0. 前言

在《强化学习基础》一节中，我们学习了强化学习的基本概念，并且介绍了如何在给定状态下采取随机动作。此外，我们还使用自定义环境，计算下一个状态、动作和奖励。在本节中，我们首先介绍 Q 学习与深度 Q 学习的基本思想，然后利用 OpenAI 的 Gym 库模拟 Frozen Lake 和 CartPole 问题，并使用 Keras 实现 Q 学习解决这两个问题。

1. Q 学习简介

状态-动作值函数 (State-Action Value Function)，简称 Q 函数，定义为从状态 $s_t$ 同时执行动作 $a_t$ 的双重设定下，在策略 $\pi$ 的控制下能获得的期望回报值:

$$Q^{\pi }(s_t,a_t)=E_{\tau \sim p(\tau )}[R({\tau }_{t:T})|{\tau }_{a_t}=a_t,{\tau }_{s_t}=s_t]$$

在最优策略 ${\pi }^{\ast }(a|s)$ 下，具有以下关系：

$$\begin{array}{r}{Q}^{\ast }(s_t,a_t)=\underset{\pi }{\max }{Q}^{\pi }(s_t,a_t)\\ {\pi }^{\ast }=\underset{a_t}{\mathrm{argmax}}{Q}^{\ast }(s_t,a_t)\end{array}$$

Q 学习 (Q Learning) 算法通过下式估计 $Q^{\ast }(s_t,a_t)$ 函数，并利用 ${\pi }^{\epsilon }(s_t)$ 策略来获得策略改进：

$$Q^{\ast }(s_t,a_t)\leftarrow Q^{\ast }(s_t,a_t)+\alpha (r(s_t,a_t)+\gamma \underset{a_{t+1}}{\max }{Q}^{\ast }(s_{t+1},a_{t+1})-Q^{\ast }(s_t,a_t))$$

深度 Q 网络 (Deep Q Network, DQN) 用深层的神经网络来参数化 $Q^{\ast }(s_t,a_t)$ 函数，并利用梯度下降算法循环更新 Q 网络。

2. 使用 Q 学习进行 FrozenLake 游戏

2.1 FrozenLake 环境分析

FrozenLake 环境如下所示：

智能体从状态 S 开始，目标是通过尽可能避免状态 H 来达到状态 G，智能体可以处于 16 种可能的状态。此外，智能体可以采取四种可能的动作(向上，向下，向右或向左移动)。
我们将定义一个 q-表，其中有 16 行对应于 16 个状态，四列对应于在每种状态下可以采取的四个动作：

• 在当前状态下采取动作的值=在当前状态下采取动作的值+ 1*(奖励+折扣系数*在下一个状态下采取的最佳动作的值-在当前状态下采取动作的值)

我们将学习率设为 1，以使状态下某个动作的值更新不会急剧变化：

• 在当前状态下采取动作的值=在当前状态下采取动作的值+学习率*(奖励+折扣系数*下一种状态采取的最佳可能行动的值-在当前状态下采取动作的值)

根据以上公式更新 q-表，以便确定在不同状态下可以采取的最佳动作。

2.2 模型分析

在实际解决问题之前，我们将首先探讨用于解决 FrozenLake 问题的模型策略：

• 使用 OpenAI的Gym 实例化 FrozenLake 环境
• 初始化形状为 16 x 4 的 q-表，其中所有元素值为 0
• 在给定状态下选择动作时，采用探索-利用法：
  • 在早期迭代中探索，因为我们不确定在游戏的最初几个回合中应采取的最佳动作。
  • 但是，随着我们对游戏的了解越来越多，我们在采取可能的最佳动作的同时，仍然采取一定概率的随机行动(随着回合的增加，概率逐渐降低)来利用所学到的知识
• 在给定的回合中：
  • 根据我们是否尝试探索或利用来选择动作
  • 确定新的状态和奖励，并通过执行上一步中选择的动作来检查游戏是否结束
• 初始化学习率参数和折扣因子
• 通过使用上述公式来更新在 q-表中的状态下采取所选动作的值
• 重复上述步骤，直到游戏结束
• 重复进行 1000 回合以上游戏
• 检查 q-表以识别在给定状态下要采取的最佳动作
• 绘制智能体的路径，以使其根据 q-表在状态下执行动作

