复数的几何意义

news2024/11/26 19:33:48

1、复平面，复数的其它表示法

(1)几何表示法

$z=x+iy \Leftrightarrow (x,y)$

直角平面坐标：

$xoy\rightarrow$ 复平面

$x\rightarrow$ 实轴， $y\rightarrow$ 虚轴

(2)向量表示法

$z=x+iy\Leftrightarrow$ 向量 $\vec{op}$

模： $\left | z \right |=\vec{op}{\rightarrow}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

复数加减法可用向量的三角形法则或者平行四边形法则

(3)结论

$\left | z \right |=\left | \bar{z} \right |,z\bar{z}=\left | z \right |^{2}=\left | \bar{z} \right |^{2}$

$\left |z _{1} +z _{2}\right|\leq \left | \left | z_{1} \right | +\left |z _{2} \right |\right |$ (两边之和大于第三边)

$\left |z _{1} -z _{2}\right |\geq \left | \left |z _{1} \right | -\left |z _{2} \right |\right |$ ((两边之差大于第三边))

*辐角：向量 $\vec{op}$ 和实轴正向的夹角称为 $z=x+iy$ 的辐角，记作 $\theta =Argz$ (有无穷多个，相差 $2k\pi$ )

* $tan(Argz)=\frac{y}{x}$

*辐角主值： $\theta _{0}=argz$ ( $-\pi < \theta _{0}< \pi$ ) $\Rightarrow argz+2k\pi$

*当 $z=0$ 时， $\left | z \right |=0$ ，辅角不确定

1	$x>0$	$y=0$	实轴正向	$argz=0$
2	$x>0$	$y>0$	第一象限	$argz=arctan\frac{y}{x}$
3	$x=0$	$y>0$	虚轴正向	$argz=\frac{\pi}{2}$
4	$x<0$	$y>0$	第二象限	$argz=\pi+arctan\frac{y}{x}$
5	$x<0$	$y=0$	实轴负向	$argz=\pi$
6	$x=0$	$y<0$	第三象限	$argz=arctan\frac{y}{x}-\pi$
7	$x=0$	$y<0$	虚轴负向	$argz=-\frac{\pi}{2}$
8	$x>0$	$y<0$	第四象限	$argz=arctan\frac{y}{x}$

(4)三角表示法

* $\left | z \right |=r,Arg=\theta ,z=rcos\theta+irsin\theta=r(cos\theta+isin\theta)$

*欧拉公式

$e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}+\cdots$

$\begin{aligned}e^{i\theta}&=1+i\theta+\frac{(i\theta)^2}{2!}+\frac{(i\theta)}{3!}+\cdots\Longrightarrow(1-\frac1{2!}\theta^2+\frac1{4!}\theta^4+\cdots)+i(\theta-\frac1{3!}\theta^3\\&+\frac1{5!}\theta^5+\cdots)\\&=\cos\theta+i\sin\theta\end{aligned}$