讲解关于slam一系列文章汇总链接:史上最全slam从零开始，针对于本栏目讲解的 卡尔曼家族从零解剖 链接 :卡尔曼家族从零解剖-(00)目录最新无死角讲解：https://blog.csdn.net/weixin_43013761/article/details/133846882
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一、前言
上一篇博客，讲解的内容确实太多了，推导过程比较复杂，为了有一个整体的认知，方便后续学习，所以这里再花费一个篇幅梳理一下知识点。首先有最基本的贝叶斯公式：
f
X
∣
Y
(
x
∣
y
)
=
f
X
,
Y
(
x
,
y
)
f
Y
(
y
)
=
f
Y
∣
X
(
y
∣
x
)
f
X
(
x
)
∫
−
∞
+
∞
f
Y
∣
X
(
y
∣
x
)
f
X
(
x
)
d
x
=
η
f
Y
∣
X
(
y
∣
x
)
f
X
(
x
)
(01)
\color{Green} \tag{01} f_{X \mid Y}(x \mid y)=\frac{f_{X, Y}(x, y)}{f_{Y}(y)}=\frac{f_{Y \mid X}(y \mid x) f_{X}(x)}{\int_{-\infty}^{+\infty} f_{Y \mid X}(y \mid x) f_{X}(x) \mathrm{d} x}=\eta f_{Y \mid X}(y \mid x) f_{X}(x)
fX∣Y(x∣y)=fY(y)fX,Y(x,y)=∫−∞+∞fY∣X(y∣x)fX(x)dxfY∣X(y∣x)fX(x)=ηfY∣X(y∣x)fX(x)(01) 有了这个贝叶斯公式呢，接着做了两个重要的假设：
(
01
)
:
\color{blue}(01):
(01):
X
0
X_0
X0 与
Q
1
Q_1
Q1、
Q
2
Q_2
Q2、
Q
3
Q_3
Q3、
.
.
.
.
.
.
......
......、
Q
k
Q_{k}
Qk 相互独立。
(
02
)
:
\color{blue}(02):
(02):
X
1
X_1
X1 与
R
1
R_1
R1、
R
2
R_2
R2、
R
3
R_3
R3、
.
.
.
.
.
.
......
......、
R
k
R_{k}
Rk 相互独立。
基于上上述的假设，我们假设了随机变量的状态方程与观测方程：
X
k
=
f
(
X
k
−
1
)
+
Q
k
Y
k
=
h
(
X
k
)
+
R
k
(02)
\color{Green} \tag{02} X_k=f(X_{k-1})+Q_{k} \\Y_k=h(X_k)+R_k
Xk=f(Xk−1)+QkYk=h(Xk)+Rk(02)然后我们进行随机变量的递归过程，图示如下(上一篇博客图二简化精华版)：
上图为大致递推流程，但是这个流程是很难走下去的，为什么呢？假设现在初始状态
X
0
X_0
X0、
f
(
x
)
f(x)
f(x)状态转移方程、
h
(
x
)
h(x)
h(x) 测量方程、 与初始状态转移噪声
Q
1
Q_1
Q1 与 测量噪声
R
1
R_1
R1、以及各个时刻的观测随机变量
Y
1
Y_1
Y1到
Y
k
Y_k
Yk，但是我们依旧没有办法递推出
X
k
+
X_k^+
Xk+，因为我们不知道
Q
2
Q_2
Q2 到
Q
k
Q_k
Qk，
R
2
R_2
R2 到
R
k
R_k
Rk，注意，这里是说随机变量
Q
k
Q_k
Qk 与
R
k
R_k
Rk 的具体取值不知道是多少，而不是说关于他们的函数表达式不知道(后续学习卡尔曼滤波会有更加深的体会)，所以根据状态方程与测量方程进行了如下推导：
(
01
)
:
\color{blue}(01):
(01): 根据状态方程推导出先验概率密度函数
f
X
k
−
(
x
)
f_{X_{k}}^-(x)
fXk−(x)，其等价于(01)式中的
f
X
(
x
)
f_X(x)
fX(x)。
f
X
k
−
(
x
)
=
d
F
X
1
−
(
x
)
d
x
=
∫
−
∞
+
∞
f
Q
k
[
x
−
f
(
v
)
]
f
X
k
−
1
+
(
v
)
d
v
(03)
\color{red} \tag{03} f_{X_{k}}^-(x)=\frac{\mathrm{d} F_{X_1}^-(x)}{\mathrm{d} x}= \int_{-\infty}^{+\infty} f_{Q_{k}}[x-f(v)] f_{X_{k-1}}^{+}(v) \mathrm{d} v