2.3 使用 Q 学习算法解决 FrozenLake 问题

(1) 导入 Gym 以及其他相关库，Gym 是用于开发和比较强化学习算法的工具包，它支持多种模拟环境，关于 Gym 更多介绍，可以参考《强化学习环境配置》：

import gym
from gym.envs.registration import register
import random

(2) 注册并创建环境，为了简化游戏，我们修改了 FrozenLake 环境的默认设定，最重要的设置是令冰面并不滑，每一步动作的结果都是确定，而冰面滑时，即时指定向左的动作，智能体也可能会滑动到其他位置，例如向下滑：

register(
    id = 'FrozenLakeNotSlippery-v1',
    entry_point = 'gym.envs.toy_text:FrozenLakeEnv',
    kwargs = {'map_name': '4x4', 'is_slippery': False},
    max_episode_steps = 100,
    reward_threshold = 0.8196
)
env = gym.make('FrozenLakeNotSlippery-v1')

(3) 检查创建的环境，reset() 方法用于重置游戏环境：

env.reset()
env.render()

渲染出的 FrozenLake 环境如下：

(4) 我们也可以检查环境中状态空间与动作空间数量，由于我们使用的 FrozenLake 环境包括 4 x 4 的网格，共有 16 个状态。因此，共有 16 个观测值：

print(env.observation_space)

print(env.action_space.n)

输出结果如下所示：

Discrete(16)
4

(5) 接下来，从动作空间中采样一个动作，并使用 step() 方法采取该动作，以生成新状态、奖励、是否完成游戏的标记以及有关该步骤的其他信息：

action = env.action_space.sample()

new_state, reward, is_done, info = env.step(action)

(6) 初始化 q-表，因为有 16 种状态，每种状态有 4 种可能的动作，因此 q-表的形状为 (16, 4)：

import numpy as np
qtable = np.zeros((16,4))

(7) 初始化超参数后，运行 FrozenLake 游戏多个回合：

total_episodes=15000
learning_rate=0.8
max_steps=99
gamma=0.95
epsilon=1
max_epsilon=1
min_epsilon=0.01
decay_rate=0.005

rewards=[]
for episode in range(total_episodes):
    state=env.reset()
    step=0
    done=False
    total_rewards=0

(8) 定义要采取的策略。如果 eps (一个介于 0 到 1 之间的随机数)小于 0.5，我们将进行探索；否则，我们会进行利用(考虑 q-表中的最佳操作)：

rewards=[]
for episode in range(total_episodes):
    state=env.reset()
    step=0
    done=False
    total_rewards=0
    for step in range(max_steps):
        exp_exp_tradeoff=random.uniform(0,1)
        
        # Exploitation:
        if exp_exp_tradeoff>epsilon:
            action=np.argmax(qtable[state,:])
        else:
            # Exploration
            action=env.action_space.sample()

(9) 获取新状态和奖励，并通过在给定步骤中采取动作获取游戏是否完成：

        new_state,reward,done,info=env.step(action)

(10) 基于当前状态状态执行的操作更新 q-表，并使用在当前状态下执行动作后获得的新状态来更新状态：

        # Update the Q
        qtable[state,action]=qtable[state,action]+\
                learning_rate*(reward+gamma*np.max(qtable[new_state,:])-qtable[state,action])
        total_rewards+=reward
        state=new_state

(11) 当本次游戏回合结束后，我们继续进行下一个新的游戏回合，同时，我们更新用于决定要进行探索还是利用的随机因子 (eps)：

        if done:
            break
    episode+=1
    epsilon=min_epsilon+(max_epsilon-min_epsilon)*np.exp(decay_rate*episode)
    rewards.append(total_rewards)

(12) 一旦建立了 q-表，我们就可以根据 q-表得到的最佳动作指导智能体以进行动作：

print("Score over Time:",sum(rewards)/total_episodes)
print(qtable)

