树与二叉树(遍历)

news2025/1/10 23:33:32

一、树

树结构是一种非常重要的非线性数据结构，该结构中的一个数据元素可以有两个或者两个以上的直接后继元素。

1、树的定义

树是由 n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合，当 n=0时称为空树，当 n>0时称为非空树。
对于非空树来说，它有且仅有一个称之为根的结点；除了根结点外的其余结点可分为 m(m>=0)多个互不相交的有限集T1，T2，…，Tm，其中每一个T集合本身又是一棵树，并且称为根结点的子树。

树的定义时递归的，它表明了树本身的固有特性，即一棵树由若干棵子树构成，可子树又由更小的子树构成。

树结构示意图如下（来自网络）：
在这里插入图片描述

树具有的特点：

  • 1）树里面的元素称为结点（node）
  • 2）没有父节点的结点称为根结点（root）
  • 3）每一个非根结点有且只有一个父结点
  • 4）除了根结点外，每个子结点可以分为多个不相交的子树。

2、树的基本概念

若一个结点有子树，那么该结点称为子树根的“双亲”，子树的根称为该结点的“孩子”。有相同双亲的结点互为“兄弟”。一个结点的所有子树上的任何结点都是该结点的后裔。从根结点到某个结点的路径上的所有结点都是该结点的祖先。

  • 结点：树里面的一个独立单元（元素）。如上图中 A、B等。
  • 父子关系：结点之间相连的边。
  • 子树：当结点大于 1时，其余的结点分为的互不相交的集合称为子树
  • 叶子结点：度为 0的结点称为叶子或终端结点。
  • 非终端结点：度不为 0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结点外,非终端结点也称为内部结点。
  • 双亲和孩子：某结点的子结点称为该结点的孩子；该结点称为孩子的双亲。
  • 兄弟：具有同一个双亲的孩子结点称为兄弟结点。
  • 堂兄弟：双亲在同一层的结点互为堂兄弟。
  • 子孙：以某结点的子树上任意一个结点都为该结点的子孙。
  • 祖先：从根到该结点的双亲所经过的所有结点称为该结点的祖先。
  • 森林：由 m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林。对森林加上一个根，森林即成为树；删去根，树即成为森林。
  • 有序树和无序树：如果树中节点的各子树看成从左至右是有次序的不能互换，则称该树为有序树，否则称为无序树。

还有几个很重要的概念：

  • 结点的度：一个结点拥有子树的个数称为该拥有的度。如上图中：A有 4个度，D有 1个度。
  • 树的度：树中最大的结点的度即为树的度。如上图中树的度为A节点的度为 4。
  • 层次：从根结点开始定义，根结点为第一层，树中任一结点层次为其双亲层次加 1。
  • 结点的高度：结点到叶子结点的最长路径
  • 树的高度：根结点的高度
  • 结点的深度：根结点到该结点的边个数
  • 树的深度：树中节点的最大层次
  • 结点的层数：结点的深度加 1。

二、二叉树

在树形结构中最重要的就是二叉树，很多经典的算法与数据结构其实都是通过二叉树发展而来。

1、二叉树的定义

二叉树是由 n(n>=0)个结点的有限集，当 n=0时称为空树，当 n>0时称为非空树。
对于非空树来说，它有且仅有一个称之为根的结点；除了根节点外的其余节点可分为两个互不相交的子集 T1和 T2，分别称为 T的左子树和右子树，且 T1和 T2本身也是二叉树。

二叉树与树的区别：

  • 二叉树的每个节点至多只有两颗子树。
  • 二叉树是有序树，有左右子树之分。

在这里插入图片描述

2、二叉树的性质

  • 性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为2i-1(i>=1)
  • 性质2：深度为k的二叉树至多有(2^k)-1个结点（k>=1）
  • 性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为(log2n)+1
  • 性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1

性质4的证明：
证明：因为二叉树中所有结点的度数均不大于2，不妨设n0表示度为0的结点个数，n1表示度为1的结点个数，n2表示度为2的结点个数。三类结点加起来为总结点个数，于是便可得到：n=n0+n1+n2 (1)
由度之间的关系可得第二个等式：n=n00+n11+n2*2+1即n=n1+2n2+1 (2)
将（1）（2）组合在一起可得到n0=n2+1

3、二叉树的分类

二叉树有几个特殊的分类如下：

3.1 满二叉树

定义：高度为h，并且由2h-1个结点组成的二叉树，称为满二叉树。即：除叶子结点外，每个结点都有左右两个子结点。

3.2 完全二叉树

定义：一棵二叉树中，只有最下面两层结点的度可以小于2，并且最下层的叶结点集中在靠左的若干位置上，这样的二叉树称为完全二叉树。即：除最后一层外，其他的结点个数必须达到最大，并且最后一层结点都连续靠左排列。

特点：

  • 叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。
  • 一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，而完全二叉树未必是满二叉树。

