代码随想录算法训练营第四十二天 | LeetCode 1049. 最后一块石头的重量 II、494. 目标和、474. 一和零
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1. LeetCode 1049. 最后一块石头的重量 II
1.1 思路
- 这题不要被题目的示例给带偏，其实就是看看我们能不能把石头尽量分成两堆，比如示例的总和为 23，看看能不能分成一半就是 11，另一半就是 12 了，一相撞就是剩下 1 了。即尽量分成重量总和近似相等的两堆，就是想到本题的关键了，这么看和416. 分割等和子集还是很像的，区别就是那题是能分成子集相等的就是 true 反之 false，本题是尽量凑，凑不成就相撞所剩下的重量也是最小的。
- dp 数组的下标及其含义：在 01 背包中，背包容量为 j 所能带的最大价值为 dp[j]。但本题的重量/容量也是它的价值，所以这里的最大价值也是它的最大重量，背包容量为 j 所能带的最大重量为 dp[j]
- 递推公式：在 01 背包中，dp[j]=Math.max（dp[j]，dp[j-weight[i]]+value[i]），前者是不放物品 i，后者是放物品 i。在本题中 dp[j]=Math.max（dp[j]，dp[j-stones[i]]+stones[i]），前者是不放石头 i，后者是放石头 i
- dp 数组的初始化：dp[0]=0，容量 0 的背包能放的重量也是 0。其他下标初始化为 0，因为我们的递推公式是通过别的值覆盖 dp[j] 的，因此不能初始化太大，为 0 最正确。我们这里定义 dp 数组的大小就是，先求 sum，target=sum/2，dp 数组的大小就是 target+1，因为我们要凑容量的一半
- 遍历顺序：两层 for循环，for（int i=0；i<stones.length；i++）for（int j=target；j>=stones[i]；j–）先物品后背包，然后背包这一层从后往前遍历，这里为什么j>=stones[i] 是因为如果背包容量比石头重量还小再遍历就没有意义了
- 打印 dp 数组：用于 debug
- 最后 return sum-2*dp[target]
1.2 代码
class Solution {
public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
int sum = 0;
for (int i : stones) {
sum += i;
}
int target = sum >> 1;
//初始化dp数组
int[] dp = new int[target + 1];
for (int i = 0; i < stones.length; i++) {
//采用倒序
for (int j = target; j >= stones[i]; j--) {
//两种情况，要么放，要么不放
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
}
}
return sum - 2 * dp[target];
}
}
2. LeetCode 494. 目标和
2.1 思路
- 我们可以在集合中加入“+”“-”变为一个表达式，使其等于我们的 target。关于放“+”还是“-”就是把这个集合分成了两个集合，放加法的是一个集合，放减法的是一个集合。本题和416. 分割等和子集也是一个集合里分两个子集还有1049. 最后一块石头的重量 II也是一个集合里分出两个子集。本题中我们加法用 left，减法用 right，加法和减法的集合就是原集合的总和 sum，要求加法集合 left-减法集合 right=target，一相加就是 2left=sum+target => 即 left=（sum+target）/2。举例 [1,1,1,1,1] 即 sum=5，题目的 target=3，因此 left=（5+3）/2，就是 4 个用加法，1 个用减法，我们求出 left 集合剩下的就是 right 集合了。当然也是有用例是求不出 left 集合的，比如如果上面的是 target=2，那我们的 left 和 right 都找不到一种匹配的集合等于 target，因此如果判断出 （target+sum）%2！=0 就最终输出 0。此时问题转化为，求出 left 集合，原集合里所有元素装满这个 left 集合有多少种方法，就能找到符合题目条件的多少种组合，这就是背包问题了，left 就是背包容量，原集合就是我们的物品
- 纯 01 背包就是问装满这个背包的最大价值，416. 分割等和子集就是能不能装满这个背包，满了就 true 否则就 false，1049. 最后一块石头的重量 II结束尽量去装，能装多少装多少，本题就是给我们一个容量，问有多少种方式能把背包装满
- dp 数组及其下标的含义：dp[j] 装满背包容量为 j 有 dp[j] 种方法。bagSize=（target+sum）/2
- 递推公式：dp[j]+=dp[j-nums[i]]
- dp 数组的初始化：在 01 背包中 dp[0] 初始化为 0，即背包容量为 0 的背包最大价值是 0，但是本题，dp[0] 应该初始化为 1，因为我们的 dp[j] 是通过前面累加的，如果初始化为 0，后面就一直是 0 了
