n-gram语言模型——句子概率分布计算与平滑

前言
语言模型
等价假设
n元语法
句子概率分布计算方式
数据平滑
- Lidstone平滑(1-gram)
- Laplace平滑(1-gram)
- 附上两种平滑在1-gram下代码
- Lidstone平滑与Laplace平滑(2-gram)
- 附上两种平滑在2-gram下代码

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前言

语言模型（Language Model, LM）在自然语言处理（NLP）领域扮演着核心角色，特别是在统计模型驱动的汉语自动分词和句法分析等领域。目前，广泛采用的是N-gram语法模型，这种模型以其构建的简便性和直观性而著称，但同时也因数据稀疏性问题而不得不使用平滑（Smoothing）技术。

N-gram模型由于计算和实现简单，非常适合于计算资源有限的场景。但是在理解和生成自然语言的复杂结构方面性能比较差。

神经网络方法适用于资源充足的情况。最新的NLP模型，如BERT、GPT和其他基于Transformer的模型，已经在很多语言任务中取得了非常好的效果，这些模型能够更加有效地捕捉语言的深层次语义，并处理长距离的依赖关系。

尽管如此，N-gram模型仍然在某些特定的简单任务中有其应用价值。本篇博客将介绍N-gram的基础理论。

语言模型

一个语言模型旨在构建单个字符串的概率分布 $p (s)$ ，其中 $p (s)$ 反映的是字符串 $s$ 作为一个句子出现的频率。例如，在一个口语化的语言模型中(这句话可以理解为‘在一个语料库下’、‘在一个数据集下’)，"Okay"一词在每100个句子中大约出现一次，因此p(“Okay”)≈0.01。

对于一个由n个词构成的句子 $s = w_1w_2...w_n$ ，其概率可以用如下公式计算：

$p(w_1) \cdot p(w_2|w_1) \cdot p(w_3|w_1w_2) \cdot ... \cdot p(w_n|w_1w_2...w_{n-1})$

在上述公式中，生成第i个词的概率取决于它之前的i−1个词 $w_1w_2...w_{i-1}$ ，这个词序列被称为历史。随着历史长度的增加，有可能的历史组合数呈指数级增长。这样的话，我们也不可能算出来一个长句子的概率。

等价假设

由于历史在训练数据中的出现可能性极低，我们几乎无法直接从训练数据中准确估计出模型的参数。实际情况是，许多历史事件可能根本不会在训练数据中出现。为了克服这一问题，我们可以采用将历史映射到等价类的方法，其中等价类的数量远少于历史的数量。如果假设

$p(w_i | w_{1}, w_2, ..., w_{i-1}) = p(w_i | E(w_{1}, w_2, ..., w_{i-1}))$

那么模型的自由参数数量将会显著减少。有多种方法可以将历史映射为等价类，其中一种实用的方法是将两个历史 $w_{i-n+2}, ..., w_{i}$ 和 $u_{i-n+2}, ..., u_{i}$ 映射到同一个等价类，当且仅当这两个历史的最近的n−1个词是相同的。

n元语法

符合上述条件的语言模型被称为n-gram或n-gram文法。通常情况下，n的取值不会太大，否则会造成等价类数量繁多，自由参数过多的问题仍旧存在。在实际应用中，通常采用n等于3的模型。当n为1时，即第i个词的出现独立于它之前的历史，此时的模型称为unigram；当n为2时，即第i个词的出现仅与其前一个词有关，此模型称为bigram，也就是一阶马尔可夫链；当n为3时，即第i个词的出现仅与其前两个词有关，此模型称为trigram，也就是二阶马尔可夫链。

以bigram为例，可以近似认为一个词的出现概率仅依赖于它前面的一个词:

为了让 $p(w_i | w_{i-1})$ 在i为1时有意义，我们通常会在句子开头添加一个开始标记（BOS），并在句子结尾添加一个结束标记（EOS），以此包含在概率计算中。例如，要计算Mark wrote a book的概率，我们会这样计算：

$p(\text{Mark wrote a book}) = p(\text{Mark} | \text{BOS}) \cdot p(\text{wrote} | \text{Mark}) \cdot p(\text{a} | \text{wrote}) \cdot p(\text{book} | \text{a}) \cdot p(\text{EOS} | \text{book})$

为了估计 $p(w_i | w_{i-1})$ ，可以简单地计算在某一文本中单词w的频率，然后对其进行归一化。若用c表示在给定文本中的出现次数，我们可以使用如下公式：

