1、常见的搜索结构

种类	数据格式	时间复杂度
顺序查找	无要求	O(N)
二分查找	有序	O(log_2 N)
二叉搜索树	无要求	O(log_2 N)
二叉平衡树	无要求	O(log_2 N)
哈希	无要求	O(1)

如果数据量很大，比如有100G数据，无法一次放进内存中，那就只能放在磁盘上了，上述搜索结构就不能发挥作用。如果放在磁盘上，如何处理数据？

在内存中只保存数据项需要查找的部分（key），以及指向该数据在磁盘中位置的指针。那么要访问数据时，先取这个地址去磁盘访问数据。

---

2、B树的概念

1970年，R.Bayer和E.mccreight提出了一种适合外查找的树，它是一种平衡的多叉树，称为B树。

一棵m阶(m>2)的B树，是一棵平衡的M路平衡搜索树，可以是空树。

满足以下性质：

1. 根节点至少有两个孩子
2. 每个分支节点都包含k-1个关键字和k个孩子，其中  m/2 ≤ k ≤ m，（孩子永远比关键字多一个）
3. 每个叶子节点都包含k-1个关键字，其中 ceil(m/2) ≤ k ≤ m
4. 所有的叶子节点都在同一层
5. 每个节点中的关键字从小到大排列，节点当中k-1个元素正好是k个孩子包含的元素的值域划分
6. 每个结点的结构为：（n，A0，K1，A1，K2，A2，… ，Kn，An(n为结点中关键字的个数，满足ceil(m/2)-1≤n≤m-1)

---

3、B树的插入分析

以M=3为例，具体表现为

我们这里多存储一个只是为了当B树已经有两个数据（已满）时，先插入进数据，然后好进行分裂操作。

用序列{53, 139, 75, 49, 145, 36, 101}构建B树：

(1)插入 53 139

 (2)已满 再插入75（关键字数量等于M）开始分裂

分裂规则：

分裂出一半（M/2）的值和孩子给兄弟

需要分裂的节点有M个关键字，找到中位数（75），右边M/2（139）给兄弟，中位数给父亲，没有父亲就创建一个父亲。

(3)插入49 145 36

 (4) 开始分裂

中位数(49) 右边M/2 (53)给分裂出来的兄弟节点 中位数给父亲节点

 (5)插入101

(6)开始分裂

(7) 父亲满了 继续分裂

 3.2插入过程的总结

1.如果树为空，直接插入新节点中，该节点为树的根节点

2.树非空，找待插入元素在树中的插入位置(注意：找到的插入节点位置一定在叶子节点中)

3.检测是否找到插入位置(假设树中的key唯一，即该元素已经存在时则不插入)

4.按照插入排序的思想将该元素插入到找到的节点中

4.检测该节点是否满足B树的性质：即该节点中的元素个数是否等于M，如果小于则满足

6.如果插入后节点不满足B树的性质，需要对该节点进行分裂。

        (a)申请新节点找到该节点的中间位置

        (b)将该节点中间位置右侧的元素以及其孩子搬移到新节点中
        (c)将中间位置元素以及新节点往该节点的双亲节点中插入，即继续4

7. 如果向上已经分裂到根节点的位置，插入结束。

由于该插入规则，B树天然平衡向右和向上增长。

---

4.B树的性能分析

如果M=1024，B树共有四层，那么：

在620亿个元素中，如果这棵树的度为1024，则需要小于4次即可定位到该节点，然后利用
二分查找可以快速定位到该元素，大大减少了读取磁盘的次数。

---

5.B+树和B*树

B+树是B树的变形，B+树的规则跟B树基本类似。

几点改进优化：

1. 分支节点的子树指针与关键字个数相同
2. 分支节点的子树指针p[i]指向关键字值大小在[k[i]，k[i+1])区间之间。（相当于取消了最左边的那个子树）
3. 所有叶子节点增加一个链接指针链接在一起
4. 所有关键字及其映射数据都在叶子节点出现（分支节点和叶子节点有重复的值，分支节点存的是叶子节点的索引。父亲中存的是孩子节点中最小的值做索引）

 总结：

简化B树孩子比关键字多一个的规则，变成相等。

所有关键字都出现在叶子节点的链表中，且链表中的节点都是有序的，方便遍历查找所有值。

不可能在分支节点中命中，叶子节点才是存储数据的数据层。

5.2 图解B+树的插入

M等于3的B+树分裂过程 {53,139，75,49，145，36，101，150,155}

B+树的插入过程和跟B树基本是类似的，区别在于，第一次插入两层节点，一层做分支，一层做根。

B+树的分裂：

当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增
加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向
兄弟的指针。

 5.3 B*树

B*树是B+树的变形，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟节点的指针

 B*树的分裂

当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结
点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如
果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父
结点增加新结点的指针。
B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高；

5.4 总结

B树：有序数组+平衡多叉树；
B+树：有序数组链表+平衡多叉树；
B*树：一棵更丰满的，空间利用率更高的B+树。