线性代数本质系列（二）矩阵乘法与复合线性变换，行列式，三维空间线性变换

news2024/12/26 10:55:14

本系列文章将从下面不同角度解析线性代数的本质，本文是本系列第二篇

向量究竟是什么？
向量的线性组合，基与线性相关
矩阵与线性相关
矩阵乘法与复合线性变换
三维空间中的线性变换
行列式
逆矩阵，列空间，秩与零空间
克莱姆法则
非方阵
点积与对偶性
叉积
以线性变换眼光看叉积
基变换
特征向量与特征值
抽象向量空间
快速计算二阶矩阵特征值
张量，协变与逆变和秩

文章目录

矩阵乘法与复合线性变换
三维空间中的线性变换
行列式

矩阵乘法与复合线性变换

我们已经知道矩阵是一种线性变换，现在对基向量连续施加两种线性变换，例如，先旋转，再剪切，其实，这在整体上可以看作是一种新的变换，这个新的变换被称为前两种独立变换的“复合变换”。
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这个复合变换的矩阵可以通过追踪基向量的坐标得到，如上图所示，变换后的 $\vec{i}$ 坐标 $\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}$ ，变换后的 $\vec{j}$ 坐标 $\begin{bmatrix} -1\\ 0 \end{bmatrix}$ ，那么该复合变换矩阵就可以表示为： $\begin{bmatrix} 1 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ ，当我们求一个向量经过复合变换后的坐标时，可以通过下图右边公式那样直接使用复合变换矩阵，而不需要像下图左边那样对向量连续施加两次单独的变换。
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更一般地，对于矩阵乘法，我们就有了新的认识：他的几何意义是先施加一个变换，再施加另一个变换，施加顺序从右到左，顺序不同得到的结果也不同。

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推广到更一般地数学含义： $g (f (x))$

根据前面章节学习到的知识，要想求线性变换对向量的作用，首先要得到变换后的基向量的坐标，让我们来看一个例子，假设连续施加两个线性变换 $M_{1}$ 和 $M_{2}$ 。
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要想跟踪 $\vec{i}$ 的去向，先看 $M_{1}$ 的第一列，这是经过 $M_{1}$ 变换后 $\vec{i}$ 首先到达的地方： $\begin{bmatrix} e\\ g \end{bmatrix}$ ，然后新的 $\vec{i}$ 要经过 $M_{2}$ 的变换后到达最终目的地：
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该结果作为复合矩阵的第一列， $\vec{j}$ 经过同样的变换过程到达最终目的地，结果为复合变换矩阵第二列，复合变换的最终结果为：
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看，这不就是课堂上老师教的矩阵乘法计算规则嘛，只不过我们是从几何的角度推出来的。

大家可以从几何的角度来自行分析一下矩阵乘法的法则：

交换律： $M_{1} M_{2} \neq M_{2} M_{1}$

结合率：(AB)C=A(BC)

三维空间中的线性变换

前面一直在讨论二维情况，也就是将二维向量映射成二维向量，其实，只要掌握了二维线性变换的核心本质，就能轻松的扩展到更高维的空间中。

三维空间变换以三维向量为输入，以三维向量为输出，和二维向量一样，一个线性变换是在操纵三维空间中所有的点，变换后保持空间中网格线等距且原点不变。
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与二维一样，三维线性变换也是由基向量的去向完全决定，只不过基向量由 $\vec{i}$ ， $\vec{j}$ 变成了 $\vec{i}$ ， $\vec{j}$ , $\vec{k}$ ,例如，我们得到变换后三个基向量的坐标，那么由三个新的基向量组成矩阵就是三维线性变换矩阵 $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ 。

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要想计算一个向量经过上面的三维变换后的新坐标，同样可以参照二维空间的计算方式，结果向量是基向量的线性组合。

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同理两个三维矩阵的相乘也可以合并成一个复合变换矩阵，三维变换在计算机图形学中有着广泛的应用。
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三维矩阵的乘法同样遵循二维矩阵乘法的思路。

行列式

前面我们从几何的角度对线性变换有了很直观的认识，其中有的线性变换对空间向外拉伸，有的则是将空间向内挤压。

向内挤压

向外拉伸

有一种方法对于理解这些线性变换很有用，那就是准确测量向内挤压了多少，向外拉伸了多少，更具体地讲就是计算出一个区域增大或减少的比例。

让我们来看一个例子，假设一个线性变换矩阵 $\begin{bmatrix} 3 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ ，变换前基向量形成的四边形面积为1。

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变换后，如下图，基向量形成一个2*3的矩形，面积为6

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所以我们说这个变换将基向量形成的方格拉伸了6倍，根据线性变换的性质，如下图，所有可形成的区域都被拉伸了同样的大小。

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现在，我们要抛出一个重磅信息：这个面积的变化的比例值就是该线性变换矩阵的行列式，这就是行列式的几何意义。

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如果行列式值大于1，则代表该线性变换矩阵将一个区域进行拉伸，大于0且小于1的数代表缩小，负数代表反方向缩放。

注意，如果一个线性变换矩阵的行列式为0，则代表该变换将一个区域压缩成了一条线或者是一个点，从几何意义上讲，也就是说该变换将空间压缩到了更小的维度上，这在我们后面判断线性方程组是否有解提供了重要依据。

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同理，三维线性变换的行列式代表的则是体积的变换比例，如下图，一个以初始基向量形成的111的立方体经过线性变换后该体积变成了如下图的大小。
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三维变换矩阵的行列式为0，代表空间被压缩成了一个面，或者一个点，如果行列式是负数，说明空间定向已经发生改变，不能用右手定则描述基向量之间的关系。

前面说了行列式的几何意义，那如何求一个矩阵的行列式呢？
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上图是一个行列式的计算公式，那它的几何意义是什么呢？如下图，假设给定一个特殊矩阵 $\begin{bmatrix} a & 0\\ 0 & d \end{bmatrix}$ ， $\vec{i}$ 被缩放了a倍， $\vec{j}$ 被缩放了d倍，变换前后面积缩放了ad倍，这正符合行列式计算公式的结果。