代码随想录第四十一天 | 动态规划:整数拆分(343,加贪心);不同的二叉搜索树(96)

news2024/11/25 15:29:14

1、leetcode 343:整数拆分

1.1 leetcode 343:动态规划

第一遍代码没思路

代码随想录思路
看到这道题目,都会想拆成两个呢,还是三个呢,还是四个…
我们来看一下如何使用动规来解决

动规五部曲,分析如下:
1、确定dp数组(dp table)以及下标的含义
dp[i]:分拆数字i,可以得到的最大乘积为dp[i],dp[i]的定义将贯彻整个解题过程

2、确定递推公式
可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢?
其实可以从1遍历j,然后有两种渠道得到dp[i]:一个是j * (i - j) 直接相乘,一个是j * dp[i - j],相当于是拆分(i - j)

j怎么就不拆分呢?
j是从1开始遍历,拆分j的情况,在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j,比较(i - j) * jdp[i - j] * j 最大
递推公式:dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

其实这个递推公式覆盖所有的拆分情况了,因为dp计算的过程中还包含 与更小的 数的拆分dp 乘积的比较
也可以这么理解,j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘,而j * dp[i - j]拆分成两个以上个数的数相乘,因为dp[i - j]一定是拆成了两个或以上的数的乘积形式,所以缺少了仅仅拆成两个数的时候比较大小,所以需要j * (i - j)

如果定义dp[i - j] * dp[j] 也是默认将一个数强制拆成4份以及4份以上
所以递推公式dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});

那么在取最大值的时候,为什么还要**比较dp[i]**呢?
因为在递推公式推导的过程中,每次计算dp[i]取最大的而已

3、dp的初始化
不少同学应该疑惑,dp[0] dp[1]应该初始化加粗样式多少呢?
有的题解里会给出dp[0] = 1,dp[1] = 1的初始化,但解释比较牵强,主要还是因为这么初始化可以把题目过了
严格从dp[i]的定义来说,dp[0] dp[1] 就不应该初始化,也就是没有意义的数值
拆分0和拆分1的最大乘积是多少?这是无解的

这里我只初始化dp[2] = 1,从dp[i]的定义来说,拆分数字2,得到的最大乘积是1,这个没有任何异议

4、确定遍历顺序
确定遍历顺序,先来看看递归公式dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态,所以遍历i一定是从前向后遍历先有dp[i - j]再有dp[i]
所以遍历顺序为:

for (int i = 3; i <= n ; i++) {
    for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
    }
}

注意 枚举j的时候,是从1开始的。从0开始的话,那么让拆分一个数拆个0求最大乘积就没有意义
j的结束条件是 j < i - 1,因为初始值是从下标为2开始的,而且 例如让j = i - 1,的话,其实在 j = 1的时候,这一步就已经拆出来了,重复计算。i是从3开始,这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来

更优化一步,可以这样:

for (int i = 3; i <= n ; i++) {
    for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
    }
}

因为拆分一个数n 使之乘积最大,那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的,只不过我们不知道m究竟是多少而已,但可以明确的是m一定大于等于2,既然m大于等于2,也就是 最差也应该是拆成两个相同的 可能是最大值,那么 j 遍历,只需要遍历到 n/2 就可以后面没有必要遍历了,一定不是最大值

5、举例推导dp数组
举例当n为10 的时候,dp数组里的数值,如下:
整数拆分中的举例推导dp数组
根据思路写代码:

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector<int> dp(n+1, 0);
        dp[2] = 1;
        for(int i = 3; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= i / 2; j++) {
                dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

1.2 leetcode 343:贪心

本题也可以用贪心,每次拆成n个3,如果剩下是4,则保留4,然后相乘,但是这个结论需要数学证明其合理性
代码随想录C++代码如下:

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        if (n == 2) return 1;
        if (n == 3) return 2;
        if (n == 4) return 4;
        int result = 1;
        while (n > 4) {
            result *= 3;
            n -= 3;
        }
        result *= n;
        return result;
    }
};

