神经网络可以自动地从数据中学习到合适的权重参数。

1. 神经网络概述

1）表示

神经网络信号传递类似于感知机。最左边的一列称为输入层，最右边的一列称为输出层，中间的一列称为中间层。中间层有时也称为隐藏层。实现中，输入层到输出层依次称为第 0层、第1 层、第 2 层

2）激活函数

h（x）函数会将输入信号的总和转换为输出信号，这种函数一般称为激活函数（activation function）。如下：

y = h(b + w1x1+ w2x2)

如果激活函数如下，即以阈值为界，一旦输入超过阈值，就切换输出。这样的函数称为“阶跃函数”。因此，可以说感知机中使用了阶跃函数作为
激活函数。

3）sigmoid函数

神经网络中经常使用的一个激活函数就是sigmoid函数（sigmoid function）。表达式如下：

神经网络中用sigmoid函数作为激活函数，进行信号的转换，转换后的信号被传送给下一个神经元。

感知机和神经网络的主要区别就在于这个激活函数。

4）阶跃函数的实现

# coding: utf-8
import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt


def step_function(x):
    # return np.array(x > 0, dtype=np.int)
      return np.array(x > 0, dtype=int)

X = np.arange(-5.0, 5.0, 0.1)
Y = step_function(X)
plt.plot(X, Y)
plt.ylim(-0.1, 1.1)  # 指定图中绘制的y轴的范围
plt.show()

5）sigmoid函数的实现

# coding: utf-8
import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt


def sigmoid(x):
    return 1 / (1 + np.exp(-x))    

X = np.arange(-5.0, 5.0, 0.1)
Y = sigmoid(X)
plt.plot(X, Y)
plt.ylim(-0.1, 1.1)
plt.show()

6)sigmoid函数和阶跃函数的比较

sigmoid函数是一条平滑的曲线，输出随着输入发生连续性的变化。sigmoid函数的平滑性对神经网络的学习具有重要意义。

当输入信号为重要信息时，阶跃函数和sigmoid函数都会输出较大的值；当输入信号为不重要的信息时，两者都输出较小的值。

不管输入信号有多小，或者有多大，输出信号的值都在0到1之间。

# coding: utf-8
import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt


def sigmoid(x):
    return 1 / (1 + np.exp(-x))    


def step_function(x):
    return np.array(x > 0, dtype=np.int)

x = np.arange(-5.0, 5.0, 0.1)
y1 = sigmoid(x)
y2 = step_function(x)

plt.plot(x, y1)
plt.plot(x, y2, 'k--')
plt.ylim(-0.1, 1.1) #指定图中绘制的y轴的范围
plt.show()

7）非线性函数

阶跃函数和sigmoid函数还有其他共同点，就是两者均为非线性函数。

神经网络的激活函数必须使用非线性函数。线性函数的问题在于，不管如何加深层数，总是存在与之等效的“无隐藏层的神经网络”

为了发挥叠加层所带来的优势，激活函数必须使用非线性函数。

8）ReLU函数

sigmoid函数很早就开始被使用了，而最近则主要使用ReLU（Rectified Linear Unit）函数。

ReLU 函数也是一种激活函数，可以表示为下面的式

ReLU函数的实现如下，

# coding: utf-8
import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt


def relu(x):
    return np.maximum(0, x)

x = np.arange(-5.0, 5.0, 0.1)
y = relu(x)
plt.plot(x, y)
plt.ylim(-1.0, 5.5)
plt.show()

2.三层神经网络的实现

1）结构

3层神经网络：输入层（第0层）有2个神经元，第1个隐藏层（第1层）有3个神经元，第2个隐藏层（第2层）有2个神经元，输出层（第3层）有2个神经元，结构

如下，

2）代码实现

# coding: utf-8
import numpy as np
from common.functions import sigmoid,identity_function

def init_network():
    network = {}
    network['W1'] = np.array([[0.1, 0.3, 0.5], [0.2, 0.4, 0.6]])
    network['b1'] = np.array([0.1, 0.2, 0.3])
    network['W2'] = np.array([[0.1, 0.4], [0.2, 0.5], [0.3, 0.6]])
    network['b2'] = np.array([0.1, 0.2])
    network['W3'] = np.array([[0.1, 0.3], [0.2, 0.4]])
    network['b3'] = np.array([0.1, 0.2])
    return network
def forward(network, x):
    W1, W2, W3 = network['W1'], network['W2'], network['W3']
    b1, b2, b3 = network['b1'], network['b2'], network['b3']
    a1 = np.dot(x, W1) + b1
    z1 = sigmoid(a1)
    a2 = np.dot(z1, W2) + b2
    z2 = sigmoid(a2)
    a3 = np.dot(z2, W3) + b3
    y = identity_function(a3)
    return y
network = init_network()
x = np.array([1.0, 0.5])
y = forward(network, x)
print(y) # [ 0.31682708  0.69627909]

