1 简介

AIDW 主要是针对 IDW 的缺点进行了改进，考虑了样本点与预测点的位置，即方向和距离，具体见下图：

2 改进

IDW 公式：

从IDW算法可看出，插值点的估算值仅与插值样本距插值点的远近相关，并未考虑样本点的方位性（即样本点被表示为各向同性）。

IDW 插值的基本假设是样点在插值区呈均匀分布。但众多情况下，样点在各向分布并非均匀，甚至会出现样点集中于某一方向的现象，违背了基本假设，其插值合理性就难被保证。针对 IDW 这一插值局限，作者提出了调和反距离权重（AIDW）插值算法。

AIDW 增加了可反映插值点与样本点方位关系的调和权重系数 K，其基本假设是：距插值点近的样本点，对其后方的样本点有遮蔽效应，当两样本点与插值点的连线夹角 $\alpha <360°/n$（n 为插值搜索邻域内的样点个数）时，遮蔽效应存在，当 $\alpha \ge 360°/n$ 时，遮蔽效应消失。在 AIDW 插值过程中，受遮蔽影响的样本点，其插值权重将被削弱，削弱的程度取决于该样点 K 值的大小。

按上述假设：

• 图1(a) 所示的 5 个样点在方向上均匀地分布在插值点（中心点）周围，任意两样点与插值点的连线夹角均大于或等于 72°（即α $\alpha \ge 360°/5$），即认为该５个样点间相互不存在遮蔽效应；
• 在图1©中，任意两样点与插值点的连线夹角均小于72°，即认为距插值点的近样点，对其后的样点均具有遮蔽效应；在大多情况下，样点在插值点周围的分布应类似图1(b)，既不像图1(a)均匀分布，也不像图1©集中分布。
• 图1(b)中 $Z_1$、$Z_3$ 对任一样点均无遮蔽，$Z_2$ 对 $Z_4$、$Z_5$ 有遮蔽，$Z_4$ 对 $Z_5$ 也有遮蔽。

将 IDW 传统的算法思想与本文的基本假设结合，提出了 AIDW 算法:

${\sin }^p\theta$的理解：

• 从下图(a)可以看出，$Z_i$ 逐渐移向 $Z_0$ 的过程种，$\theta$ 逐渐增大，当三者形成等腰三角形时，$\theta =90°$，此时最大，即 ${\sin }^p\theta =1$，$Z_j$ 不会对 $Z_i$ 产生遮蔽影响。
• 从下图(b)可以看出，$Z_i$ 保持与 $Z_0$相同的距离向 $Z_j$ 移动，当两者位于同一条线时，$Z_i$的影响完全被遮蔽，即$\theta =0°,{\sin }^p\theta =0$。

计算样例：

按AIDW算法，在图3(b)中因$Z_1$对$Z_6$、$Z_3$对$Z_7$和$Z_8$、$Z_4$对$Z_7$有遮蔽影响，这些受遮蔽样点的插值权重被削减，$Z_{10}、Z_{11}、Z_{12}$分别被$Z_4$、$Z_3$、$Z_7$ 完全遮蔽，它们的插值权重降至为０。依照式(2)和式(3)，最终插值点估算值的计算式为：

• $Z$ 为插值点（中心点）估算值
• $Z_1-Z_9$为样点观测值
• $d_1-d_9$为样点与插值点的欧氏距离
• p 是幂指数
• $\theta$ 角如图3(b)所示

3 程序设计流程

AIDW 的插值程序可分为插值前准备和插值计算两个过程：

• 插值前准备主要是用于搜索合适的插值样点，并为下一步的插值计算提供 $d_i$ 和 $f_{ij}$ 值；
• 插值计算过程主要是求算反映样点遮蔽程度的 ${\sin }^p{\theta }_{ij}$ 值，并结合 $d_i、z_i$ 值求算插值点的Z值。

• 插值搜索邻域的大小以格点数(ｋ×ｋ)表示
• m 是搜索邻域内的样点数
• n 是插值所需的样点数
• d、f 分别为样点与插值点的欧氏距离和两样点间的欧氏距离
• i、j、u、v 均为插值样点的序号

4 插值结果

• 对比 M 点(黑色框)，IDW 出现孤立圆现象(站点集中于一侧)，AIDW 消除了孤立圆现象
• 对比 C 点(红色框)，IDW 出现同心圆现象，AIDW 消除了同心圆现象
• 对比 K 点(黄色框)，两者均出现孤立圆，通过分析，K 点周围的站点分布均匀。

从上图可以看出 AIDW 有效改进了 IDW 的缺点，同时又能保留 IDW 的插值思想，但 AIDW 需要计算 $\theta$ ，因此在插值时间上要比 IDW 慢。

5 python 实现

from sklearn.neighbors import NearestNeighbors

"""类函数"""
class AIDW:
    def __init__(self, x, y, m,p=2):
        self.m = m # 搜索邻域内的样点数
        self.nbrs = NearestNeighbors(n_neighbors=m, algorithm='ball_tree').fit(x)
        self.thresh = 360/m
        self.p = p
        self.y = y
        self.x = x
        
    def fit(self, x_new):
        indices = self.nbrs.kneighbors(x_new, return_distance=False)
        x_sample = self.x[indices[0]]
        y_sample = self.y[indices[0]]
        x_ = x_sample-x_new
        zi = []
        ki = 1
        for i in range(1, self.m-1):
            for j in range(i):
                cos_ = np.sum(x_[i]*x_[j])/((np.sum(x_[i]**2)**(1/2))*(np.sum(x_[j]**2)**(1/2)))
                radian = np.arccos(cos_)
                angle = radian*180/np.pi 
                if angle>=self.thresh:continue
                else:
                    ki*=np.sin(radian)**self.p
            di = np.sum(x_[i]**2)**(1/2)
            zi.append(ki/(di**self.p))
        z = np.sum(np.array(zi)*y_sample[1:-1])/np.sum(zi)
        return z

"""demo"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# create sample points with structured scores
X1 = 10 * np.random.rand(1000, 2) -5

def func(x, y):
    return np.sin(x**2 + y**2) / (x**2 + y**2 )

z1 = func(X1[:,0], X1[:,1])

# 'train'
aidw = AIDW(X1, z1, m=15)

# 'test'
spacing = np.linspace(-5., 5., 100)
X2 = np.meshgrid(spacing, spacing)
grid_shape = X2[0].shape
X2 = np.reshape(X2, (2, -1)).T
z2 = []
for x2 in X2:
    z2.append(aidw.fit(x2.reshape(1,-1)))
z2 = np.array(z2)

# plot
fig, (ax1, ax2, ax3) = plt.subplots(1, 3, sharex=True, sharey=True, figsize=(10,3))
ax1.contourf(spacing, spacing, func(*np.meshgrid(spacing, spacing)))
ax1.set_title('Ground truth')
ax2.scatter(X1[:,0], X1[:,1], c=z1, linewidths=0)
ax2.set_title('Samples')
ax3.contourf(spacing, spacing, z2.reshape(grid_shape))
ax3.set_title('Reconstruction')
plt.show()

参考：
顾及方向遮蔽性的反距离权重插值法.李正泉.
An Adjusted Inverse Distance Weighted Spatial Interpolation Method.