打印出的 q-表如下所示：

[[0.73509189 0.77378094 0.77378094 0.73509189]
 [0.73509189 0.         0.81450625 0.77378094]
 [0.77378094 0.857375   0.77378094 0.81450625]
 [0.81450625 0.         0.77378094 0.77378094]
 [0.77378094 0.81450625 0.         0.73509189]
 [0.         0.         0.         0.        ]
 [0.         0.9025     0.         0.81450625]
 [0.         0.         0.         0.        ]
 [0.81450625 0.         0.857375   0.77378094]
 [0.81450625 0.9025     0.9025     0.        ]
 [0.857375   0.95       0.         0.857375  ]
 [0.         0.         0.         0.        ]
 [0.         0.         0.         0.        ]
 [0.         0.9025     0.95       0.857375  ]
 [0.9025     0.95       1.         0.9025    ]
 [0.         0.         0.         0.        ]]

(13) 继续使用一个新回合，使用得到的 q-表计算智能体到达最终目标经过的最佳路径：

env.reset()
for episode in range(1):
    state=env.reset()
    step=0
    done=False
    print("-----------------------")
    print("Episode",episode)
    for step in range(max_steps):
        env.render()
        action=np.argmax(qtable[state,:])
        print(action)
        new_state,reward,done,info=env.step(action)
        
        if done:
            env.render()
            print("Number of Steps",step+1)
            break
        state=new_state
env.close()

得到的最佳路径如下所示：

Episode 0

SFFF
FHFH
FFFH
HFFG
1
  (Down)
...
2
  (Right)
SFFF
FHFH
FFFH
HFFG
Number of Steps 6

除此之外，我们也可以使用冰面较滑的环境进行相同的实验。

3. 使用深度 Q 学习进行 CartPole 游戏

在前面的部分中，我们学习了基于 q-表值执行动作的方法。但是，达到最佳值需要耗费大量时间，因为智能体必须通过进行多次游戏才能得到最佳 q-表。接下来，我们将学习如何使用神经网络，以便比使用 q-表时更快地达到最佳值。

3.1 问题分析

在本节中，我们将使用 CartPole 环境，其中智能体可能的动作包括向右或向左移动推车，以便平衡推车上的杆。此外，环境中的状态信息包括推车位置，推车速度，杆与推车的夹角和杆顶端处的速度。关于 CartPole 环境更详细的说明可以参考官方网页或《强化学习环境配置》。
在 CartPole 环境中，杆通过一个未固定的接头连接到小推车，小推车沿着无摩擦的轨道移动。该系统通过向推车施加 +1 或 -1 的力来控制推车移动。杆开始时垂直于推车，智能体的目标是防止杆跌落。杆保持直立的每个时间戳都可以得到 +1 的奖励。当杆与垂直方向的夹角超过 15 度或推车距离中心点超过 2.4 个单位以上时，回合结束。

3.2 模型分析

为了保持杆的平衡，我们使用深度 Q 学习算法，利用神经网络来预测智能体需要采取的最佳动作，训练神经网络的策略如下：

• 存储有关状态值、采取动作和获得奖励的信息：
  • 如果游戏未结束，则奖励为 1，否则为 0
• 开始时，神经网络基于随机初始化的权重进行预测，模型的输出层具有两个节点，对应于两个可能动作的新状态值
• 新状态值基于最大化新状态值的动作
• 如果游戏没有结束，使用奖励和新状态的最大状态值与折扣因子之积来更新当前状态值
• 从先前获得的更新后的当前状态值中覆盖动作的值：
  • 如果当前步骤中执行的动作导致游戏结束，则当前状态下的动作值为 0
  • 否则，当前步骤中的值是一个正数
  • 令模型找出要采取的正确动作
• 另外，可以使用这种方法来指定奖励为 0 时动作是错误的；但是，由于不确定在奖励为 1 时是否是正确的动作，因此仅针对执行的动作对其进行更新，并保持新状态的值不变
• 将状态值追加到输入数组，以及在当前状态下采取动作的值作为输出数组
• 对模型进行拟合，以使数据样本的均方误差最小
• 最后，随着回合数的增加不断减少探索

3.3 使用深度 Q 学习算法解决 CartPole 问题

(1) 导入所需库，创建 CartPole 环境并存储动作空间大小和状态空间大小：

import gym
import numpy as np
import random
from keras.models import Sequential
from keras.layers import Dense
from keras.optimizers import Adam
from collections import deque

env = gym.make('CartPole-v0')
state_size = env.observation_space.shape[0]
action_size = env.action_space.n

