题目
给定一个二维矩阵 matrix，以下类型的多个请求：
- 计算其子矩形范围内元素的总和，该子矩阵的 左上角 为
(row1, col1)，右下角 为(row2, col2)。
实现 NumMatrix 类：
NumMatrix(int[][] matrix)给定整数矩阵matrix进行初始化int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2)返回 左上角(row1, col1)、右下角(row2, col2)所描述的子矩阵的元素 总和 。
思路
思路一
该题目可以作为一维前缀和的扩展(参见Leecode-303)。
初始化时对矩阵的每一行计算前缀和，检索时对二维区域中的每一行计算子数组和，然后对每一行的子数组和计算总和。
时间复杂度：初始化 O(mn)，每次检索 O(m)，其中 m 和 n 分别是矩阵 matrix的行数和列数。初始化需要遍历矩阵 matrix计算二维前缀和，时间复杂度是 O(mn)。 每次检索需要对二维区域中的每一行计算子数组和，二维区域的行数不超过 m，计算每一行的子数组和的时间复杂度是 O(1)，因此每次检索的时间复杂度是 O(m)。
空间复杂度：O(mn)，其中 m 和 n 分别是矩阵 matrix的行数和列数。需要创建一个 m行 n+1 列的前缀和数组 sums。
思路二
小学数学，田字形，已知整体面积，上面面积，左边面积，左上面积，求右下角矩形的面积。 右下角矩形的面积=整体面积-上面面积-左边面积+左上面积
根据上述描述，假设我们计算(row1, col1)，(row2, col2)之间的值，可以使用以下的公式：
我们在初始化的时候，可以计算每一个点对应的面积值
时间复杂度：初始化 O(mn)，每次检索 O(1)，其中 m 和 n 分别是矩阵 matrix的行数和列数。 初始化需要遍历矩阵 matrix 计算二维前缀和，时间复杂度是 O(mn)。 每次检索的时间复杂度是 O(1)。
空间复杂度：O(mn)，其中 m 和 n 分别是矩阵 matrix 的行数和列数。需要创建一个 m+1 行 n+1 列的二维前缀和数组 sums。
代码
class NumMatrix {
int[][] sums;
public NumMatrix(int[][] matrix) {
int m = matrix.length;
if (m > 0) {
int n = matrix[0].length;
sums = new int[m + 1][n + 1];
for (int i = 0; i < m; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
sums[i + 1][j + 1] = sums[i][j + 1] + sums[i + 1][j] - sums[i][j] + matrix[i][j];
}
}
}
}
public int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2) {
return sums[row2 + 1][col2 + 1] - sums[row1][col2 + 1] - sums[row2 + 1][col1] + sums[row1][col1];
}
}
