62.不同路径
思路
动态规划
机器人从(0 , 0) 位置出发，到(m - 1, n - 1)终点。
按照动规五部曲来分析：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。
- 确定递推公式
想要求dp[i][j]，只能有两个方向来推导出来，即dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]。
此时在回顾一下 dp[i - 1][j] 表示啥，是从(0, 0)的位置到(i - 1, j)有几条路径，dp[i][j - 1]同理。
那么很自然，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，因为dp[i][j]只有这两个方向过来。
- dp数组的初始化
如何初始化呢，首先dp[i][0]一定都是1，因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，那么dp[0][j]也同理。
所以初始化代码为：
//初始化dp[][]，将最上和最左初始化为1
for (int i = 0; i < m; i++) {
dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n; j++) {
dp[0][j]=1;
}
}- 确定遍历顺序
这里要看一下递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，dp[i][j]都是从其上方和左方推导而来，那么从左到右一层一层遍历就可以了。
这样就可以保证推导dp[i][j]的时候，dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]一定是有数值的。
- 举例推导dp数组
如图所示：
以上动规五部曲分析完毕，代码如下：
class Solution {
public int uniquePaths(int m, int n) {
//确定dp数组
int[][] dp = new int[m][n];
//确定递推公式【状态转移方程】:dp[i][j] = dp[i-1][0] + dp[0][j-1]
//初始化dp[][]，将最上和最左初始化为1
for (int i = 0; i < m; i++) {
dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n; j++) {
dp[0][j]=1;
}
}
//确定遍历顺序，从左到右
for (int i = 1; i < m; i++) {
for (int j = 1; j < n; j++) {
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
}
}
return dp[m-1][n-1];
}
}- 时间复杂度：O(m × n)
- 空间复杂度：O(m × n)
63. 不同路径 II
思路
这道题相对于62.不同路径 (opens new window)就是有了障碍。
62.不同路径 (opens new window)中已经详细分析了没有障碍的情况，有障碍的话，其实就是标记对应的dp table（dp数组）保持初始值(0)就可以了。
动规五部曲：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。
- 确定递推公式
递推公式和62.不同路径一样，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]。
但这里需要注意一点，因为有了障碍，(i, j)如果就是障碍的话应该就保持初始状态（初始状态为0）。
所以代码为：
int a = obstacleGrid[i-1][j] == 1 ? 0 : dp[i-1][j];
int b = obstacleGrid[i][j-1] == 1 ? 0 : dp[i][j-1];
dp[i][j] = a + b;- dp数组如何初始化
在62.不同路径 (opens new window)不同路径中我们给出如下的初始化：
for (int i = 0; i < m; i++) {
dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n; j++) {
dp[0][j]=1;
}
}因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，所以dp[i][0]一定为1，dp[0][j]也同理。
但如果(i, 0) 这条边有了障碍之后，障碍之后（包括障碍）都是走不到的位置了，所以障碍之后的dp[i][0]应该还是初始值0。
如图：
下标(0, j)的初始化情况同理。
所以本题初始化代码为：
for (int i = 0; i < m; i++) {
if (obstacleGrid[i][0] == 1){
break;
}
dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (obstacleGrid[0][j] == 1){
break;
}
dp[0][j]=1;
}
}- 确定遍历顺序
从递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] 中可以看出，一定是从左到右一层一层遍历，这样保证推导dp[i][j]的时候，dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]一定是有数值。
代码如下：
//确定遍历顺序
for (int i = 1; i < m; i++) {
for (int j = 1; j < n; j++) {
int a = obstacleGrid[i-1][j] == 1 ? 0 : dp[i-1][j];
int b = obstacleGrid[i][j-1] == 1 ? 0 : dp[i][j-1];
dp[i][j] = a + b;
}
}- 举例推导dp数组
拿示例1来举例如题：
对应的dp table 如图：
如果这个图看不懂，建议再理解一下递归公式，然后照着文章中说的遍历顺序，自己推导一下！
动规五部分分析完毕，代码如下：
class Solution {
public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
//确定dp数组，及其下标含义
int m = obstacleGrid.length;
int n = obstacleGrid[0].length;
//当起始位置或者终点有障碍时，直接返回
if (obstacleGrid[m-1][n-1] == 1 || obstacleGrid[0][0] == 1){
return 0;
}
int[][] dp = new int[m][n];
//确定递推公式
//数组初始化，当遇到障碍直接跳出循环
for (int i = 0; i < m; i++) {
if (obstacleGrid[i][0] == 1){
break;
}
dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (obstacleGrid[0][j] == 1){
break;
}
dp[0][j]=1;
}
}
//确定遍历顺序
for (int i = 1; i < m; i++) {
for (int j = 1; j < n; j++) {
int a = obstacleGrid[i-1][j] == 1 ? 0 : dp[i-1][j];
int b = obstacleGrid[i][j-1] == 1 ? 0 : dp[i][j-1];
dp[i][j] = a + b;
}
}
return dp[m-1][n-1];
}
}
- 时间复杂度：O(n × m)，n、m 分别为obstacleGrid 长度和宽度
- 空间复杂度：O(n × m)
今天感觉不错，再接再厉！！！