3.输出层的设计

1）概述

机器学习的问题大致可以分为分类问题和回归问题。分类问题是数据属于哪一个类别的问题。比如，区分图像中的人是男性还是女性的问题就是分类问题。而回归问题是根据某个输入预测一个（连续的）数值的问题。比如，根据一个人的图像预测这个人的体重的问题就是回归问题（类似“57.4kg”这样的预测）。

输出层的激活函数用σ()表示，不同于隐藏层的激活函数h()（σ读作sigma）。

输出层所用的激活函数，要根据求解问题的性质决定。一般地，回归问题可以使用恒等函数，二元分类问题可以使用sigmoid函数，多元分类问题可以使用softmax函数。

恒等函数会将输入按原样输出，对于输入的信息，不加以任何改动地直接输出。

2）softmax函数

分类问题中使用的softmax函数可以用下面的式表示。

softmax 函数的分子是输入信号 ak的指数函数，分母是所有输入信号的指数函数的和。输出层的各个神经元都受到所有输入信号的影响。

3）实现softmax函数时的注意事项

softmax函数的实现中要进行指数函数的运算，但是此时指数函数的值很容易变得非常大。结果可能会返回一个表示无穷大的inf。如果在这些超大值之间进行除法运算，结果会出现“不确定”的情况。这个问题称为溢出。

解决方式如下：

def softmax(a):
    #通过减去输入信号中的最大值
    c = np.max(a)
    exp_a = np.exp(a - c) # 溢出对策
    sum_exp_a = np.sum(exp_a)
    y = exp_a / sum_exp_a
    return y

4）softmax函数的特征

softmax函数的输出是0.0到1.0之间的实数。并且，softmax函数的输出值的总和是1。

一般而言，神经网络只把输出值最大的神经元所对应的类别作为识别结果。并且，即便使用softmax函数，输出值最大的神经元的位置也不会变。

**因此，神经网络在进行分类时，输出层的softmax函数可以省略。**在实际的问题中，由于指数函数的运算需要一定的计算机运算量，因此输出层的softmax函数
一般会被省略。

在输出层使用softmax函数是因为它和神经网络的学习有关系。

5）输出层的神经元数量

输出层的神经元数量需要根据待解决的问题来决定。对于分类问题，输出层的神经元数量一般设定为类别的数量。

4.手写数字识别

假设学习已经全部结束，我们使用学习到的参数，先实现神经网络的“推理处理”。这个推理处理也称为神经网络的前向传播（forward propagation）。

1）MNIST数据集

MNIST是机器学习领域最有名的数据集之一，被应用于从简单的实验到发表的论文研究等各种场合。

MNIST 数据集是由 0 到 9 的数字图像构成的（图 3-24）。训练图像有 6 万张，测试图像有1万张，这些图像可以用于学习和推理。MNIST数据集的一般使用方法是，先用训练图像进行学习，再用学习到的模型度量能在多大程度上对测试图像进行正确的分类。

显示图形代码

# coding: utf-8
import sys, os
sys.path.append(os.pardir)  # 为了导入父目录的文件而进行的设定
import numpy as np
from dataset.mnist import load_mnist
from PIL import Image


def img_show(img):
    pil_img = Image.fromarray(np.uint8(img))
    pil_img.show()