2、不同的二叉搜索树

2.1 leetcode 96:不同的二叉搜索树

第一遍代码还是没思路

代码随想录思路
n = 1,2时搜索树的状态
n为1的时候有一棵树n为2两棵树,这个是很直观的
n=3的时候搜索树的状态
来看看n为3的时候,有哪几种情况
1为头结点的时候,其右子树有两个节点,看这两个节点的布局,和 n 为2的时候两棵树的布局是一样的(注意是布局,即形状),当3为头结点的时候,其左子树有两个节点,看这两个节点的布局和n为2的时候两棵树的布局也是一样的,当2为头结点的时候,其左右子树都只有一个节点布局和n为1的时候只有一棵树的布局也是一样

发现到这里,其实我们就找到了重叠子问题了,其实也就是发现可以通过dp[1] 和 dp[2] 来推导出来**dp[3]**的某种方式
dp[3],就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量
元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量
元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量
元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量

有2个元素的搜索树数量就是dp[2]
有1个元素的搜索树数量就是dp[1]
有0个元素的搜索树数量就是dp[0]

所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]
如图所示:
n = 3的时候的递推式搜索树表示
此时我们已经找到递推关系了,那么可以用动规五部曲再系统分析一遍
1、确定dp数组(dp table)以及下标的含义
dp[i] : 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数dp[i]
也可以理解是i个不同元素节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i] ,都是一样的

2、确定递推公式
在上面的分析中,其实已经看出其递推关系dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]
j相当于是头结点的元素从1遍历到i为止
所以递推公式:dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];j-1 为j为头结点左子树节点数量i-j 为以j为头结点右子树节点数量

3、dp数组如何初始化
初始化,只需要初始化dp[0]就可以了,推导的基础,都是dp[0]

那么dp[0]应该是多少呢?
定义上来讲,空节点也是一棵二叉树,也是一棵二叉搜索树,这是可以说得通的
递归公式上来讲,dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]以j为头结点左子树节点数量为0,也需要dp[以j为头结点左子树节点数量] = 1, 否则乘法的结果就都变成0了,所以初始化dp[0] = 1

4、确定遍历顺序
首先一定是遍历节点数,从递归公式:dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出,节点数为i的状态依靠 i之前节点数的状态,那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态用j来遍历

代码如下:

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= i; j++) {
        dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
    }
}

5、举例推导dp数组
n为5时候的dp数组状态如图:
n为5时dp数组的状态
当然如果自己画图举例的话,基本举例到n为3就可以了,n为4的时候,画图已经比较麻烦了
我这里列到了n为5的情况,是为了方便大家 debug代码的时候,把dp数组打出来,看看哪里有问题

根据思路写代码:

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, 0); //别忘了赋初值
        dp[0] = 1;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= i; j++) {
                dp[i] += (dp[j - 1] * dp[i - j]); 
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

综上分析完毕,代码随想录C++代码如下:

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];//不用加括号
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

时间复杂度:O(n2)
空间复杂度: O ( n ) O(n) O(n)

2.2 leetcode 96:总结

首先这道题想到用动规的方法来解决,就不太好想,需要举例,画图,分析,才能找到递推的关系
然后难点就是确定递推公式了,如果把递推公式想清楚了,遍历顺序和初始化,就是自然而然的事情了

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.coloradmin.cn/o/1164255.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈,一经查实,立即删除!

相关文章

win10 + vs2017 + gdal2.0.3 编译

1. 下载并解压gdal2.0.3 我的放置目录是&#xff1a;D:\Depend_3rd_party\gdal2\gdal-2.0.3&#xff0c;其中gdal-2.0.3是解压得到的文件夹 2. 修改 nmake.opt 文件 用notepad打开nmake.opt文件&#xff0c;修改以下三个部分&#xff1a; &#xff08;1&#xff09;修改C co…

【Java 进阶篇】深入了解 Java ServletContext

Java ServletContext是Java Servlet技术中的一个重要概念&#xff0c;它提供了一种在整个Web应用程序中共享数据和资源的方式。在本文中&#xff0c;我们将深入探讨ServletContext的用途、工作原理和示例用法。无需担心&#xff0c;即使您是一个基础小白&#xff0c;也可以轻松…

C++:string类!

