完全背包

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

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求解思路：

完全背包和01背包的唯一不同就是在遍历顺序上；完全背包先遍历背包或是物品都可以，并且需要正序遍历

代码：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

void solve(vector<int> weight, vector<int> value, int bagWeight){
    vector<int> dp(bagWeight+1, 0);
    for (int i = 0; i < weight.size(); i++){
        for (int j = 0; j <= bagWeight; j++){
            if (j - weight[i] >= 0)
                dp[j] = max(dp[j], dp[j-weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}

int main(){
    int N, V;
    cin >> N >> V;
    vector<int> weight;
    vector<int> value;
    for (int i = 0; i < N; i++){
        int w, v;
        cin >> w >> v;
        weight.push_back(w);
        value.push_back(v);
    }
    solve(weight, value, V);
    return 0;
}

518. 零钱兑换 II

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求解思路：

本题是要求凑成总金额的物品组合个数

动规五部曲

1. 确定dp数组及其下标含义：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]
2. 递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];（01背包题目 494.目标和）
3. dp数组的初始化：dp[0] = 1
4. 确定遍历顺序：本题应该先遍历物品，再遍历背包（求组合数）
5. 举例推导dp数组：amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下

代码：

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int> dp(amount + 1);
        dp[0] = 1;
        // 先物品再背包，求组合数
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++){
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++){
                dp[j] += dp[j-coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};

377. 组合总和 Ⅳ

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求解思路：

和上一题仅仅是遍历顺序不一样

代码：

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int> dp(target+1, 0);
        dp[0] = 1;
        // 先遍历背包，再遍历物品（求排列）
        for (int i = 0; i <= target; i++){
            for (int j = 0; j < nums.size(); j++){
                // C++测试用例有两个数相加超过int的数据
                // 需要在if里加上dp[i] < INT_MAX - dp[i - num]
                if (i - nums[j] >= 0 && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]])
                    dp[i] += dp[i - nums[j]];
            }
        }
        return dp[target];
    }
};