CartPole 环境如下所示：

(2) 构建并编译神经网络模型：

model=Sequential()
model.add(Dense(24,input_dim=state_size,activation='relu'))
model.add(Dense(24,activation='relu'))
model.add(Dense(2,activation='linear'))
model.compile(loss='mse',optimizer=Adam(lr=0.01))

(3) 初始化超参数以及所需列表：

memory = deque(maxlen=2000)
gamma = 0.95 # discount rate
epsilon = 1.0 # exploration rate
epsilon_min = 0.01
epsilon_decay = 0.995
done = False
batch_size=32

(4) 定义函数，该函数接受神经网络模型，批大小和 epsilon (用于确定探索还是利用)作为参数。首先，获取 batch_size 大小的随机样本，其中 memory 包括状态 (state)、动作 (action)、奖励 (reward) 和新状态 (next_state) 等。如果游戏未结束，更新所采取动作的奖励；否则，奖励为 0。此外，模型可以预测采取某项动作的值(因为该模型在输出中有 2 个节点——每个节点都提供对采取某一动作的输出)。函数返回更新的模型和探索/利用系数 (epsilon)：

def replay(model, batch_size,epsilon):
    epsilon_min = 0.01
    epsilon_decay = 0.995
    minibatch = random.sample(memory, batch_size)
    for state, action, reward, next_state, done in minibatch:
        target = reward
        if not done:
            target = (reward + gamma *np.amax(model.predict(next_state)[0]))
        new_action_value = model.predict(state)
        new_action_value[0][action] = target
        model.fit(state,new_action_value, epochs=1, verbose=0)
    if epsilon > epsilon_min:
        epsilon *= epsilon_decay
    return model,epsilon

(5) 进行 CartPole 游戏多个回合，并记录智能体获得的分数。此外，确保模型根据 epsilon 值指示智能体采取的动作：

episodes=200
maxsteps=200
score_list = []
for e in range(episodes):
    state = env.reset()
    state = np.reshape(state, [1, state_size])

在以上代码中，共进行 200 个回合 CartPole 游戏，在每次回合开始时重置环境，我们还需要整形状态 state，以便可以将其传递给神经网络模型。

(6) 接下来，我们将基于探索参数 (epsilon) 采取行动，大约有 epsilon 的概率会采取随机动作 （env.actionspace.sample())，在其他情况下，会利用模型的预测采取相应动作：

    for step in range(maxsteps):
        if np.random.rand()<=epsilon:
            action=env.action_space.sample()
        else:
            action = np.argmax(model.predict(state)[0])

(7) 接下来，在每个时间戳执行一个动作并获取下一个状态、奖励以及有关游戏是否结束的信息。如果游戏结束，使用 -10 作为奖励值，表明执行了不正确的动作。此外，提取下一个状态并将其添加到 memory 中。这样，就为要训练的模型创建了一个数据集，该模型采用当前状态和奖励来计算两个可能动作的奖励：

        next_state, reward, done, _ = env.step(action)
        reward = reward if not done else -10
        next_state = np.reshape(next_state, [1, state_size])
        memory.append((state, action, reward, next_state, done))

(8) 如果游戏结束，我们将记录得分(游戏过程中的时间戳数)；否则，将更新模型。此外，仅当 memory 中的数据样本数与大于预定义的批大小时，才会更新模型：

        state = next_state
        if done:
            print("episode: {}/{}, score: {}, exp prob: {:.2}".format(e, episodes, step, epsilon))
            score_list.append(step)
            break
        if len(memory) > batch_size:
            model,epsilon=replay(model, batch_size,epsilon)

(9) 绘制随着时间的增加，每个回合的得分情况：

import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(range(1,len(score_list)+1),score_list)
plt.title('Game score over increasing episodes')
plt.show()

小结

强化学习使用马尔可夫决策过程的形式化框架，使用状态、动作和奖励定义学习型智能体与环境的交互过程。Q 学习作为一种经典的强化学习算法，可以直接优化一个可迭代计算的 Q 函数，能够比较可用动作的预期效用，而不需要环境模型。在本节中，我们首先介绍 Q 学习与深度 Q 学习的基本思想，并使用 Keras 实现 Q 学习解决 Frozen Lake 和 CartPole 问题。

系列链接

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Keras深度学习实战（4）——深度学习中常用激活函数和损失函数详解
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Keras深度学习实战（6）——深度学习过拟合问题及解决方法
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