宏观经济学讲义

10 短期经济波动：均衡国民收入决定理论(一)

文章目录

• 10 短期经济波动：均衡国民收入决定理论(一)
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  • 1 均衡国民收入决定
  • • 1.1 均衡国民收入决定的不同理论
    • 1.2 两部门经济：有效需求原理和框架
    • • 1.2.1 模型假设
      • 1.2.2 模型推导
      • 1.2.3 模型解释
      • 1.2.4 均衡条件
  • 2 两部门经济：家庭部门
  • • 2.1 消费函数
    • • 2.1.1 影响消费因素
      • 2.1.2 平均消费倾向
      • 2.1.3 边际储蓄倾向
      • 2.1.4 线性消费函数
    • 2.2 储蓄函数
    • 2.3 函数图像
  • 3 两部门经济：企业部门
  • • 3.1 资本边际效率
    • • 3.1.1 资本边际效率定义
      • 3.1.2 资本边际效率影响因素
      • 3.1.3 影响预期收益影响因素
      • 3.1.4 资本边际效率与利率
      • 3.1.5 托宾Q理论
  • 4 三部门经济
  • 5 四部门经济
  • 6 乘数效应
  • • 6.1 投资乘数
    • 6.2 政府乘数
    • • 6.2.1 政府购买支出乘数
      • 6.2.2 税收乘数
      • 6.2.3 转移支付乘数
      • 6.2.4 平衡预算乘数

1 均衡国民收入决定

国民收入恒等式：
$$Y=C+I+G+NX$$
是当年(一段时期内)经济系统运行后的GDP，可以分别统计出当年消费、投资、政府购买和净出口的数额，不是经济过程中的消费、投资、政府购买和净出口。

1.1 均衡国民收入决定的不同理论

理论	经济背景	结果	供求关系
供给决定论	生产力较低、商品供给少，需求是充分的	有什么商品消费什么商品，供给决定均衡国民收入	$S<<D$
需求决定论	生产力过剩、消费需求低，供给是充分的	商品堆积，有效需求不足，需求决定均衡国民收入	$S>>D$
供给需求决定论	供给需求大致相当	供给和需求共同决定均衡收入

1.2 两部门经济：有效需求原理和框架

1.2.1 模型假设

凯恩斯的经济理论以上个世纪20年代末30年代初的美国经济大萧条为背景，凯恩斯认为经济萧条的关键点在于有效需求不足。当总供给远远大于总需求时，供给处于充分状态，均衡国民收入取决于有效需求大小。在此背景下，称与总需求相等的收入(产出)称为均衡国民收入(产出)。同时，凯恩斯提出收入——支出模型，该模型有以下四个假设：

• 经济活动不存在政府、对外贸易。消费储蓄发生在家庭部门、投资生产发生在企业部门，投资是外生的。
• 不论需求量多少，社会都以不变价格提供供给量。
• 公司未分配利润为0、折旧为0，则$GDP=GNP=NI=PI$
• 只考虑短期内均衡国民收入决定。

第一个假设意味着，总需求由两部门决定：家庭支出的消费、企业支出的投资(暂时视为常数，即
$$Y=C+I$$
第二个假设意味着需求变化不会导致全社会价格水平提高或下降。想象一个市场中供给远大于需求，如果某个厂商提高产品价格，在购买需求不足的条件下，加价企业的产品更不可能销售出去；同样地，厂商也不可能降价销售，一旦某家厂商实施降价，该产品行业的其他企业也会纷纷效仿降价，企业利润空间迅速缩小，甚至为负。这一假设不仅适用于供给远大于需求的情景，也适合价格刚性或黏性的情景。

第三个假设意味着$GDP$、$GNP$、$NI$、$PI$没有什么区别。 因为不存在政府部门，也就不存在税收、政府购买支出等政策变量，加之公司未分配利润为0，则以上几个指标均可以等价。