- 遍历顺序：01 背包中先物品再背包，因此 for（int i=0；i<nums.length；i++）for（int j=bagSize；j>=nums[i]；j–）第二层倒序遍历，然后 dp[j]+=dp[j-nums[i]]
- 打印 dp 数组：用于 debug
2.2 代码
class Solution {
public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
int sum = 0;
for (int i = 0; i < nums.length; i++) sum += nums[i];
//如果target过大 sum将无法满足
if ( target < 0 && sum < -target) return 0;
if ((target + sum) % 2 != 0) return 0;
int size = (target + sum) / 2;
if(size < 0) size = -size;
int[] dp = new int[size + 1];
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
for (int j = size; j >= nums[i]; j--) {
dp[j] += dp[j - nums[i]];
}
}
return dp[size];
}
}
3. LeetCode 474. 一和零
3.1 思路
- 本题让我们从题目的集合中找出一个最多元素的子集，满足有 m 个 0，n 个 1。可以把 m 个 0 和 n 个 1 理解为一个背包，有两个维度，最多有 m 个 0 和 n 个 1，而集合里的元素就是物品。但这题不是多重背包，还是 01 背包，每个物品只能是使用 1 次，只是有两个维度。而多重背包是会限制物品的个数。
- 纯 01 背包就是问装满这个背包的最大价值，416. 分割等和子集就是能不能装满这个背包，满了就 true 否则就 false，1049. 最后一块石头的重量 II结束尽量去装，能装多少装多少，494. 目标和就是给我们一个容量，问有多少种方式能把背包装满，本题是求装满这个背包最多有多少个物品
- dp 数组及其下标的含义：我们是要装满一个 m 个 0、n 个 1 这么大容器的背包，这个背包里最多有多少个物品，一共 3 个变量，m、n、多少个物品。两个维度 m 个 0、n 个 1，因此定义个二维 dp 数组，含义是最多有 i 个 0 j 个 1 的 strs 的最多有 dp[i][j] 个物品，最终 dp[m][n] 就是我们的结果
- 递推公式：纯 01 背包的公式是 dp[j]=Math.max（dp[j]，dp[j-weight[i]]+value[i]），本题中我们物品的重量就是 x 个 0 y 个 1，整个背包最大重量是 m 个 0 n 个 1。因此 dp[i-x][j-y]+1，这里减去的 x 和 y 就是物品的重量，+1 就是物品的价值，价值就是个数，我们求的就是最多个数。可以这么理解：放了物品 i，还剩下 j - weight[i] 的容量可以放其他物品，剩下空间能得到的最大价值是 dp[i-1][j-weight[i]] 这句话是引用 01 背包理论基础的，理解一下。因此 dp[i][j]=Math.max（dp[i][j]， dp[i-x][j-y]+1）
- dp 数组的初始化：dp[0][0]=0，背包容量为 0 了，最大的物品个数自然也是 0。非 0 下标 dp[i][j] 物品个数不会是负数，因此初始化为 0，就不会在递推时 dp[i][j] 被初始化值覆盖掉
- 遍历顺序：也是"两层"for循环，先物品再背包。先通过增强 for循环遍历 str，每遍历到一个物品就要用 x 和 y 记录有几个 0 和 1。然后就是遍历背包，这里是要遍历 0 和 1，我们是先 0 再 1，不过可以颠倒，但是要倒序遍历， for（int i=m；i>=x；i–）for（int j=n；j>=y；j–）
- 打印 dp 数组：用于 debug
3.2 代码
class Solution {
public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
//dp[i][j]表示i个0和j个1时的最大子集
int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
int oneNum, zeroNum;
for (String str : strs) {
oneNum = 0;
zeroNum = 0;
for (char ch : str.toCharArray()) {
if (ch == '0') {
zeroNum++;
} else {
oneNum++;
}
}
//倒序遍历
for (int i = m; i >= zeroNum; i--) {
for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
}
}
}
return dp[m][n];
}
}
