管理类联考——数学——汇总篇——知识点突破——应用题——路程—

路程——【考频：高】——【解题提示：根据题意画图，找等量关系（一般是时间和路程），列方程求解。】
【
应用题 $\Longrightarrow$ 路程 $\Longrightarrow$ 直线 $\Longrightarrow$ 匀速、相遇、追及、变速
$\Longrightarrow$ 相遇 $\Longrightarrow$ 往返相遇 $\Longrightarrow$ 同向往返相遇两人的路程和为： $S_{路程和}=2nS$ ；反向往返相遇两人的路程和为： $S_{路程和}=(2n-1)S$ $\Longrightarrow$ 反向第一次相遇是单S，其余同同向一致双S
$\Longrightarrow$ 追及
$\Longrightarrow$ 匀速
$\Longrightarrow$ 变速。
应用题 $\Longrightarrow$ 路程 $\Longrightarrow$ 圆圈 $\Longrightarrow$ 相遇 $\Longrightarrow$ 同向同起点、反向同起点
$\Longrightarrow$ 同向起点 $\Longrightarrow$ 同向相遇一次需要快的比慢的多跑一圈 $\Longrightarrow$ $S_快-S_慢=S_{圆圈}$ $\Longrightarrow$ 同向“路程差”为一圈
$\Longrightarrow$ 反向起点 $\Longrightarrow$ 反向相遇一次需要两者共跑一圈 $\Longrightarrow$ $S_快+S_慢=S_{圆圈}$ $\Longrightarrow$ 反向“路程和”为一圈
】

可以按照直线、圆圈分类，也可以按照相遇追及分类

一、直线路程——【匀速、相遇、追及、变速】——【直线型路程：
相遇： $S_{相遇}=S_甲+S_乙=(v_甲+v_乙)t$ ；
追及： $S_{追及}=S_甲-S_乙=(v_甲-v_乙)t$ 】
1.直线匀速
基本公式： $s=vt，v=\frac{s}{t}，t=\frac{s}{v}$ ，即： $路程 s = 速度 v \times 时间 t ，$ $速度v=\frac{路程s}{时间t}，$ $时间t=\frac{路程s}{速度v}$
解题提示：根据题意画出简单的示意图，设未知数列方程求解，同时注意路程、时间、速度三者中的恒定量，将问题转化为比例关系求解。
注：行程问题中常用的比例关系：
① 时间相同时，速度比等于路程比；
② 速度相同时，时间比等于路程比；
③ 路程相同时，速度比等于时间的反比。
平均速度：——【歌诀记忆法：求平均速度：时间相等求算术，路程相等求调和】
解题方法：
（1）当行驶两段路程所花的时间相等时，总路程的平均速度为两段路程各自平均速度的算术平均值，即 $\bar{v}=\frac{v_1t+v_2t}{2t}=\frac{v_1+v_2}{2}$ ——【往返时间相同，则平均速度为往返速度的算术平均值： $\overline{ v}=\frac{v_1+v_2}{2}$ 】
（2）当两段路程相等时(每段路程为s)，总路程的平均速度为两段路程各自平均速度的调和平均值，即 $\bar{v}=\frac{2s}{\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}}=\frac{2}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$ ——【往返路程相同，则平均速度为往返速度的调和平均值： $\overline{ v}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$ 】
上坡下坡：当两段路程相等时（每段路程为S），平均速度为两段路各自平均速度的调和平均值，即 $v^-=\frac{2S}{\frac{S}{v_1}+\frac{S}{v_2}}=\frac{2}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$ ——【】
2.直线相遇
问题表述：甲、乙两人同时分别从A、B两地相向而行，在C点相遇会合。
基本公式： $S_{相遇}=S_1+S_2=v_1t+v_2t=(v_1+v_2)t$
等量关系： $S_甲+S_乙=S_{AB}\Rightarrow(V_甲+V_乙)t=S_{AB}，\frac{V_甲}{V_乙}=\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{AC}{BC}(时间相同)$
往返相遇：多次往返相遇问题的技巧是抓住“路程和”来建立等量关系或寻找比例关系。假设相遇次数为n次，两地距离为S，两人分别从两地相向而行，则第一次相遇时，两人路程之和为S，相遇时间为t；以后每相遇一次，两人路程之和增加2S ，相遇时间增加 2t。
（1）同向往返相遇两人的路程和为： $S_{路程和}=2nS$ ；
（2）反向往返相遇两人的路程和为： $S_{路程和}=(2n-1)S$ 。——【两人分别从两地相/反向而行，则第一次相遇时，两人路程之和为S，相遇时间为t；以后每相遇一次，两人路程之和增加2S ，相遇时间增加 2t。】
——【歌诀记忆法：
同向往返相遇两人的路程和为： $S_{路程和}=2nS$ ；
反向往返相遇两人的路程和为： $S_{路程和}=(2n-1)S$ 。】——【反向第一次相遇是单S，其余同同向一致双S】
3.直线追及
问题表述：甲、乙相距AC时甲追赶乙，并最终在B点追上乙。
基本公式： $S_{追及}=S_1-S_2=v_1t-v_2t=(v_1-v_2)t$
等量关系： $S_甲-S_乙=S_{AC}\Rightarrow(V_甲-V_乙)t=S_{AC}，\frac{V_甲}{V_乙}=\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{AB}{BC}(时间相同)$ ——【】
4.直线变速：——【变速乘积=；好像设未知数比记公式更有性价比】
基本公式： $v_1v_2=\frac{s·△v}{△t}$ ——【推导：设同一段路程s，先后用 $v_1，v_2$ 两段速度通过，时间差为△t ，则 $\frac{s}{v_1}-\frac{s}{v_2}=△t\Rightarrow\frac{s(v_2-v_1)}{v_1v_2}=△t\Rightarrow\frac{s·△v}{v_1v_2}=△t$ ，即 $v_1v_2=\frac{s·△v}{△t}$ 】

