记录一段帮朋友写的代码，使用牛顿-拉夫逊方法解方程

news2025/1/13 7:37:47

要求

已知公式：
$t=\frac{G+AB}{F}r+\frac{Br^2}{2F}+\frac{A^2B+GA}{F}\ln (r-A)+Const$
其中

t 的值为0-1000，每间隔25取一次值
A=2.12941E-10
B=0.637224706
F=1.2652E-08
G=4.28646E-06
Const=1.90196E-06

求r的值。

解法

要解这样的方程通常需要用到数值方法。对于这样的复杂方程，我们可以使用牛顿-拉夫逊法来求解。
牛顿-拉夫逊方法的基本思想是：从一个初始猜测值开始，使用函数的导数（或切线的斜率）来更新猜测值，逐步逼近函数的真实零点。
首先，我们需要定义方程和它的导数，然后根据初始值逐渐逼近正确的解。

/*使用牛顿-拉夫逊法来求解。
牛顿-拉夫逊方法的基本思想是：从一个初始猜测值开始，使用函数的导数（或切线的斜率）来更新猜测值，逐步逼近函数的真实零点。
首先，定义方程function和它的导数定义了方程和其导数derivative，然后根据初始值逐渐逼近正确的解。
newtonRaphson函数使用牛顿-拉夫逊方法迭代地逼近方程的根，从一个初始猜测值开始。
*/
#include <stdio.h>
#include <math.h>
// 设置阈值，用于决定函数的值何时足够接近于0
// 当函数的值的绝对值小于这个阈值时，可以认为我们找到了方程的一个解
#define TOLERANCE 1e-6
// 设置去迭代的最大次数，防止无限迭代
#define MAX_ITER 1000

double A = 2.12941E-10;
double B = 0.637224706;
double F = 1.2652E-08;
double G = 4.28646E-06;
double Const = 1.90196E-06;

// 定义函数
double function(double r, double t) {
    return (G + A * B) * r / F + B * r * r / (2 * F) + (A * A * B + G * A) * log(r - A) / F + Const - t;
}

// 定义函数对r的导数
double derivative(double r) {
    return (G + A * B) / F + B * r / F + (A * A * B + G * A) / (F * (r - A));
}

// 使用牛顿-拉夫逊法求解
double newtonRaphson(double t) {
    double r = 1.0; // 初始的猜测值
    for (int i = 0; i < MAX_ITER; i++) {
        double f = function(r, t);  // 函数在当前猜测值处的值
        double f_prime = derivative(r); // 函数在当前猜测值处的导数值（也就是切线的斜率）
        // f的绝对值小于阈值，返回r值
        if (fabs(f) < TOLERANCE)
            return r;

        r = r - f / f_prime;    // 牛顿-拉夫逊方法中的关键更新步骤，用于寻找函数的零点或根
    }
    // 超过迭代的最大次数，返回r值
    return r;
}

int main() {
    int i=1;
    for (double t = 25; t <= 1000; t += 25) {
        printf("第%d次迭代：",i++);
        double r = newtonRaphson(t);
        printf("t = %lf, r = %lf\n", t, r);
    }
    return 0;
}