目录
- 1.概述
- 2.代码实现
- 2.1.邻接矩阵存储图
- 2.2.邻接表存储图
- 2.3.测试
- 3.应用
1.概述
（1）在一给定的无向图 G = (V, E) 中，(u, v) 代表连接顶点 u 与顶点 v 的边，而 w(u, v) 代表此边的权重，若存在 T 为 E 的子集且为无循环图，使得联通所有结点的 w(T) 最小，则此 T 为 G 的最小生成树 (minimal spanning tree)。
（2）普利姆 (Prim) 算法是一种用于解决最小生成树问题的贪心算法，其主要思路如下：
- ① 选择任意一个顶点作为起始点，将其加入最小生成树中。
- ② 从已选择的顶点集合中选取一个顶点，该顶点与未选择的顶点构成的边权重最小，并且该边的另一端顶点未被选择，将该顶点和边加入最小生成树中。
- ③ 重复步骤 ②，直到最小生成树包含了图中的所有顶点。
（3）例如，对带权连通无向图 G 使用普利姆 (Prim) 算法构造最小生成树的过程如下：
另外一种生成最小生成树的克鲁斯卡尔 (Kruskal) 算法可参考【算法】最小生成树——克鲁斯卡尔 (Kruskal) 算法这篇文章。
2.代码实现
2.1.邻接矩阵存储图
class Solution {
// INF 表示两点之间没有连接，即无穷大
int INF = Integer.MAX_VALUE;
/*
graph: 用于表示图的邻接矩阵
返回值: 路径矩阵
*/
public int prim(int[][] graph) {
//图中的顶点数
int V = graph.length;
// weight[i] 表示从 i 点到已访问集合的最小边权值
int[] weight = new int[V];
Arrays.fill(weight, INF);
//标记节点是否在最小生成树中
boolean[] mstSet = new boolean[V];
// parent[i] 表示从 i 点到最小生成树的一条边
int[] parent = new int[V];
//从顶点 0 开始生成最小树
weight[0] = 0;
//根节点没有父节点
parent[0] = -1;
//访问 V - 1 个节点
for (int i = 0; i < V - 1; i++) {
//从未访问的节点中选择 weight 最小的节点 u
int u = minKey(weight, mstSet);
//将节点 u 标记为已访问
mstSet[u] = true;
//访问与 u 相邻的节点 v
for (int v = 0; v < V; v++) {
//如果 v 未被访问过、u - v 之间有边、并且 u - v 之间的距离比原本的距离小
if (!mstSet[v] && graph[u][v] != 0 && graph[u][v] != INF && graph[u][v] < weight[v]) {
//将 u - v 之间的边加入最小生成树
parent[v] = u;
//标记从 v 到已访问集合的最小边权值
weight[v] = graph[u][v];
}
}
}
//计算最小生成树的权值并返回
int sum = 0;
for (int i = 1; i < V; i++) {
sum += weight[i];
}
//输出最小生成树的路径
System.out.println("最小生成树的路径以及对应的权重依次为: ");
for (int i = 1; i < V; i++) {
System.out.println("(" + parent[i] + "-" + i + ") " + weight[i]);
}
return sum;
}
public int minKey(int[] weight, boolean[] mstSet) {
//初始化 weight 的最小值和对应的节点
int min = INF;
int minIndex = -1;
for (int v = 0; v < weight.length; v++) {
//如果 v 节点未被访问，并且 v 节点到已访问集合的边的权值更小
if (!mstSet[v] && weight[v] < min) {
//更新最小值
min = weight[v];
//更新 weight 的最小值对应的节点
minIndex = v;
}
}
return minIndex;
}
}
2.2.邻接表存储图
class Solution {
// INF 表示两点之间没有连接，即无穷大
int INF = Integer.MAX_VALUE;
/*
graph: 用于表示图的邻接表
返回值: 最小生成树的权重
*/
public int prim(List<int[]>[] graph) {
//图中的顶点数
int V = graph.length;
// weight[i] 表示从 i 点到已访问集合的最小边权值
int[] weight = new int[V];
Arrays.fill(weight, INF);
//标记节点是否在最小生成树中
boolean[] mstSet = new boolean[V];
// parent[i] 表示从 i 点到最小生成树的一条边
int[] parent = new int[V];
//从顶点 0 开始生成最小树
weight[0] = 0;
//根节点没有父节点
parent[0] = -1;
//访问 V - 1 个节点
for (int i = 0; i < V - 1; i++) {
//从未访问的节点中选择 weight 最小的节点 u
int u = minKey(weight, mstSet);
//将节点 u 标记为已访问
mstSet[u] = true;
//访问与 u 相邻的节点 v
for (int[] node : graph[u]) {
int v = node[0];
