# capacity:背包容量
# w[i]: 第 i 个物品的体积
# v[i]: 第 i 个物品的价值
# 返回:所选物品体积和不超过 capacity 的前提下，所能得到的最大价值和
def zero_one_knapsack(capacity:int,w:List[int],v:List[int]) -> int:
    n = len(w)
    @cache #记忆化搜索 
    def dfs(i,c):
        if i < 0:
            return 0
        if c < w[i]:
            return dfs(i-1,c)
        return max(dfs(i-1,c),dfs(i-1,c-w[i])+v[i])
    return dfs(n-1,capacity)

494. 目标和 - 力扣（LeetCode）

---

给你一个非负整数数组 nums 和一个整数 target 。向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：

• 例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 '+' ，在 1 之前添加 '-' ，然后串联起来得到表达式 "+2-1" 。

返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

---

>>思考和分析： 

• 正数和:p       
• 负数和:s-p
• p-(s-p) = t     
• 2p=s+t
• 化简可得: p=(s+t)/2

（1）记忆化搜索

class Solution:
    def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        target += sum(nums)
        if target < 0 or target%2: # 负数 or 奇数
            return 0 # 方案数为0
        target //= 2
        n = len(nums)
        # 记忆化搜索
        @cache
        def dfs(i,c):
            if i < 0:
                return 1 if c==0 else 0
            if c < nums[i]:
                return dfs(i-1,c)
            return dfs(i-1,c)+dfs(i-1,c-nums[i])
        return dfs(n-1,target)

（2）1:1 翻译成递推

• 

• 

• 

class Solution:
    def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        target += sum(nums)
        if target < 0 or target%2: # 负数 or 奇数
            return 0 # 方案数为0
        target //= 2
        n = len(nums)
        # 二维dp
        f = [[0]*(target+1)for _ in range(n+1)]
        f[0][0] = 1

        for i,x in enumerate(nums):
            for c in range(target+1):
                if c<x:
                    f[i+1][c] = f[i][c]
                else:
                    f[i+1][c] = f[i][c] + f[i][c-x]
        return f[n][target]

• 优化空间

方式一：二维数组优化

• f[(i+1)%2][c] = f[i%2][c] + f[i%2][c-w[i]]

class Solution:
    def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        # 二维dp
        f = [[0]*(target+1)for _ in range(2)]
        f[0][0] = 1

        for i,x in enumerate(nums):
            for c in range(target+1):
                if c<x:
                    f[(i+1)%2][c] = f[i%2][c]
                else:
                    f[(i+1)%2][c] = f[i%2][c] + f[i%2][c-x]
        return f[n%2][target]

方式二：一维数组优化

• f[i+1][c] = f[i][c] + f[i][c-w[i]]
• f[c]=f[c]+f[c-w[i]]

 

class Solution:
    def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        target += sum(nums)
        if target < 0 or target%2: # 负数 or 奇数
            return 0 # 方案数为0
        target //= 2

        n = len(nums)

        # 一维dp
        f = [0]*(target+1)
        f[0] = 1

        for x in nums:
            for c in range(target,x-1,-1):
                f[c] = f[c] + f[c-x]
        return f[target]