1.原题

二叉树采用二叉链表存储结构，设计算法，判断二叉树是否为满二叉树。叙述算法思想并给出算法实现。

2.算法思想

通过一次遍历，得到结点个数和树的高度。用结点个数和树的高度的关系来判断是否为满二叉树。

3.关键代码

/**
 * @struct treeNode
 * @brief 二叉树节点结构体。
 */
struct treeNode {
    int data; /**< 节点中存储的数据 */
    struct treeNode *lchild; /**< 指向左子节点的指针 */
    struct treeNode *rchild; /**< 指向右子节点的指针 */
};

/**
 * @brief 计算二叉树的高度
 *
 * 递归计算二叉树的高度，并记录节点数。
 *
 * @param root 二叉树根节点指针
 * @param n 指向节点数的指针，记录二叉树的节点数
 * @return int 二叉树高度
 */
int treeHeight(struct treeNode *root, int *n) {
    // 若根节点为空，则高度为0
    if (root == NULL) {
        return 0;
    } else {
        // 递归计算左子树高度
        int leftTreeHeight = treeHeight(root->lchild, n);
        // 若左子树不为空，则节点数加1
        if (leftTreeHeight) {
            (*n)++;
        }
        // 递归计算右子树高度
        int rightTreeHeight = treeHeight(root->rchild, n);
        // 若右子树不为空，则节点数加1
        if (rightTreeHeight) {
            (*n)++;
        }
        // 返回左右子树中的最大高度并加上根节点的高度
        return (leftTreeHeight > rightTreeHeight ? leftTreeHeight : rightTreeHeight) + 1;
    }
}

/**
 * @brief 判断二叉树是否为满二叉树
 *
 * 验证二叉树是否为满二叉树，并输出节点数及高度信息。
 *
 * @param root 二叉树根节点指针
 */
void isTreeFull(struct treeNode *root) {
    // 若根节点为空，则是空树
    if (root == NULL) {
        printf("This is an empty tree.\n");
        return;
    }

    int n = 1;
    int height = treeHeight(root, &n); // 获取树的高度和节点数

    printf("number of the tree: %d\n", n); // 输出节点数
    printf("height of the tree: %d\n", height); // 输出树的高度

    // 判断是否为满二叉树
    if (n == ((int) pow(2, height) - 1)) {
        printf("This is a full tree.\n"); // 是满二叉树
    } else {
        printf("This is not a full tree.\n"); // 不是满二叉树
    }
}

4.完整代码

/**
 * @file main.c
 * @brief 实现了二叉树及其相关操作。
 */

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <tgmath.h>

/**
 * @struct treeNode
 * @brief 二叉树节点结构体。
 */
struct treeNode {
    int data; /**< 节点中存储的数据 */
    struct treeNode *lchild; /**< 指向左子节点的指针 */
    struct treeNode *rchild; /**< 指向右子节点的指针 */
};

/**
 * @brief 计算二叉树的高度
 *
 * 递归计算二叉树的高度，并记录节点数。
 *
 * @param root 二叉树根节点指针
 * @param n 指向节点数的指针，记录二叉树的节点数
 * @return int 二叉树高度
 */
int treeHeight(struct treeNode *root, int *n) {
    // 若根节点为空，则高度为0
    if (root == NULL) {
        return 0;
    } else {
        // 递归计算左子树高度
        int leftTreeHeight = treeHeight(root->lchild, n);
        // 若左子树不为空，则节点数加1
        if (leftTreeHeight) {
            (*n)++;
        }
        // 递归计算右子树高度
        int rightTreeHeight = treeHeight(root->rchild, n);
        // 若右子树不为空，则节点数加1
        if (rightTreeHeight) {
            (*n)++;
        }
        // 返回左右子树中的最大高度并加上根节点的高度
        return (leftTreeHeight > rightTreeHeight ? leftTreeHeight : rightTreeHeight) + 1;
    }
}

/**
 * @brief 判断二叉树是否为满二叉树
 *
 * 验证二叉树是否为满二叉树，并输出节点数及高度信息。
 *
 * @param root 二叉树根节点指针
 */
void isTreeFull(struct treeNode *root) {
    // 若根节点为空，则是空树
    if (root == NULL) {
        printf("This is an empty tree.\n");
        return;
    }

    int n = 1;
    int height = treeHeight(root, &n); // 获取树的高度和节点数

    printf("number of the tree: %d\n", n); // 输出节点数
    printf("height of the tree: %d\n", height); // 输出树的高度

    // 判断是否为满二叉树
    if (n == ((int) pow(2, height) - 1)) {
        printf("This is a full tree.\n"); // 是满二叉树
    } else {
        printf("This is not a full tree.\n"); // 不是满二叉树
    }
}

/**
 * @brief 创建新节点。
 * @param data 节点数据。
 * @return 新节点指针。
 */
struct treeNode *createNode(int data) {
    struct treeNode *newNode = (struct treeNode *) malloc(sizeof(struct treeNode));
    newNode->data = data;
    newNode->lchild = NULL;
    newNode->rchild = NULL;
    return newNode;
}

/**
 * @brief 输出二叉树的括号表示法结构。
 * @param root 二叉树根节点指针。
 */
void printTree(struct treeNode *root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    printf("(%d", root->data);
    if (root->lchild != NULL || root->rchild != NULL) {
        printf(" ");
        if (root->lchild == NULL) {
            printf("( )");
        } else {
            printTree(root->lchild);
        }
        printf(" ");
        if (root->rchild == NULL) {
            printf("( )");
        } else {
            printTree(root->rchild);
        }
    }
    printf(")");
}


/**
 * @brief 主函数展示二叉树操作。
 * @return 程序退出状态。
 */
int main() {
    struct treeNode *root = createNode(1); // 根节点为1
    root->lchild = createNode(2);
    root->rchild = createNode(3);
    root->lchild->lchild = createNode(4);
    root->lchild->rchild = createNode(5);
    root->rchild->lchild = createNode(6);
    root->rchild->rchild = createNode(7);

    printf("Binary Tree in Parenthesis Representation: ");
    printTree(root);
    printf("\n");

    isTreeFull(root);

    return 0;
}

5.运行结果