(x_train, t_train), (x_test, t_test) = load_mnist(flatten=True, normalize=False)
print(x_train.shape)
print(t_train.shape)
img = x_train[0]
label = t_train[0]
print(label)  # 5
print(img.shape)
print(img.shape)  # (784,)
img = img.reshape(28, 28)  # 把图像的形状变为原来的尺寸
print(img.shape)  # (28, 28)

img_show(img)

load_mnist 函数以“(训练图像,训练标签)，(测试图像，测试标签)”的形式返回读入的MNIST数据。此外，还可以像load_mnist(normalize=True, flatten=True, one_hot_label=False) 这 样，设 置 3 个 参 数。第 1 个 参 数normalize 设置是否将输入图像正规化为 0.0～1.0 的值。如果将该参数设置为False，则输入图像的像素会保持原来的0～255。第2个参数flatten设置是否展开输入图像（变成一维数组）。如果将该参数设置为False，则输入图像为1×28×28 的三维数组；若设置为 True，则输入图像会保存为由 784 个元素构成的一维数组。第3个参数one_hot_label设置是否将标签保存为one-hot 表示（one-hot representation）onehot 表示是仅正确解标签为 1，其余皆为0的数组，就像[0,0,1,0,0,0,0,0,0,0]这样。当one_hot_label为False时，只是像7、2这样简单保存正确解标签；one_hot_label为True时，标签则保存为one-hot表示。

2）实现

神经网络的输入层有784个神经元，输出层有10个神经元。输入层的784这个数字来源于图像大小的28×28 = 784，输出层的 10 这个数字来源于 10 类别分类（数
字0到9，共10类别）。此外，这个神经网络有2个隐藏层，第1个隐藏层有50 个神经元，第 2 个隐藏层有 100 个神经元。

# coding: utf-8
import sys, os
sys.path.append(os.pardir)  # 为了导入父目录的文件而进行的设定
import numpy as np
import pickle
from dataset.mnist import load_mnist
from common.functions import sigmoid, softmax

#读入写字数据集，进行了归一化处理的一维数组，保存了正确解的标签
def get_data():
    (x_train, t_train), (x_test, t_test) = load_mnist(normalize=True, flatten=True, one_hot_label=False)
    return x_test, t_test

#读入保存在 pickle 文件 sample_weight.pkl 中的学习到的权重参数.这个文件中以字典变量的形式保存了权重和偏置参数。
def init_network():
    with open("sample_weight.pkl", 'rb') as f:
        network = pickle.load(f)
    return network


def predict(network, x):
    W1, W2, W3 = network['W1'], network['W2'], network['W3']
    b1, b2, b3 = network['b1'], network['b2'], network['b3']

    a1 = np.dot(x, W1) + b1
    z1 = sigmoid(a1)
    a2 = np.dot(z1, W2) + b2
    z2 = sigmoid(a2)
    a3 = np.dot(z2, W3) + b3
    y = softmax(a3)

    return y


x, t = get_data()
network = init_network()
accuracy_cnt = 0
for i in range(len(x)):
    y = predict(network, x[i])
    p= np.argmax(y) # 获取概率最高的元素的索引
    if p == t[i]:
        accuracy_cnt += 1

print("Accuracy:" + str(float(accuracy_cnt) / len(x)))

将 normalize 设置成 True 后，函数内部会进行转换，将图像的各个像素值除以255，使得数据的值在0.0～1.0的范围内。像这样把数据限定到某个范围内的处理称为正规化（normalization）。此外，对神经网络的输入数据进行某种既定的转换称为预处理（pre-processing）

3）批处理

# coding: utf-8
import sys, os
sys.path.append(os.pardir)  # 为了导入父目录的文件而进行的设定
import numpy as np
import pickle
from dataset.mnist import load_mnist
from common.functions import sigmoid, softmax


def get_data():
    (x_train, t_train), (x_test, t_test) = load_mnist(normalize=True, flatten=True, one_hot_label=False)
    return x_test, t_test


def init_network():
    with open("sample_weight.pkl", 'rb') as f:
        network = pickle.load(f)
    return network


def predict(network, x):
    w1, w2, w3 = network['W1'], network['W2'], network['W3']
    b1, b2, b3 = network['b1'], network['b2'], network['b3']

    a1 = np.dot(x, w1) + b1
    z1 = sigmoid(a1)
    a2 = np.dot(z1, w2) + b2
    z2 = sigmoid(a2)
    a3 = np.dot(z2, w3) + b3
    y = softmax(a3)

    return y


x, t = get_data()
network = init_network()

batch_size = 100 # 批数量
accuracy_cnt = 0

#按照batch_size间隔，从0获取元素
for i in range(0, len(x), batch_size):
    x_batch = x[i:i+batch_size]
    y_batch = predict(network, x_batch)
    #按照1维取最大值，即按行取最大值
    p = np.argmax(y_batch, axis=1)
    accuracy_cnt += np.sum(p == t[i:i+batch_size])

print("Accuracy:" + str(float(accuracy_cnt) / len(x)))