代码随想录第四十一天 | 动态规划:整数拆分(343,加贪心);不同的二叉搜索树(96)

news2024/11/15 5:43:15

1、leetcode 343:整数拆分

1.1 leetcode 343:动态规划

第一遍代码没思路

代码随想录思路
看到这道题目,都会想拆成两个呢,还是三个呢,还是四个…
我们来看一下如何使用动规来解决

动规五部曲,分析如下:
1、确定dp数组(dp table)以及下标的含义
dp[i]:分拆数字i,可以得到的最大乘积为dp[i],dp[i]的定义将贯彻整个解题过程

2、确定递推公式
可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢?
其实可以从1遍历j,然后有两种渠道得到dp[i]:一个是j * (i - j) 直接相乘,一个是j * dp[i - j],相当于是拆分(i - j)

j怎么就不拆分呢?
j是从1开始遍历,拆分j的情况,在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j,比较(i - j) * jdp[i - j] * j 最大
递推公式:dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

其实这个递推公式覆盖所有的拆分情况了,因为dp计算的过程中还包含 与更小的 数的拆分dp 乘积的比较
也可以这么理解,j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘,而j * dp[i - j]拆分成两个以上个数的数相乘,因为dp[i - j]一定是拆成了两个或以上的数的乘积形式,所以缺少了仅仅拆成两个数的时候比较大小,所以需要j * (i - j)

如果定义dp[i - j] * dp[j] 也是默认将一个数强制拆成4份以及4份以上
所以递推公式dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});

那么在取最大值的时候,为什么还要**比较dp[i]**呢?
因为在递推公式推导的过程中,每次计算dp[i]取最大的而已

3、dp的初始化
不少同学应该疑惑,dp[0] dp[1]应该初始化加粗样式多少呢?
有的题解里会给出dp[0] = 1,dp[1] = 1的初始化,但解释比较牵强,主要还是因为这么初始化可以把题目过了
严格从dp[i]的定义来说,dp[0] dp[1] 就不应该初始化,也就是没有意义的数值
拆分0和拆分1的最大乘积是多少?这是无解的

这里我只初始化dp[2] = 1,从dp[i]的定义来说,拆分数字2,得到的最大乘积是1,这个没有任何异议

4、确定遍历顺序
确定遍历顺序,先来看看递归公式dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态,所以遍历i一定是从前向后遍历先有dp[i - j]再有dp[i]
所以遍历顺序为:

for (int i = 3; i <= n ; i++) {
    for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
    }
}

注意 枚举j的时候,是从1开始的。从0开始的话,那么让拆分一个数拆个0求最大乘积就没有意义
j的结束条件是 j < i - 1,因为初始值是从下标为2开始的,而且 例如让j = i - 1,的话,其实在 j = 1的时候,这一步就已经拆出来了,重复计算。i是从3开始,这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来

更优化一步,可以这样:

for (int i = 3; i <= n ; i++) {
    for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
    }
}

因为拆分一个数n 使之乘积最大,那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的,只不过我们不知道m究竟是多少而已,但可以明确的是m一定大于等于2,既然m大于等于2,也就是 最差也应该是拆成两个相同的 可能是最大值,那么 j 遍历,只需要遍历到 n/2 就可以后面没有必要遍历了,一定不是最大值

5、举例推导dp数组
举例当n为10 的时候,dp数组里的数值,如下:
整数拆分中的举例推导dp数组
根据思路写代码:

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector<int> dp(n+1, 0);
        dp[2] = 1;
        for(int i = 3; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= i / 2; j++) {
                dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

1.2 leetcode 343:贪心

本题也可以用贪心,每次拆成n个3,如果剩下是4,则保留4,然后相乘,但是这个结论需要数学证明其合理性
代码随想录C++代码如下:

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        if (n == 2) return 1;
        if (n == 3) return 2;
        if (n == 4) return 4;
        int result = 1;
        while (n > 4) {
            result *= 3;
            n -= 3;
        }
        result *= n;
        return result;
    }
};

2、不同的二叉搜索树

2.1 leetcode 96:不同的二叉搜索树

第一遍代码还是没思路

代码随想录思路
n = 1,2时搜索树的状态
n为1的时候有一棵树n为2两棵树,这个是很直观的
n=3的时候搜索树的状态
来看看n为3的时候,有哪几种情况
1为头结点的时候,其右子树有两个节点,看这两个节点的布局,和 n 为2的时候两棵树的布局是一样的(注意是布局,即形状),当3为头结点的时候,其左子树有两个节点,看这两个节点的布局和n为2的时候两棵树的布局也是一样的,当2为头结点的时候,其左右子树都只有一个节点布局和n为1的时候只有一棵树的布局也是一样

发现到这里,其实我们就找到了重叠子问题了,其实也就是发现可以通过dp[1] 和 dp[2] 来推导出来**dp[3]**的某种方式
dp[3],就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量
元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量
元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量
元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量

有2个元素的搜索树数量就是dp[2]
有1个元素的搜索树数量就是dp[1]
有0个元素的搜索树数量就是dp[0]

所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]
如图所示:
n = 3的时候的递推式搜索树表示
此时我们已经找到递推关系了,那么可以用动规五部曲再系统分析一遍
1、确定dp数组(dp table)以及下标的含义
dp[i] : 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数dp[i]
也可以理解是i个不同元素节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i] ,都是一样的

2、确定递推公式
在上面的分析中,其实已经看出其递推关系dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]
j相当于是头结点的元素从1遍历到i为止
所以递推公式:dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];j-1 为j为头结点左子树节点数量i-j 为以j为头结点右子树节点数量

3、dp数组如何初始化
初始化,只需要初始化dp[0]就可以了,推导的基础,都是dp[0]

那么dp[0]应该是多少呢?
定义上来讲,空节点也是一棵二叉树,也是一棵二叉搜索树,这是可以说得通的
递归公式上来讲,dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]以j为头结点左子树节点数量为0,也需要dp[以j为头结点左子树节点数量] = 1, 否则乘法的结果就都变成0了,所以初始化dp[0] = 1

4、确定遍历顺序
首先一定是遍历节点数,从递归公式:dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出,节点数为i的状态依靠 i之前节点数的状态,那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态用j来遍历

代码如下:

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= i; j++) {
        dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
    }
}

5、举例推导dp数组
n为5时候的dp数组状态如图:
n为5时dp数组的状态
当然如果自己画图举例的话,基本举例到n为3就可以了,n为4的时候,画图已经比较麻烦了
我这里列到了n为5的情况,是为了方便大家 debug代码的时候,把dp数组打出来,看看哪里有问题

根据思路写代码:

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, 0); //别忘了赋初值
        dp[0] = 1;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= i; j++) {
                dp[i] += (dp[j - 1] * dp[i - j]); 
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

综上分析完毕,代码随想录C++代码如下:

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];//不用加括号
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

时间复杂度:O(n2)
空间复杂度: O ( n ) O(n) O(n)

2.2 leetcode 96:总结

首先这道题想到用动规的方法来解决,就不太好想,需要举例,画图,分析,才能找到递推的关系
然后难点就是确定递推公式了,如果把递推公式想清楚了,遍历顺序和初始化,就是自然而然的事情了

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