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算法设计与分析复习–贪心（一）

哈夫曼编码

产生这种前缀码的方式称为哈夫曼树

哈夫曼树相关习题AcWing 148. 合并果子

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

const int N = 10010;

int n;
priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > heap;

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        heap.push(x);
    }
    
    int res = 0;
    while (heap.size() > 1)
    {
        int x = 0;
        x += heap.top(); heap.pop();
        x += heap.top(); heap.pop();
        heap.push(x);
        res += x;
    }
    printf("%d", res);
    return 0;
}

单源最短路

最短路问题

Dijkstra方法

稠密图下

AcWing 849. Dijkstra求最短路 I

使用邻接矩阵来存

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 510;

int g[N][N], n, m;
int dist[N];
bool st[N];

int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;//这里不能初始化st[1]因为此时还没拓展边
    
    for (int i = 1; i < n; i ++)
    {
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j ++)
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t]))
                t = j;
        
        st[t] = true;//找到连接当前结点的最短的一条边了
        
        for (int j = 1; j <= n; j ++)
            dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);//松弛操作
    }
    
    if (dist[n] > 0x3f3f3f3f >> 1) return -1;
    else return dist[n];
}

int main()
{
    memset(g, 0x3f, sizeof g);
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    for (int i = 0; i < m; i ++)
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        g[a][b] = min(g[a][b], c);
    }
    
    printf("%d", dijkstra());
    return 0;
}

最小生成树

问题描述：设G = (V, E)是无向连通带权图。E中每条边（v, w）的权为c[v][w]。最小生成树问题就是要在G的所有生成树中，找到权值最小的那颗生成树。

最小生成树与二分图

up讲解

Kruskal算法

AcWing 859. Kruskal算法求最小生成树

从边的角度生成最小生成树，将边按照从小到大排序，并一次回放到结点集中，在进行判断是否有产生环，如果没有产生环就说明这个边的添加是可行的，直至添加n - 1个边，否则不能生成
判断是否有环产生使用并查集

适用于稀疏图，由于处理的是边的信息所以定义这个结构体

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010, M = 200010;// 边较少是稀疏图

struct edge
{
    int a, b, c;
}e[M];

int n, m, f[N];

bool cmp(edge x, edge y)
{
    return x.c < y.c;
}

int find(int x)
{
    if (x != f[x]) f[x] = find(f[x]);
    return f[x];
}

void kruskal()
{
    sort(e, e + m, cmp);
    
    int res = 0, cnt = 0;
    
    for (int i = 0; i < m; i ++)
    {
        int a = e[i].a, b = e[i].b, c = e[i].c;
        a = find(a), b = find(b);//并查集至少需要将两个点find一次，不如直接记下来
        if (a != b)
        {
            f[a] = b;
            res += c;
            cnt ++;
        }
    }
    
    if (cnt < n - 1) puts("impossible");
    else printf("%d", res);
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++) f[i] = i; 
        
    for (int i = 0; i < m; i ++) 
    {
        scanf("%d%d%d", &e[i].a, &e[i].b, &e[i].c);
    }
    kruskal();
    return 0;
}

Prim算法

AcWing 858. Prim算法求最小生成树

将顶点集分为已选顶点集合和未选顶点集合，然后优先选择连接两个集合的权值最小的边

适用于稠密图，用邻接矩阵存的

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 510;

int g[N][N], n, m;
int dist[N];
bool st[N];

void prim()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j ++)
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t]))
                t = j;
        
        st[t] = true;
        
        //第一个结点不做处理
        if (i && dist[t] == 0x3f3f3f3f){// 不连通
            puts("impossible");
            return;
        }
        if (i) res += dist[t];//加权重
        
        for (int j = 1; j <= n; j ++)
            dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);//和dijkstra的区别，算的不是从起点到的距离而是两个点的距离，所以不加
    }
    printf("%d", res);
    
}

int main()
{
    memset(g, 0x3f, sizeof g);
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    for (int i = 0; i < m; i ++)
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);//无权图两边都要
    }
    
    prim();
    return 0;
}

多机调度问题

设有n个独立的作业{1, 2, …，n}, 由m台相同的机器{$M_1,M_2,...,M_m$}进行加工处理，作业 $i$ 所需的处理时间为$t_i$（1 <= i <= n）,每个作业均可在任何一台机器上加工处理， 但不可间断、拆分。要求给出一种作业调度方案 ，使得n个作业在尽可能短的时间内被m个机器加工完成。

贪心策略：采取最长处理时间作业优先

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;

const int N = 100010;

int a[N], n, m;
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII> > heap;

bool cmp(int x, int y)
{
    return x > y;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    for (int i = 0; i < n; i ++) scanf("%d", &a[i]);
    for (int i = 1; i <= m; i ++) heap.push({0, i});
    
    sort(a, a + n, cmp);
    
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();
        t.first += a[i];
        
        res = max(res, t.first);
        heap.push(t);
    }
    
    printf("%d", res);
    return 0;
}

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未完待续