$p(w_i | w_{i-1}) = \frac{c(w_{i-1}, w_i)}{\sum_{w} c(w_{i-1}, w)}$

上述公式即为最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）。对于更高阶的n-gram模型，这一公式同样适用。

句子概率分布计算方式

下面这段代码是使用jieba进行中文分词和nltk计算bigrams（二元语法）的频率分布的简单例子，然后再用这个模型来计算另一个测试文本的联合概率。

import nltk
from nltk import ConditionalFreqDist
import jieba

# 示例文本
text = "哈哈你真好哈哈你不是学生哈哈我也不是"
# jieba分词
tokens = jieba.cut(text)
# 生成bigrams
bi_grams = nltk.ngrams(tokens, 2)
# 计算频率分布
cfd = ConditionalFreqDist(bi_grams)

test_text = "你不是学生"
# 分词
test_tokens = list(jieba.cut(test_text))
# 计算频率分布
P = 1.0
for i, x in enumerate(test_tokens):
    if i == len(test_tokens) - 1:
        continue
    P *= cfd[x].freq(test_tokens[i + 1])
print(P) # 0.5

使用nltk.ngrams函数把分词后的词语生成二元语法序列。nltk.ngrams传入词语列表和n的值，返回一个字典，包含所有的n-grams序列。

创建ConditionalFreqDist实例cfd，将bigrams作为输入。ConditionalFreqDist类是用来计算每个条件（在bigrams中是第一个词）对应的事件（第二个词）的频率分布。上述代码中cfd值如下：

在这里插入图片描述

最后算得这个测试句子的概率是0.5。但是这段代码有个假设：没有考虑bigram出现次数为0的情况，这在实际应用中可能会导致概率为0。所以我们要使用平滑技术来处理这个问题。

举个具体例子：由于语料库中’哈哈’后面没有出现过’真’，所以在计算含’哈哈真’序列的句子时会报错。

数据平滑

这里给大家演示nltk库提供的Lidstone和Laplace平滑。

上文说过，在统计语言模型中，如果一个n-gram在训练数据中从未出现过，它的概率将是零。这是不理想的，因为这意味着整个句子的概率也将是零，即使这个句子在现实中是可能出现的。Lidstone和Laplace平滑通过向计数中添加一个小的非零值来解决这个问题。

Lidstone平滑(1-gram)

Lidstone平滑是一种给每个计数添加一个小正数γ的方法。假设我们有一个词汇表V，大小为|V|，对于任何n-gram的计数c，平滑后的概率计算如下：

$P_{Lidstone}(w) = \frac{c(w) + \gamma}{N + \gamma \times |V|}$

其中：

$P_{Lidstone}(w)$ 是词w的Lidstone平滑后的概率。
$c (w)$ 是词w在训练集中的原始计数。
$N$ 是训练集中所有词的总计数。
$∣ V ∣$ 是词汇表的大小。
$\gamma$ 是一个介于0和1之间的平滑参数。

Laplace平滑(1-gram)

Laplace平滑（又称为加一平滑）是Lidstone平滑的一个特例，其中γ=1。这意味着我们向每个n-gram的计数添加1，以避免任何n-gram的概率为零。平滑后的概率计算如下：

$P_{Laplace}(w) = \frac{c(w) + 1}{N + |V|}$

在Laplace平滑中，向分母中添加整个词汇表的大小，以确保总概率和为1。

Laplace平滑假设所有未见的n-gram都有相同的概率，而Lidstone平滑则允许通过选择不同的γ值给未见的n-gram分配不同的概率。当γ趋近于0时，Lidstone平滑可以逼近未平滑的模型，而当γ增大时，可以逼近Laplace平滑。通过调整γ的值，Lidstone平滑提供了比Laplace平滑更多的灵活性。

附上两种平滑在1-gram下代码

import nltk
from nltk.probability import LidstoneProbDist, LaplaceProbDist
from nltk import FreqDist
import jieba

# 示例文本
text = "哈哈你真好，哈哈你不是学生，哈哈我也不是，我不能用学生证"
# jieba分词
tokens = jieba.cut(text)

freq_dist = FreqDist(tokens)

# 使用Lidstone平滑
# gamma值小于1的Lidstone平滑
lidstone_estimator = LidstoneProbDist(freq_dist, gamma=0.1, bins=freq_dist.B())
print(f"'the'的Lidstone平滑概率: {lidstone_estimator.prob('the')}")