第四个假设意味着凯恩斯相关模型适用于短期分析，不适合长期。因为长期的价格水平是具有弹性的，而非假设之二的不变或刚性、黏性。

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1.2.2 模型推导

为推导收入支出模型，需要理解两个核心概念：实际支出和 计划支出。

• 实际支出$Y$：家庭、企业真实支出于产品和服务上的数量，反映市场中实际总支出，也等于实际总收入、社会总产出AS。
• 计划支出$E$：家庭、企业想要支出产品和服务的数量，反映家庭、企业的需求支出，是计划性的，是社会总需求AD。

现实中计划支出和实际支出总是不相等的，要么实际支出大于计划支出，要么实际支出小于计划支出。当计划支出等于计划支出时，对应的实际总收入才是均衡国民收入。

假设整个社会生产了100亿单位产品数量(实际支出)，但家庭和企业想要购买的产品服务只有50亿单位产品数量(计划支出)，剩下的50亿单位产品数量是企业没有预想到的，计划之外的，称为非计划存货。如果社会只生产了25亿单位产品数量，那么非计划存货为负数。显然，只要实际支出与计划支出不相等，则非计划存货始终不等于0；反之，实际支出等于计划支出，非计划存货等于0，实际总产出等于计划需求，整个产品市场出现均衡，对应的收入就是均衡国民收入。

用$C$表示家庭部门想要支出的产品服务数量，即消费；$I$表示企业部门想要支出的产品服务数量，即投资，则计划支出
$$E=C(Y)+I$$
这里投资$I$是外生变量，暂时视为常数即可。消费$C$是关于实际总收入$Y$(简称收入)的函数，即随着收入增加，消费也会增加，但消费增加没有收入增加得多。也就是
$$\Delta Y>0,\Delta C>0，\Delta C/\Delta Y<1$$
如果收入决定消费(凯恩斯绝对消费理论)，即$C=C(Y)$，当收入$\Delta Y\to 0$，则$dC/dY<1$，这意味着消费函数$C(Y)$上任意一点斜率应该小于1。用横轴表示实际支出，纵轴表示计划支出，则

1.2.3 模型解释

• 当非计划存货$>0\iff Y>E\iff Y_1>Y^{\ast }\iff AS>AD$
• 当非计划存货$<0\iff Y<E\iff Y_2<Y^{\ast }\iff AS<AD$
• 当非计划存货$=0\iff Y=E\iff Y=Y^{\ast }\iff AS=AD$

显然，当非计划存货等于0时，实际收入才等于$Y^{\ast }$，也就是均衡国民收入。

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事实上，无论实际国民收入$Y$与均衡国民收入$Y^{\ast }$关系如何，总有收敛于均衡国民收入的趋势。

• $Y>Y^{\ast }\Rightarrow L\downarrow \Rightarrow Y=F(L)\downarrow$
• $Y<Y^{\ast }\Rightarrow L\uparrow \Rightarrow Y=F(L)\uparrow$

这里$L$表示整个社会的劳动生产要素，短期而言，劳动要素是可变的。

• 当总产出高于总需求时，非计划存货为正(供过于求)，企业只有减少生产才能使存货于短期内销售出去，于是就减少劳动要素的需求，进而失业率增加，实际收入下降。
• 当总产出低于总需求时，非计划存货为负(供不应求)，企业只有增加生产才能增加库存于短期弥补需求，于是就增加劳动要素的需求，进而失业率降低，实际收入提高。

可见，凯恩斯交叉模型本质上也是一种动态均衡模型。

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1.2.4 均衡条件

由于计划支出表示总需求，根据前文定义，均衡国民收入(产出)是指与总需求相等的收入(产出)，那么只需要令计划支出等于实际支出，对应的实际收入就是均衡国民收入。也就是解如下方程组
$$\{\begin{array}{l}Y=E\\ E=C(Y)+I\end{array}$$
联立得到
$$Y=C(Y)+I$$