Cstring 是C中的字符串。 字符串对象是一种特殊类型的容器&#xff0c;专门设计来操作的字符序列。 不像传统的c-strings,只是在数组中的一个字符序列&#xff0c;我们称之为字符数组&#xff0c;而C字符串对象属于一个类&#xff0c;这个类有很多内置的特点&#xff0c;在操作…

首届陕西省商贸服务业“金牌店长”大赛落下帷幕

2023年11月1日&#xff0c;首届陕西省商贸服务业金牌店长大赛在秋林大酒店落下帷幕。这是由陕西省商业联合会、陕西省餐饮联合会、陕西省连锁经营协会和西安市连锁经营协会联合举办&#xff0c;旨在挖掘和培养陕西省商贸服务业的优秀店长&#xff0c;提升商贸服务业的整体水平&…

Java多线程----创建线程、线程池ExecutorService、异步编排

文章目录 创建线程的四种方式方式一、继承Thread方式二、自定义实现Runnable接口方式三、Thread FutureTask Callable返回值方式四、线程池ThreadPoolExecutor 线程池的简单介绍通过ThreadPoolExecutor创建自定义线程池ThreadPoolExecutor创建线程池的7大参数线程池处理任务的…

在校园跑腿系统小程序中,如何设计高效的实时通知与消息推送系统?

1. 选择合适的消息推送服务 在校园跑腿系统小程序中&#xff0c;选择一个适合的消息推送服务。例如&#xff0c;使用WebSocket技术、Firebase Cloud Messaging (FCM)、或第三方推送服务如Pusher或OneSignal等。注册并获取相关的API密钥或访问令牌。 2. 集成服务到小程序后端…

(1)上位机底部栏 UI如何设置

上位机如果像设置个多页面切换&#xff1a; 位置&#xff1a; 代码如下&#xff1a; "tabBar": {"color": "black","selectedColor": "#d43c33","borderStyle":"black","backgroundColor": …

数据库 | 看这一篇就够了!最全MySQL数据库知识框架!

大家好&#xff01; 作为一名程序员&#xff0c;每天和各种各样的“数据库”打交道&#xff0c;已经成为我们的日常。当然&#xff0c;立志成为一名超级架构师的我&#xff0c;肯定要精通这项技能。咳咳&#xff01;不过饭还是要一口一口吃的&#xff0c;“数据库”这个内容实在…

黄执中老师人际说服课思考总结(个人笔记整理 ①)

问题描述和解决方法&#xff1a; &#x1f624;职场中明明是ta应该做的事&#xff0c;ta为何还生气呢&#xff1f;&#xff1b; &#x1f620;不知道怎么和家人孩子沟通&#xff1f;自己明明是对的&#xff0c;可别人就是不听 &#x1f621;不知道怎么安慰朋友&#xff1f;&…

Python time strptime()和strftime()

1 strptime()方法 根据指定的格式把一个时间字符串解析为时间元组 重要的时间日期格式化符号 %y 两位数的年份表示&#xff08;00-99&#xff09; %Y 四位数的年份表示&#xff08;000-9999&#xff09; %m 月份&#xff08;01-12&#xff09; %d 月内中的一天&#xff08;0-…

主机ping、ssh连接不通本地虚拟机

一、问题描述 在使用vscode remote ssh时&#xff0c;连接timeout&#xff0c;而且主机无论如何也ping不通虚拟机&#xff0c;但是虚拟机可以ping通主机。通过vagrant也可以连接虚拟机。 二、解决方案 试了网上包括设置remote ssh在内的许多方法都不行。重新查看主机和虚拟机…