二、圆圈路程——【歌诀记忆法：同向同起点时“路程差”为一圈，反向同起点时“路程和”为一圈；起点相遇找速度比；不同起点第一次相遇和追及当成直线型，第二次开始当成“同起点”的跑圈问题。】——【同乡通气查一圈；反向通气喝一圈】
1.同向同起点：同一起点出发，顺时针方向跑，第一次在B点遇上（ $V_甲＞V_乙$ ）。
等量关系： $S_甲-S_乙=S$ （假设甲的速度较快，经历时间相同）——【甲乙每相遇一次，甲比乙多跑一圈】
甲、乙每相遇一次，甲比乙多跑一圈，若n次相遇，则有 $S_甲-S_乙=nS，\frac{V_甲}{V_乙}=\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{S_乙+nS}{S_乙}=1+\frac{nS}{S_乙}$
在这里插入图片描述
2.反向同起点：同一起点出发，相反方向跑，第一次在B点遇上（ $V_甲＞V_乙$ ）。
等量关系： $S_甲+S_乙=S$ ——【每相遇一次，甲与乙路程之和为一圈】
每次相遇，甲、乙的路程之和为一圈，若相遇n次，则有 $S_甲＋S_乙=nS，\frac{V_甲}{V_乙}=\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{nS-S_乙}{S_乙}=\frac{nS}{S_乙}-1$
解题技巧：在做圆圈型追及相遇问题时，求第k次相遇情况，可以将（k-1）次相遇看成起点进行分析考虑。
在这里插入图片描述
环形跑道：当起点相同时，有同向运动，每相遇一次，路程差增加一圈；反向运动，每相遇一次，路程和增加一圈。——【】