fXk−(x)=dxdFX1−(x)=∫−∞+∞fQk[x−f(v)]fXk−1+(v)dv(03)
(
02
)
:
\color{blue}(02):
(02): 根据测量方程推导出出似然概率密度函数
f
Y
k
∣
X
k
(
y
k
∣
x
)
f_{Y_{k} \mid X_{k}}(y_{k} \mid x)
fYk∣Xk(yk∣x)，等价于(01)式中的
f
Y
∣
X
(
y
∣
x
)
f
X
(
x
)
f_{Y \mid X}(y \mid x) f_{X}(x)
fY∣X(y∣x)fX(x)。
f
Y
k
∣
X
k
(
y
k
∣
x
)
=
f
R
k
[
y
k
−
h
(
x
)
]
(04)
\color{red} \tag{04} f_{Y_{k} \mid X_{k}}(y_{k} \mid x)=f_{R_{k}}\left[y_{k}-h(x)\right]
fYk∣Xk(yk∣x)=fRk[yk−h(x)](04)
(
03
)
:
\color{blue}(03):
(03): 最后参照(01)式子，可得后验概率密度函数
f
X
k
+
(
x
)
f_{X_k}^+(x)
fXk+(x)：
f
X
k
+
(
x
)
=
η
k
⋅
f
X
k
∣
Y
k
(
x
)
⋅
f
X
k
−
(
x
)
=
η
k
⋅
f
R
k
[
y
k
−
h
(
x
)
]
⋅
∫
−
∞
+
∞
f
Q
k
[
x
−
f
(
v
)
]
f
X
k
−
1
+
(
v
)
d
v
(05)
\color{red} \tag{05} f_{X_k}^+(x)=\eta_k ·f_{X_k | Y_k}(x) ·f_{X_k}^-(x) =\eta_k ·f_{R_{k}}\left[y_{k}-h(x)\right]· \int_{-\infty}^{+\infty} f_{Q_{k}}[x-f(v)] f_{X_{k-1}}^{+}(v) \mathrm{d} v
fXk+(x)=ηk⋅fXk∣Yk(x)⋅fXk−(x)=ηk⋅fRk[yk−h(x)]⋅∫−∞+∞fQk[x−f(v)]fXk−1+(v)dv(05)
η
k
=
[
∫
−
∞
+
∞
(
f
R
k
[
y
k
−
h
(
x
)
]
⋅
∫
−
∞
+
∞
f
Q
k
[
x
−
f
(
v
)
]
f
X
k
−
1
+
(
v
)
d
v
d
x
]
−
1
)
d
x
(06)
\color{Green} \tag{06} \eta_k=[\int_{-\infty}^{+\infty}(f_{R_{k}}\left[y_{k}-h(x)\right]· \int_{-\infty}^{+\infty} f_{Q_{k}}[x-f(v)] f_{X_{k-1}}^{+}(v) \mathrm{d} v\mathrm{d} x]^{-1}) \mathrm d x
ηk=[∫−∞+∞(fRk[yk−h(x)]⋅∫−∞+∞fQk[x−f(v)]fXk−1+(v)dvdx]−1)dx(06)
需要注意，其上的
f
Q
k
f_{Q_k}
fQk 与
f
R
k
f_{R_k}
fRk 都为概率密度函数(PDF)。求得 后验概率密度，对齐进行积分即可得到概率分布，进一步求期望即可。
二、技术难点
公式确实推导出来了，但是很明显上式是一个广义结果，并没有实例化，比如 f ( x ) f(x) f(x)， h ( x ) h(x) h(x)。如果这两个是函数十分复杂，比如非线性。那么上式则设计到两个非线性无穷积分的运算，也就是 (03) 式与 (06) 式。亦或者 f Q k ( x ) f_{Q_k}(x) fQk(x) 与 f R k ( x ) f_{R_k}(x) fRk(x) 十分复杂，同样会导致非线性无穷积分的运算，这样有可能会导致无法求解。当然，这个推导出来的结果就没有任何作用了。
所以呢，在实际的应用中，基于贝叶斯的不通算法会有不同假设，比如令 f ( x ) f(x) f(x)， h ( x ) h(x) h(x) 为线性函数，那么显然，其就应用场景就存在局限性了，卡尔曼滤波就是一种具体化的实现。另外还有扩展卡尔曼滤波，其能够处理一些非线性的复杂场景，后续也会为大家详细分析。依照不通实现方式，对基于贝叶斯滤波思想的方法进行了归类如下：
