条件进行量化，并用楼号数和楼层两个因素来确定房间位置，划分房间等级，给出最优方案。
针对于问题五，通过分析7#的泊车位我们发现了 3 个不合理的地方。第一：传统的平行泊车位；第二：7#本身是有一定倾斜角度的为9.15；第三：车位排列分布不合理；进而我们通过汽车的最小转弯半径建立数学模型可以求出最优角度，再与楼的倾斜角度取平均。在安排泊车位排列顺序的时候我们把楼层相对高的停车位安排到电梯附近，从电梯附近一次往周围排列泊车位。
模型的建立与求解整体论文缩略图
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程序代码：(代码和文档not free)
（1）a=[23.45 23.45 23.45 23.45];b=[34.3 34.3 34.3 34.3];c=[-23.24 7.44 34.57 57.58];d=[83.01 82.27
97.20 108.89];
a=a*pi/180;b=b*pi/180;c=c*pi/180;d=d*pi/180;
h=sin(a).*sin(b)+cos(a).*cos(b).*cos(c);
h1=asin(h);
z=98.6-d.*tan(h1);
a=z/2.9
（2）%A 点
x=[-23.45 -22.58 -20.08 -16.25 -11.37 -5.83 0 6.02 11.5 16.38 20.18 22.62 23.45 22.58 20.08 16.25 11.37
5.83 0 -6.02 -11.5 -16.38 -20.18 -22.62];
x=x*pi/180;
h=sin(x)*sin(34.3*pi/180)+cos(x)*cos(34.3*pi/180)*cos(-23.3*pi/180);
h1=asin(h);
z=98.6-83.01*tan(h1);
a=z/2.9
（3）%B 点
x=[-23.45 -22.58 -20.08 -16.25 -11.37 -5.83 0 6.02 11.5 16.38 20.18 22.62 23.45 22.58 20.08 16.25 11.37
5.83 0 -6.02 -11.5 -16.38 -20.18 -22.62];
x=x*pi/180;
h=sin(x)*sin(34.3*pi/180)+cos(x)*cos(34.3*pi/180)*cos(7.44*pi/180);
h1=asin(h);
z=98.6-82.27*tan(h1);
b=z/2.9
（4） %C 点
x=[-23.45 -22.58 -20.08 -16.25 -11.37 -5.83 0 6.02 11.5 16.38 20.18 22.62 23.45 22.58 20.08 16.25 11.37
5.83 0 -6.02 -11.5 -16.38 -20.18 -22.62];
x=x*pi/180;
h=sin(x)*sin(34.3*pi/180)+cos(x)*cos(34.3*pi/180)*cos(34.57*pi/180);
h1=asin(h);
z=98.6-97.20*tan(h1);
c=z/2.9
（5） %D 点
x=[-23.45 -22.58 -20.08 -16.25 -11.37 -5.83 0 6.02 11.5 16.38 20.18 22.62 23.45 22.58 20.08 16.25 11.37
5.83 0 -6.02 -11.5 -16.38 -20.18 -22.62];
x=x*pi/180;
h=sin(x)*sin(34.3*pi/180)+cos(x)*cos(34.3*pi/180)*cos(57.58*pi/180);
h1=asin(h);
z=98.6-108.89*tan(h1);
d=z/2.9
%二十四节气日照时间计算
x=[-23.45 -22.58 -20.08 -16.25 -11.37 -5.83 0 6.02 11.5 16.38 20.18 22.62 23.45 22.58 20.08 16.25 11.37
5.83 0 -6.02 -11.5 -16.38 -20.18 -22.62];
for i=1:24
a=[x(i) x(i) x(i) x(i)];b=[34.3 34.3 34.3 34.3];c=[-23.24 7.44 34.57 57.58];d=[83.01 82.27 97.20 108.89];
a=a*pi/180;b=b*pi/180;c=c*pi/180;d=d;
h=sin(a).*sin(b)+cos(a).*cos(b).*cos(c);
h1=asin(h);
z=98.6-d.*tan(h1);fprintf('第%f 次输出',i);
lcs=z/2.9
end
n=length(a);
RI=[0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51];
w=zeros(n,n);
%将矩阵 a 各列归一化
s=sum(a);
for j=1:n
a1(:,j)=a(:,j)/s(j);
end
%将归一化的矩阵的各行相加
w=sum(a1');
%将得到的和向量归一化，得到特征向量
s=sum(w);
w=w/s;
%计算特征值
c=a*w';
s=0;
for i=1:n
s=s+c(i)/w(i);
end
disp('特征值为')
lumda=s/n
%进行一致性检验
CI=(lumda-n)/(n-1);
CR=CI/RI(n)
if CR<0.1
disp('通过一致性检验')
disp('特征向量（权重）为')
w
else
disp('没通过一致性检验,请重新进行成对比较')
end
