如何理解傅里叶变换？

news2024/11/28 13:31:21

当提到什么是傅里叶变换？

大家的回答一般是：将信号从时域转化到频域？

那为什么要转换到频域呢？

因为在频域可将一些信号分离。

为什么转换到频域就可分离呢？好像不会回答了。

实际上，从线性代数的角度来看，信号的傅里叶级数展开实际上是对信号的一个分解，将其分解为互相正交基叠加。

先想想一个三维空间有一个矢量A=（3，2，4）那么，将其进行三维分解到下x,y,z轴，那么应该是 $\vec{A}=3\vec{x}+2\vec{y}+4\vec{z}$ .其中 $\vec{x},\vec{y},\vec{z}$ 是三维坐标的基向量，相互正交。

现在有一个信号 s（t），将其做傅里叶变化，实际上是将信号分解到组成的三角函数系上，三角函数系不仅是函数空间的一组基，还是一组正交基，也即数学分析中所谓正交函数系。

函数空间（此处应为希尔伯特空间:完备的内积空间）中任何一个函数都可以用这些基来表示，就如三维欧式空间中任何一个向量都可以用x,y,z来表示一样，不同之处在于对于函数的表示是无穷维的。

对于周期性的信号来说，可以分解为有限个正交分量，因此，从频域上来看，其频谱是离散的。对于非周期信号，无法分解为有限个正交分量，即其正交分解的分量是无限维的，所以从频率上来看，其频谱是连续的，称为频谱密度。

从傅里叶级数到傅里叶变换 (From Fourier Series to Fourier transform) - 知乎 (zhihu.com)https://zhuanlan.zhihu.com/p/138531346

函数空间正交基(Orthogonal Bases) - 知乎 (zhihu.com)https://zhuanlan.zhihu.com/p/336779418

为什么要用正交基表示？如果不正交会如何？

正交基的优势在于其内积为0，计算方便。

举个简单的例子。计算二维向量 $\vec{a}=3\vec{x}+2\vec{y}$ 和 $\vec{b}=\vec{x}+4\vec{y}$ ，

如果 $\vec{x}$ 和 $\vec{y}$ 是正交的，即 $\vec{x}\cdot \vec{y}=\left | x \right |\left | y \right |cos{90^o}=0$ ,那么计算 $\vec{a}\cdot\vec{b}=3*1+2*4+12\vec{x}\cdot\vec{y}+2\vec{y}\cdot\vec{x}=11$

但是如果 $\vec{x}$ 和 $\vec{y}$ 不是正交的，假设它们之间的夹角为 $\theta$ （不为 $90^o$ ）,则计算 $\vec{a}\cdot\vec{b}=3*1+2*4+12\vec{x}\cdot\vec{y}+2\vec{y}\cdot\vec{x}=11+14\left | x \right |\left | y \right |cos\theta$

则需要计算 $cos\theta$ ，很不方便。

小总结：

连续周期函数的傅里叶变换：对应的是傅里叶级数，即是离散谱。周期信号一定是功率信号。

连续非周期函数的傅里叶变换：对应的是连续的频谱。非周期信号可能是功率信号，也可能是能量信号。

利用极限思想，周期信号演变成非周期信号，傅里叶级数演变成傅里叶变换。但无论是傅里叶级数综合式，还是傅里叶变换的综合式，其基本思想都是：将一般的信号分解为虚指数信号的线性组合。区别在于傅里叶级数是将周期信号分解为成谐波关系的虚指数信号 $e^{jk\omega_{0}t}$ 的线性组合，即这些虚指数信号仅取离散的频率 $k\omega _{0}$ ，而傅里叶变换综合式则是用 $e^{j\omega t}$ 线性组合成一般的非周期信号，频率 $\omega$ 是连续的变量，取值范围为 −∞∼+∞ 。