C++类和对象-->默认成员函数

文章目录 类的6个默认成员函数初始化和清理构造函数构造函数概念构造函数特征 析构函数析构函数概念析构函数特征 拷贝赋值拷贝构造函数拷贝构造函数概念拷贝构造函数特征 赋值运算重载运算符重载运算符重载特征 赋值运算符重载赋值运算符特征 取地址重载取地址操作符重载const…

C#中使用LINQtoSQL管理SQL数据库之添加、修改和删除

目录 一、添加数据 二、修改数据 三、删除数据 四、添加、修改和删除的源码 五、生成效果 1.VS和SSMS原始记录 2.删除ID2和5的记录 3.添加记录ID2、5和8 4.修改ID3和ID4的记录 用LINQtoSQL管理SQL Server数据库时&#xff0c;主要有添加、修改和删除3种操作。 项目中创…

Unity AssetBundle批量打包、加载(场景、Prefab)完整流程

目录 1、文章介绍 2、具体思路和写法 &#xff08;1&#xff09;AB包的打包 &#xff08;2&#xff09;AB包的加载 &#xff08;3&#xff09;AB包卸载 3、结语 1、文章介绍 本篇博客主要起记录和学习作用&#xff0c;简单的介绍一下AB包批量的打包和加载AB包的方式&…

项目实战:编辑页面加载库存信息

1、前端编辑页面加载水果库存信息逻辑edit.js let queryString window.location.search.substring(1) if(queryString){var fid queryString.split("")[1]window.onloadfunction(){loadFruit(fid)}loadFruit function(fid){axios({method:get,url:edit,params:{fi…

【IIS搭建网站】在本地电脑上搭建web服务器并实现外网访问

文章目录 1.前言2.Windows网页设置2.1 Windows IIS功能设置2.2 IIS网页访问测试 3. Cpolar内网穿透3.1 下载安装Cpolar内网穿透3.2 Cpolar云端设置3.3 Cpolar本地设置 4.公网访问测试5.结语 1.前言 在网上各种教程和介绍中&#xff0c;搭建网页都会借助各种软件的帮助&#xf…

【APP】go-musicfox - 一款网易云音乐命令行客户端, 文件很小Mac版本只有16.5M

go-musicfox 是用 Go 写的又一款网易云音乐命令行客户端&#xff0c;支持各种音质级别、UnblockNeteaseMusic、Last.fm、MPRIS 和 macOS 交互响应&#xff08;睡眠暂停、蓝牙耳机连接断开响应和菜单栏控制等&#xff09;等功能特性。 预览 启动 启动界面 主界面 主界面 通…

【docker】安装 showdoc

1. 下载镜像 2.新建存放showdoc数据的目录 3.启动showdoc容器 4.打开网页 1. 下载镜像 # 原版官方镜像安装命令(中国大陆用户不建议直接使用原版镜像&#xff0c;可以用后面的加速镜像) docker pull star7th/showdoc # 中国大陆镜像安装命令&#xff08;安装后记得执行docke…

数组反转(LeetCode)

凑数 ... 描述 : 给你一个 32 位的有符号整数 x &#xff0c;返回将 x 中的数字部分反转后的结果。 如果反转后整数超过 32 位的有符号整数的范围 [−231, 231 − 1] &#xff0c;就返回 0。 假设环境不允许存储 64 位整数&#xff08;有符号或无符号&#xff09;。 题目…

Dubbo中的负载均衡算法之一致性哈希算法

Dubbo中的负载均衡算法之一致性哈希算法 哈希算法 假设这样一个场景&#xff0c;我们申请一台服务器来缓存100万的数据&#xff0c;这个时候是单机环境&#xff0c;所有的请求都命中到这台服务器。后来业务量上涨&#xff0c;我们的数据也从100万上升到了300万&#xff0c;原…