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试题编号：	202309-2
试题名称：	坐标变换（其二）
时间限制：	2.0s
内存限制：	512.0MB
问题描述：	问题描述 对于平面直角坐标系上的坐标 (x,y)，小 P 定义了如下两种操作： 拉伸 k 倍：横坐标 x 变为 kx，纵坐标 y 变为 ky； 旋转 θ：将坐标 (x,y) 绕坐标原点 (0,0) 逆时针旋转 θ 弧度（0≤θ<2π）。易知旋转后的横坐标为 xcos⁡θ−ysin⁡θ，纵坐标为 xsin⁡θ+ycos⁡θ。 设定好了包含 n 个操作的序列 (t1,t2,⋯,tn) 后，小 P 又定义了如下查询： i j x y：坐标 (x,y) 经过操作 ti,⋯,tj（1≤i≤j≤n）后的新坐标。 对于给定的操作序列，试计算 m 个查询的结果。 输入格式 从标准输入读入数据。 输入共 n+m+1 行。 输入的第一行包含空格分隔的两个正整数 n 和 m，分别表示操作和查询个数。 接下来 n 行依次输入 n 个操作，每行包含空格分隔的一个整数（操作类型）和一个实数（k 或 θ），形如 1 k（表示拉伸 k 倍）或 2 θ（表示旋转 θ）。 接下来 m 行依次输入 m 个查询，每行包含空格分隔的四个整数 i、j、x 和 y，含义如前文所述。 输出格式 输出到标准输出中。 输出共 m 行，每行包含空格分隔的两个实数，表示对应查询的结果。 样例输入 10 5 2 0.59 2 4.956 1 0.997 1 1.364 1 1.242 1 0.82 2 2.824 1 0.716 2 0.178 2 4.094 1 6 -953188 -946637 1 9 969538 848081 4 7 -114758 522223 1 9 -535079 601597 8 8 159430 -511187 样例输出 -1858706.758 -83259.993 -1261428.46 201113.678 -75099.123 -738950.159 -119179.897 -789457.532 114151.88 -366009.892 样例说明 第五个查询仅对输入坐标使用了操作八：拉伸 0.716 倍。 横坐标：159430×0.716=114151.88 纵坐标：−511187×0.716=−366009.892 由于具体计算方式不同，程序输出结果可能与真实值有微小差异，样例输出仅保留了三位小数。 评测用例规模与约定 80% 的测试数据满足：n,m≤1000； 全部的测试数据满足： n,m≤100000； 输入的坐标均为整数且绝对值不超过 1000000； 单个拉伸操作的系数 k∈[0.5,2]； 任意操作区间 ti,⋯,tj（1≤i≤j≤n）内拉伸系数 k 的乘积在 [0.001,1000] 范围内。 评分方式 如果你输出的浮点数与参考结果相比，满足绝对误差不大于 0.1，则该测试点满分，否则不得分。 提示 C/C++：建议使用 double 类型存储浮点数，并使用 scanf("%lf", &x); 进行输入，printf("%f", x); 输出，也可以使用 cin 和 cout 输入输出浮点数；#include <math.h> 后可使用三角函数 cos() 和 sin()。 Python：直接使用 print(x) 即可输出浮点数 x；from math import cos, sin 后可使用相应三角函数。 Java：建议使用 double 类型存储浮点数，可以使用 System.out.print(x); 进行输出；可使用 Math.cos() 和 Math.sin() 调用三角函数。

真题来源：坐标变换（其二）

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解题思路：

        注意到一个操作是改变与原点的距离，一个操作是改变与xx轴所夹成的角度，如果考虑坐标在极坐标系下的表示形式，会发现这两种操作只是分别对其中一维进行操作，且这些操作是可逆的，且不会相互影响。

        因此我们就预处理出 op[i]表示操作 1..i对距离 rr和角度 θ的影响，这是一个前缀和数组。

        然后对于一个点问经过操作 l..r的结果，先对它施加1..r操作的影响，再消除 1..l−1操作的影响，即可得到 l..r操作的结果。

        施加影响，就是长度 ×k，角度 +θ，消除影响，就是长度 /k，角度−θ。

        最后根据r和 θ还原出x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ。

        时间复杂度为 O(n+m)。

c++满分题解：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const double pi = acos(-1);
 
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector<array<double, 2>> op(n);
    for(auto &i : op){
        int opp;
        double k;
        cin >> opp >> k;
        if (opp == 1)
            i[0] = k;
        else{
            i[0] = 1;
            i[1] = k;
        }
    }
    for(int i = 1; i < n; ++ i){
        op[i][0] *= op[i - 1][0];
        op[i][1] += op[i - 1][1];
    }
    for(int i = 0; i < m; ++ i){
        int l, r, x, y;
        cin >> l >> r >> x >> y;
        -- l, -- r;
        double R = sqrt(1ll * x * x + 1ll * y * y), theta = 0;
        if (x == 0){
            if (y > 0)
                theta = pi / 2;
            else 
                theta = -pi / 2;
        }else{
            theta = atan2(y, x);
        }
        R *= op[r][0];
        theta += op[r][1];
        if (l){
            R /= op[l - 1][0];
            theta -= op[l - 1][1];
        }
        cout << fixed << setprecision(10) << R * cos(theta) << ' ' << R * sin(theta) << '\n';
    }
    return 0;
}

 运行结果：