（or：按照“相遇追赶分类”
相遇、追赶题型
1 直线型相遇、追赶——【直线型路程：
相遇： $S_{相遇}=S_甲+S_乙=(v_甲+v_乙)t$ ；
追及： $S_{追及}=S_甲-S_乙=(v_甲-v_乙)t$ 】
【解题提示】此类问题比较常见，根据题意画出简单示意图，抓住等量关系（一般是时间和路程），列方程求解。
（1）同时相向而行
问题表述：甲、乙两人同时分别从A、B两地相向而行，在C点相遇会合。
等量关系： $S_甲+S_乙=S_{AB}\Rightarrow(V_甲+V_乙)t=S_{AB}，\frac{V_甲}{V_乙}=\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{AC}{BC}(时间相同)$
（2）追赶问题
问题表述：甲、乙相距AC时甲追赶乙，并最终在B点追上乙。
等量关系： $S_甲-S_乙=S_{AC}\Rightarrow(V_甲-V_乙)t=S_{AC}，\frac{V_甲}{V_乙}=\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{AB}{BC}(时间相同)$ ——【】
2.圆圈型（操场）相遇、追赶——【圆圈型路程：
同向运动：同一起点出发，顺时针方向跑，第一次在B点遇上（ $V_甲＞V_乙$ ）。等量关系（经历时间相同）： $S_甲-S_乙=S$ 。甲乙每相遇一次，甲比乙多跑一圈，若相遇n次，则有 $S_甲-S_乙=nS；\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{nS+S_乙}{S_乙}$ 。
逆向运动：同一起点出发，相反方向跑，第一次在B点遇上。等量关系： $S_甲+S_乙=S$ 。甲乙每相遇一次，甲与乙路程之和为一圈，若相遇n次，则有 $S_甲+S_乙=nS；\frac{V_甲}{V_乙}=\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{nS-S_乙}{S_乙}$ 】
（1）同向（设圆周长为S）
等量关系： $S_甲-S_乙=S$ （假设甲的速度较快）
甲、乙每相遇一次，甲比乙多跑一圈，若n次相遇，则有 $S_甲-S_乙=nS，\frac{V_甲}{V_乙}=\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{S_乙+nS}{S_乙}$
在这里插入图片描述
（2）逆向
等量关系： $S_甲+S_乙=S$
每次相遇，甲、乙的路程之和为一圈，若相遇n次，则有 $S_甲＋S_乙=nS，\frac{V_甲}{V_乙}=\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{nS-S_乙}{S_乙}$
【解题技巧】在做圆圈型追及相遇问题时，求第k次相遇情况，可以将（k-1）次相遇看成起点进行分析考虑。
在这里插入图片描述
）

变速路程
1.同一路程变速
思路：解决同一路程变速问题的常用方法有：
（1）方程组法；（2）比例法；（3）法宝公式法；（4）等面积法；（5）假设法
其中，法宝公式法： $v_1v_2=\frac{s·△v}{△t}$ ——【推导证明：设同一段路程s，先后用 $v_1，v_2$ 两段速度通过，时间差为△t ，则 $\frac{s}{v_1}-\frac{s}{v_2}=△t\Rightarrow\frac{s(v_2-v_1)}{v_1v_2}=△t\Rightarrow\frac{s·△v}{v_1v_2}=△t$ ，即 $v_1v_2=\frac{s·△v}{△t}$ 】
2.不同路程变速
思路：对于不同路程的变速问题，通常要用假设转化的方法找到比例，达到化简的目的。

相对速度：同向而行，相对速度= $V_甲-V_乙|$ ；相向而行，相对速度= $V_甲+V_乙$ 。当出现多个物体同时运动时，将某个物体看成“静止”的，当作参照物，利用相对速度分析，如队伍行军，火车与行人，发车间隔。

水上航行：——【特别提醒：水中掉落物体（漂浮）时，从落水到发现与从发现到找到的时间相同！】
船顺流时速度： $v_顺=v_船+v_水$
船逆流时速度： $v_逆=v_船-v_水$
逆水行船时：实际速度为： $V_{逆水}=V_{船}-V_{水}$
顺水行船时：实际速度为： $V_{顺水}=V_{船}+V_{水}$
静水行船速度：静水速度=船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，即： $V_{船}=\frac{V_{顺水}+V_{逆水}}{2}$
水流速：水速=（顺水速度-逆水速度）÷2，即： $V_{水}=\frac{V_{顺水}-V_{逆水}}{2}$