3.3 非完全二叉树

除了上面两种的二叉树，剩下的可以认为属于非完全二叉树。

在这里插入图片描述

4、二叉树的存储

1）基于数组存储：
利用数组下标。假设A为 i，则 B=2i, C=2i+1，依次类推，如果没有的结点，数组的位置需要保留。
如果针对非完全二叉树来使用数组来存储的话会浪费很多空间，那么就需要使用链表存储。
2）基于链表存储。
注意：数组的性能是高效的，并且不需要开额外的指针。所以如果是一课完全二叉树的话我们就可以用数组来实现。

三、二叉树的遍历

1、二叉树的遍历

1.1 先序遍历(PreOrder)

先（前）序遍历：访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前

具体操作：若二叉树非空，则依次执行如下操作：

    1. 访问根结点；
    1. 遍历左子树；
    1. 遍历右子树。

1.2 中序遍历( InOrder)

中序遍历：访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。

具体操作： 若二叉树非空，则依次执行如下操作：

    1. 遍历左子树；
    1. 访问根结点；
    1. 遍历右子树。

1.3 后序遍历(PostOrder)

后序遍历：访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

具体操作： 若二叉树非空，则依次执行如下操作：

    1. 遍历左子树；
    1. 遍历右子树；
    1. 访问根结点。

1.4 层次遍历

层次遍历即为从上到下，从左到右依次访问二叉树的每个结点。

实现思路：用一个队列保存被访问的当前节点的左右孩子以实现层序遍历。

  • 1）我们定义一个队列，先将根结点入队；
  • 2）当前结点是队头结点，将其出队并访问；
  • 3）若当前结点的左结点不为空将左结点入队；若当前结点的右结点不为空将其入队即可。

2、代码示例

在这里插入图片描述
1）基于链表存储二叉树

@Data
@AllArgsConstructor
@NoArgsConstructor
public class BinaryTree {

	// 结点元素
	private String data;
	private BinaryTree left;
	private BinaryTree right;

	/**
	 * 输出结点元素
	 * 
	 * @param node
	 */
	public void print(BinaryTree node) {
		System.out.print(node.getData());
	}

	/**
	 * 前序遍历: 根(输出) 左 右 <br/>
	 * 时间复杂度：O(2*n) => O(n);
	 * 
	 * @param root
	 */
	public void pre(BinaryTree root) {
		if (root == null) {// 空树
			return;
		}
		print(root);
		if (root.getLeft() != null) {
			pre(root.getLeft()); // 认为是子树,分解子问题
		}
		if (root.getRight() != null) {
			pre(root.getRight());
		}
	}

	/**
	 * 中序遍历：左 根(输出) 右
	 * 
	 * @param root
	 */
	public void in(BinaryTree root) {
		if (root == null) {// 空树
			return;
		}
		if (root.getLeft() != null) {
			in(root.getLeft()); 
		}
		print(root);
		if (root.getRight() != null) {
			in(root.getRight());
		}
	}

	/**
	 * 后序遍历：左 右 根(输出)
	 * 
	 * @param root
	 */
	public void post(BinaryTree root) {
		if (root == null) {// 空树
			return;
		}
		if (root.getLeft() != null) {
			post(root.getLeft()); 
		}
		if (root.getRight() != null) {
			post(root.getRight());
		}
		print(root);
	}

	/**
	 * 层次遍历
	 * 
	 * @param root
	 * @return
	 */
	public List<String> levelOrder(BinaryTree root) {
		List<String> levelList = new ArrayList<>();
		if (root == null) {// 空树
			return levelList;
		}

		// 定义一个队列
		Queue<BinaryTree> queue = new LinkedList<>();
		queue.offer(root);// offer方法表示添加元素到队尾
		while (!queue.isEmpty()) {
			BinaryTree temp = queue.poll();// poll方法删除队头元素
			levelList.add(temp.data);
			if (temp.left != null) {
				queue.offer(temp.left);
			}
			if (temp.right != null) {
				queue.offer(temp.right);
			}
		}
		return levelList;
	}

}

2）测试

    public static void main(String[] args) {
        // 插入数据小技巧，先插入叶子结点
        BinaryTree D = new BinaryTree("D", null, null);
        BinaryTree H = new BinaryTree("H", null, null);
        BinaryTree K = new BinaryTree("K", null, null);
        BinaryTree C = new BinaryTree("C", D, null);
        BinaryTree G = new BinaryTree("G", H, K);
        BinaryTree B = new BinaryTree("B", null, C);
        BinaryTree F = new BinaryTree("F", G, null);
        BinaryTree E = new BinaryTree("E", null, F);
        BinaryTree A = new BinaryTree("A", B, E);

        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        System.out.println("前序遍历：");
        binaryTree.pre(A);
        System.out.println();
        
        System.out.println("中序遍历：");
        binaryTree.in(A);
        System.out.println();
        
        System.out.println("后序遍历：");
        binaryTree.post(A);
        System.out.println();
        
        System.out.println("层次遍历：");
        List<String> levelOrderList = binaryTree.levelOrder(A);
        System.out.println(levelOrderList);
    }

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– 求知若饥，虚心若愚。

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