一.为什么需要离散小波变换

连续小波分解，通过改变分析窗口大小，在时域上移动窗口和基信号相乘，最后在全时域上整合。通过离散化连续小波分解可以得到伪离散小波分解， 这种离散化带有大量冗余信息且计算成本较高。

小波变换的公式如下：

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通过下面步骤即可得到不同尺度下的小波变换。

二.离散小波变换

我们将小波的尺度和平移参数以2的指数幂的形式进行变换，我们可以得到一串不同的小波。这些子小波的尺度参数以2的j次方的形式增长。当使用这一系列的子小波，对一个连续函数进行离散分析时，我们所获得的是一组小波分析的系数，这个分析过程称为**小波系列分解**。

而高尺度小波代表着低频信息，小尺度的小波代表着高频信息。

因此如下图所示，不同尺度的小波来实现频率上的覆盖。

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因此我们可以理解，为什么离散小波变换可以等效为通过一个高通和低通滤波器。

更直观的可以用下面的图片来表示。

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三.直观意义

当我们懂了上面的内容，再来看看小波变换的过程，是否能有了以下体会。

小波分解的多尺度可以类比为我们使用不同的“放大镜”去观察一个物体。想象一下你手里有一张非常复杂的画，画面上有大的物体，如山脉、树木，但也有非常细小的细节，如叶子上的纹理或昆虫的触角。
粗尺度（低分辨率） ：当你使用低倍的放大镜（或者站得很远）去看这幅画时，你可以看到大的物体，如山脉和树木，但可能看不到细小的纹理或昆虫。在小波分解中，这就像我们查看信号的低频部分，捕获其主要的、宽泛的特征。
细尺度（高分辨率） ：现在，如果你换一个高倍的放大镜（或者走近一些）去看同一幅画，你可能会失去对整体的感知，但可以清晰地看到叶子上的纹理或昆虫的触角等细节。在小波分解中，这就像我们查看信号的高频部分，捕获其细节和快速的变化。
小波分解的美妙之处在于，它同时提供了多个尺度的视角，让我们既可以看到信号的整体特征，又可以看到其细节。这就像我们可以同时拥有多个不同倍率的放大镜，让我们在需要的时候选择合适的一个来观察画面。

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四.小波变换实现分解和重构。

如图a是带有噪声的信号，经过4层小波变换得到的变换后的先后如下。

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代码如下所示：

%% 1.生成仿真信号
Fs = 1000; % 采样频率
t = 0:1/Fs:1-1/Fs; % 时间向量
% 创建一个合成信号：包含不同频率的正弦波、趋势和噪声
signal = cos(2*pi*10*t) + 0.5*sin(2*pi*50*t) + t + 0.5*randn(size(t));
figure('color','white')
subplot(3,2,1)
%%  2.绘制DWT分解图
subplot(6,1,1);
plot(signal)
ylabel(['a']);
[C,L] = wavedec(signal,4,waveletType);
for i=1:4
    a = wrcoef('a',C,L,waveletType,5-i);
    subplot(6,1,i+1);
    plot(a);
    ylabel(['a',num2str(5-i)]);
end

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