int w = node[1];
if (!mstSet[v] && w < weight[v]) {
parent[v] = u;
weight[v] = w;
}
}
}
//计算最小生成树的权值并返回
int sum = 0;
for (int i = 1; i < V; i++) {
sum += weight[i];
}
//输出最小生成树的路径
System.out.println("最小生成树的路径以及对应的权重依次为: ");
for (int i = 1; i < V; i++) {
System.out.println("(" + parent[i] + "-" + i + ") " + weight[i]);
}
return sum;
}
public int minKey(int[] weight, boolean[] mstSet) {
//初始化 weight 的最小值和对应的节点
int min = INF;
int minIndex = -1;
for (int v = 0; v < weight.length; v++) {
//如果 v 节点未被访问，并且 v 节点到已访问集合的边的权值更小
if (!mstSet[v] && weight[v] < min) {
//更新最小值
min = weight[v];
//更新 weight 的最小值对应的节点
minIndex = v;
}
}
return minIndex;
}
}
2.3.测试
（1）本测试中的加权无向图如下所示：
（2）邻接矩阵的测试代码如下：
class Test {
public static void main(String[] args) {
//图的顶点数
int n = 7;
int[][] graph = new int[n][n];
//初始化邻接矩阵，初始化为 Integer.MAX_VALUE 表示不可达
for (int i = 0; i < n; i++) {
Arrays.fill(graph[i], Integer.MAX_VALUE);
graph[i][i] = 0;
}
//添加图的边
graph[0][1] = 9;
graph[0][5] = 1;
graph[1][0] = 9;
graph[1][2] = 4;
graph[1][6] = 3;
graph[2][1] = 4;
graph[2][3] = 2;
graph[3][2] = 2;
graph[3][4] = 6;
graph[3][6] = 5;
graph[4][3] = 6;
graph[4][5] = 8;
graph[4][6] = 7;
graph[5][0] = 1;
graph[5][4] = 8;
graph[6][1] = 3;
graph[6][3] = 5;
graph[6][4] = 7;
Solution solution = new Solution();
int sum = solution.prim(graph);
System.out.println("最小生成树的权重为: " + sum);
}
}
输出结果如下：
最小生成树的路径以及对应的权重依次为:
(2-1) 4
(3-2) 2
(4-3) 6
(5-4) 8
(0-5) 1
(1-6) 3
最小生成树的权重为: 24
（3）邻接表的测试代码如下：
class Test {
public static void main(String[] args) {
//图的顶点数
int n = 7;
List<int[]>[] graph = new ArrayList[n];
//初始化邻接表
for (int i = 0; i < n; i++) {
graph[i] = new ArrayList<>();
}
//添加图的边
graph[0].add(new int[]{1, 9});
graph[0].add(new int[]{5, 1});
graph[1].add(new int[]{0, 9});
graph[1].add(new int[]{2, 4});
graph[1].add(new int[]{6, 3});
graph[2].add(new int[]{1, 4});
graph[2].add(new int[]{3, 2});
graph[3].add(new int[]{2, 2});
graph[3].add(new int[]{4, 6});
graph[3].add(new int[]{6, 5});
graph[4].add(new int[]{3, 6});
graph[4].add(new int[]{5, 8});
graph[4].add(new int[]{6, 7});
graph[5].add(new int[]{0, 1});
graph[5].add(new int[]{4, 8});
graph[6].add(new int[]{1, 3});
graph[6].add(new int[]{3, 5});
graph[6].add(new int[]{4, 7});
Solution solution = new Solution();
int sum = solution.prim(graph);
System.out.println("最小生成树的权重为: " + sum);
}
}
输出结果如下：
最小生成树的路径以及对应的权重依次为:
(2-1) 4
(3-2) 2
(4-3) 6
(5-4) 8
(0-5) 1
(1-6) 3
最小生成树的权重为: 24
3.应用
（1）求图的最小生成树许多实际应用，例如城市之间的交通工程造价最优问题就是一个最小生成树问题。
（2）大家可以去 LeetCode 上找相关的最小生成树的题目来练习，或者也可以直接查看 LeetCode 算法刷题目录 (Java) 这篇文章中的最小生成树章节。如果大家发现文章中的错误之处，可在评论区中指出。