# 使用Laplace平滑
# Laplace平滑是gamma=1的特殊情况
laplace_estimator = LaplaceProbDist(freq_dist, bins=freq_dist.B())
print(f"'the'的Laplace平滑概率: {laplace_estimator.prob('the')}")

计算方式就是套公式，每个词都是根据它的词频算的，很简单。但是我们更想算2元语法和3元语法，以2元语法举例，我们想算在词 $w_1$ 下词 $w_2$ 的概率，而不是1元语法词 $w_2$ 的独立概率。所以要说到这两种平滑的2元语法形式。

说白了，1元是概率分布，2元以及更高是条件频率分布。

Lidstone平滑与Laplace平滑(2-gram)

Lidstone和Laplace平滑都可以用于任何n-gram模型，不仅限于1-gram（unigrams）。对于2-grams（bigrams）、3-grams（trigrams）或更高阶的n-grams，原理是相同的。区别在于你要如何定义条件和事件的关系。

对于bigrams来说，平滑不仅要应用到单个词，还要考虑词对的出现频率。假设我们有一个 $bigram (w_{1}, w_{2})$ ，其中 $w_{1}$ 是第一个词， $w_{2}$ 是第二个词。在未平滑的情况下，我们通常会计算 $w_{2}$ 在 $w_{1}$ 之后出现的次数，然后除以 $w_{1}$ 出现的总次数来估计概率。但是，如果某个bigram在训练数据中从未出现过，就会遇到零概率问题。

为了平滑bigram模型，我们将Lidstone或Laplace平滑应用于这些计数。具体来说，对于Lidstone平滑， $bigram(w_{1}, w_{2})$ 的概率可以这样计算：

$P_{Lidstone}(w_{2}|w_{1}) = \frac{c(w_{1}, w_{2}) + \gamma}{c(w_{1}) + \gamma \times |V|}$

对于Laplace平滑，bigram的概率则是：

$P_{Laplace}(w_{2}|w_{1}) = \frac{c(w_{1}, w_{2}) + 1}{c(w_{1}) + |V|}$

在这里：

$c(w_{1}, w_{2})$ 是 $bigram (w_{1}, w_{2})$ 在训练集中的原始计数。
$c(w_{1})$ 是第一个词 $w_{1}$ 在训练集中的原始计数。
$∣ V ∣$ 是词汇表的大小，即不同词的数量。

对于bigrams或更高阶的n-grams，我们通常会有一个条件频率分布，其中每个条件（如 $w_{1}$ ）都有自己的频率分布。当应用Lidstone或Laplace平滑时，会分别更新这些条件分布中的每个概率。

附上两种平滑在2-gram下代码

import nltk
from nltk.probability import LidstoneProbDist, LaplaceProbDist
from nltk.corpus import brown
from nltk import FreqDist, ConditionalFreqDist

import jieba

# 示例文本
text = "哈哈你真好，哈哈你不是学生，哈哈我也不是，我不能用学生证"
# jieba分词
tokens = jieba.cut(text)
# 生成bigrams
bi_grams = list(nltk.ngrams(tokens, 2))
# 创建条件频率分布对象
cfd = ConditionalFreqDist(bi_grams)

# # 使用Lidstone平滑
# # gamma值小于1的Lidstone平滑
lidstone_cfd = {condition: LidstoneProbDist(cfd[condition], gamma=0.1) for condition in cfd.conditions()}

# 使用Laplace平滑
# Laplace平滑是gamma=1的特殊情况
laplace_cfd = {condition: LaplaceProbDist(cfd[condition]) for condition in cfd.conditions()}


def get_prob(test_text):
    # 分词
    test_tokens = list(jieba.cut(test_text))
    # 计算频率分布
    lidstone_P = 1.0
    laplace_P = 1.0
    for i, x in enumerate(test_tokens):
        if i == len(test_tokens) - 1:
            continue
        lidstone_P *= lidstone_cfd[x].prob(test_tokens[i + 1])
        laplace_P *= laplace_cfd[x].prob(test_tokens[i + 1])
    print("Lidstone平滑句子概率：", lidstone_P, end=" ")
    print("Laplace平滑句子概率：", laplace_P)

get_prob("你哈哈不是学生，你不能用学生证")
get_prob("学生哈哈不是你，你不能用学生证")