C++进阶篇4---番外-AVL树

news2024/11/23 14:35:41

一、AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查
找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii
和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树或者是空树，或者具有以下性质的二叉搜索树：
  • 它的左右子树都是AVL树
  • 左右子树的高度差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(只能是-1/0/1)

【注意】平衡因子是用右子树的高度减去左子树的高度得到的

 

二、AVL树结点的定义

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode {
	AVLTreeNode* _left;
	AVLTreeNode* _right;
	AVLTreeNode* _parent;
	pair<K, V> _kv;
	int _bf;


	AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_bf(0)
	{}
};

 三、AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。
AVL树的插入过程可以分为两步：
  1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
  2. 调整节点的平衡因子
template<class K,class V>
class AVLTree {
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		while (cur)
		{
			if(cur->_kv.first>kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		cur->_parent = parent;
		if (parent->_kv.first > kv.first )
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
		}

		//看树是否还保持平衡
		while (parent)
		{
			//先调整平衡因子---因为插入的结点是叶子节点，所以父结点的平衡因子必然发生变化
            //在根据平衡因子的计算公式height_r - height_l，判断平衡因子的变化
			if (parent->_left == cur)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf++;
			}

			//看是否需要调整以及如何调整
			//...
		}
	}
private:
	Node* _root = nullptr;
};

上面代码的插入逻辑和二叉搜索树很相似，这里不多讲了(忘记的或者不了解的可以去看二叉搜索树)，主要看如何判断树是否平衡以及如何调整使得树保持平衡

这里主要分三种情况：

1、父节点的平衡因子变成0，则树保持平衡，不需要变化

解释:父节点的平衡因子变成0，说明之前未正负1，只有如下两种情况

2、父节点的平衡因子变成正负1，则该子树的高度发生变化，但该子树依旧平衡，要看它的父节点所在的子树是否还能保持平衡

 

3、父结点的平衡因子变成正负2，则该子树的不能保持平衡，需要进行旋转调整

template<class K,class V>
class AVLTree {
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		while (cur)
		{
			if(cur->_kv.first>kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		cur->_parent = parent;
		if (parent->_kv.first > kv.first )
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
		}

		//看树是否还保持平衡
		while (parent)
		{
			//先调整平衡因子
			if (parent->_left == cur)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf++;
			}

			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				//分4种情况:左单旋，右单旋，先左旋在右旋，先右旋在左旋
				//...

                //旋转完成后子树就平衡了=> 整个树都平衡了，直接退出循环
                break;
			}
			else
			{
				//如果进入这里，说明前面的代码出错
				assert(0);
			}
		}
	}
private:
	Node* _root = nullptr;
};

 四、旋转调整

1、新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

代码如下

	void _RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		Node* pParent = parent->_parent;
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;
		if (subRL)//注意h==0的情况
			subRL->_parent = parent;
		if (_root == parent)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			subR->_parent = pParent;
			if (pParent->_left == parent)
			{
				pParent->_left = subR;
			}
			else
			{
				pParent->_right = subR;
			}
		}
		subR->_bf = parent->_bf = 0;
	}

2、 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

注意事项同上。

代码如下 

void _RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		Node* pParent = parent->_parent;
		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;
		if (subLR)//注意h==0的情况
			subLR->_parent = parent;
		if (_root == parent)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			subL->_parent = pParent;
			if (pParent->_left == parent)
			{
				pParent->_left = subL;
			}
			else
			{
				pParent->_right = subL;
			}
		}
		subL->_bf = parent->_bf = 0;
	}

3、 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

代码如下

	void _RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;//提前记录，防止在旋转时被修改
		_RotateR(parent->_right);
		_RotateL(parent);
		if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = subR->_bf = subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = -1;
			subR->_bf = subRL->_bf = 0;
		}
		else
		{
			subR->_bf = 1;
			parent->_bf = subRL->_bf = 0;
		}
	}

 4.新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

这个留给读者思考 

附：

//完整版代码
template<class K,class V>
struct AVLTreeNode {
	AVLTreeNode* _left;
	AVLTreeNode* _right;
	AVLTreeNode* _parent;
	pair<K, V> _kv;
	int _bf;


	AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_bf(0)
	{}
};

template<class K,class V>
class AVLTree {
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool insert(const pair<K,V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		cur->_parent = parent;
		if (parent->_kv.first > kv.first)
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
		}

		while (parent)
		{
			if (parent->_left == cur)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf++;
			}

			if (parent->_bf == 0)//为0，说明之前_bf=-1/1,即子树的高度没有发生变化
			{
				break;
			}	
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)//为正负1，说明之前_bf=0，即子树的高度发生变化，并且会影响到上层祖宗结点
			{
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)//为正负2，树明显不平衡，需要旋转调整
			{
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)//如果该子树的严格右边高，则左单旋
				{
					_RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)//如果该子树的严格左边高，则右单旋
				{
					_RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)//左右旋
				{
					_RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)//右旋左旋
				{
					_RotateRL(parent);
				}
				
				break;//旋转之后整个树就平衡了，直接跳出循环
			}
			else
			{
				//这种情况不可能发生，如果发生就说明程序出错
				assert(false);
			}
		}
		return true;
	}

	void _RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;
		_RotateL(parent->_left);
		_RotateR(parent);
		if (bf == 1)
		{
			subL->_bf = -1;
			subLR->_bf = parent->_bf = 0;
		}
		else if(bf == -1)
		{
			parent->_bf = 1;
			subL->_bf = subLR->_bf = 0; 
		}
		else//bf==0，插入的结点就是subLR
		{
			parent->_bf = subL->_bf = subLR->_bf = 0;
		}
	}

	void _RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;
		_RotateR(parent->_right);
		_RotateL(parent);
		if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = -1;
			subR->_bf = subRL->_bf = 0;
		}
		else if(bf == -1)
		{
			subR->_bf = 1;
			parent->_bf = subRL->_bf = 0;
		}
		else //bf==0，插入的结点就是subLR
		{
			parent->_bf = subR->_bf = subRL->_bf = 0;
		}
	}

	//右单旋
	void _RotateR(Node*parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;//找到要作为新根的结点
		Node* pParent = parent->_parent;//找到该子树的父亲结点
		Node* subLR = subL->_right;
		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;
		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;
		if (_root == parent)//如果是根
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			subL->_parent = pParent;
			if (pParent->_left == parent)
			{
				pParent->_left = subL;
			}
			else
			{
				pParent->_right = subL;
			}
		}
		parent->_bf = subL->_bf = 0;
	}

	//左单旋
	void _RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;//找到要作为新根的结点
		Node* pParent = parent->_parent;//找到该子树的父亲结点
		Node* subRL = subR->_left;//找到要被"过继"的孩子结点
		subR->_left = parent;
		if (subRL)//如有"过继"结点
			subRL->_parent = parent;
		parent->_parent = subR;
		parent->_right = subRL;
		if (_root == parent)//如果是根
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			subR->_parent = pParent;
			if (pParent->_left == parent)
			{
				pParent->_left = subR;
			}
			else
			{
				pParent->_right = subR;
			}
		}
		parent->_bf = subR->_bf = 0;
	}


	bool Isbalance()
	{
		return _Isbalance(_root);
		//return _Isbalance(_root) >= 0;
	}
	bool _Isbalance(Node*root)
	{
		if (root == nullptr)
			return true;
		int left = _Height(root->_left);
		int right = _Height(root->_right);
		if (abs(right - left) > 1)
		{
			cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
			return false;
		}
		if (right - left != root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first << ":"<< "平衡因子出错" << endl;
			return false;
		}
		return _Isbalance(root->_left) && _Isbalance(root->_right);
	}

	size_t size()
	{
		return _size(_root);
	}

	size_t Height()
	{
		return _Height(_root);
	}

private:
	size_t _Height(Node*root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;
		return max(_Height(root->_left),_Height(root->_right)) + 1;
	}
	size_t _size(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;
		return 1 + _size(root->_left) + _size(root->_right);
	}

    //如果单纯判断是否平衡可以这么写，-1表示不平衡，>=0表示平衡
	//int _Isbalance(Node* root)
	//{
	//	if (root == nullptr)
	//		return 0;
	//	int left = _Isbalance(root->_left);
	//	if (left < 0) return -1;
	//	int right = _Isbalance(root->_right);
	//	if (right < 0) return -1;
	//	if (abs(right - left) > 1 || right - left != root->_bf)
	//	{
	//		return -1;
	//	}
	//	return max(left, right) + 1;
	//}
private:
	Node* _root = nullptr;
};

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