数据结构-线段树（点修区查）

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前置知识

• 分治
• 递归
• 二叉树

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思路

我们需要维护一个支持单点修改，区间查询的数据结构，并且要求在线，一般使用线段树解决。
线段树是一个二叉树形的数据结构。
线段树的思想很简单，就是将每个区间分治，构成一个树形结构，从而达到了 $\log n$ 的时间复杂度。
以下是一个维护最小值的线段树。

具体实现也很简单，如下：

1. 建树（$\text{build}$）
   从根节点向下遍历，叶节点自更新，非叶节点使用儿子节点更新（$\text{pushup}$）
2. 更新（$\text{update}$）
   从根节点向下遍历，类似二分查找查找至叶结点，叶节点自更新，非叶节点使用儿子节点更新（$\text{pushup}$）
3. 查询（$\text{query}$）
   从根节点向下遍历，将区间分治到多个节点上，合并答案。如区间 $[2,6]=[2,3]+[4,5]+[6,6]$，为节点 $5,6,14$ 处的答案合并而来。

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数据结构参数

• 时间复杂度：$O(n\log n)$
• 空间复杂度：$O(n)$

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实现代码

以最小值线段树为例。

int t[MAXN*4];
#define ls p<<1
#define rs p<<1|1
void pushup(int p){
	t[p]=min(t[ls],t[rs]);
}
void build(int p,int l,int r){
	if (l==r){
		t[p]=a[l];
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	build(ls,l,mid);
	build(rs,mid+1,r);
	pushup(p);
}
void update(int p,int l,int r,int x,int y){
	if (l==r){
		t[p]=y;
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	if (x<=mid) update(ls,l,mid,x,y);
	else update(rs,mid+1,r,x,y);
	pushup(p);
}
int query(int p,int l,int r,int x,int y){
	if (x<=l&&r<=y) return t[p];
	int mid=l+r>>1,ans=0x3f3f3f3f;
	if (x<=l) ans=min(ans,query(ls,l,mid,x,y));
	else ans=min(ans,query(rs,mid+1,r,x,y));
	return ans;
}

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练习

• 洛谷【模板】树状数组 1
• 洛谷【模板】树状数组 2
  因为这个版本的线段树和树状数组差不多。。。