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上述方法可以直接得到均衡国民收入这一结果，同时也可以使得到对应的均衡条件。由于GDP衡量的三种计算方法最终结果是等价的，即
$$总产出=总支出=总收入$$
上面的方法计算出来是名义变量，为了得到实际变量，上面三个变量除以价格水平$P$，于是得到
$$实际总产出=实际总收入=实际总支出$$
可见实际总支出等于实际总收入，而实际总收入又可以分解为消费和储蓄(想象你每个月收入2000元，每个月用于消费$C=1000$元，剩下的作为储蓄$S=1000$元)。因此，实际支出又可以分解为
$$Y=C+S$$
当实际支出等于计划支出时
$$E=C+I=Y=C+S\iff I=S$$
于是得到均衡条件：
$$I=S$$

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另一方面，根据国民收入恒等式
$$Y=C+I$$
将消费$C$移到左边，即$Y-C=I$，收入减去消费也得到储蓄$S$，于是也得到
$$I=S$$
但前者$I=S$表示均衡国民收入的条件，$I$是指计划投资，与实际总投资不相等。后者$I=S$由国民收入恒等式推导而来，是经济系统运行一段时间(如一年)后，对消费、投资的统计，进而得到对应的储蓄。其投资是整个社会在这一段时间里的总投资。

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2 两部门经济：家庭部门

家庭部门负责消费和储蓄，因此下文主要讲解消费函数和储蓄函数。

2.1 消费函数

2.1.1 影响消费因素

• 收入水平$Y$：收入$Y$越高，消费$C$越高。
• 物价水平$P$：物价水平$P$越高，消费$C$越低
• 利率水平$r$：利率水平影响消费者跨期消费决策。对于当前而言，利率越高，储蓄越高，消费越少。

2.1.2 平均消费倾向

凯恩斯认为收入是影响消费最重要的因素，将消费视为收入的函数
$$C=C(Y)$$
平均消费倾向是指消费支出$C$与收入水平$Y$的比值，用$APC$表示
$$APC=C/Y$$
由于消费可能大于收入、小于收入或等于收入，因此$APC>0$。

2.1.3 边际储蓄倾向

边际消费倾向是指消费支出变化量$\Delta C$与收入水平变化量$\Delta Y$的比值，用$MPC$表示
$$MPC=\Delta C/\Delta Y$$
当$\Delta Y\to 0$，$MPC=dC/dY$。

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随着人们收入增加，消费也会增加，但消费增加没有收入增加得多，也就前文所述
$$\Delta Y>0,\Delta C>0，\Delta C/\Delta Y<1$$
可见，$MPC\in [0,1]$。随着收入$Y$增加，每增加一单位收入而带来的消费增加也会减少，也就是$MPC$关于收入$Y$是递减函数，即
$$MP{C}^{\prime }(Y)=d^{2}C/d{Y}^2<0$$
从而消费函数是凹函数。这被称为边际消费倾向递减规律。

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2.1.4 线性消费函数

线性消费函数：为简单起见，假设消费函数为
$$C=\alpha +\beta Y$$
其中$\alpha$称为自发消费，也就是没有收入时的必要消费；$\beta Y$是收入增加导致的消费，称为引致消费；$\beta$称为边际消费倾向。不难得到$APC=\alpha /Y+\beta$，$MPC=\beta$。这里$MPC$为常数，不满足边际消费倾向递减规律。

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2.2 储蓄函数

储蓄：收入$Y$中未被消费$C$的部分。用$S$表示。显然
$$S=Y-C$$
由于消费和储蓄共同构成收入，消费是收入的函数，那么储蓄也是收入的函数
$$S=S(Y)$$
平均储蓄倾向是指储蓄$S$与收入水平$Y$的比值，用$APS$表示
$$APS=S/Y$$
边际储蓄倾向是指储蓄变化量$\Delta S$与收入水平变化量$\Delta Y$的比值，用$MPS$表示
$$MPC=\Delta C/\Delta Y$$
当$\Delta Y\to 0$，$MPC=dS/dY$。

如果消费函数为是线性的，根据定义$S=Y-C$得到储蓄函数为
$$S=-\alpha +(1-\beta )Y$$

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2.3 函数图像

将消费函数和储蓄函数画在同一坐标系中，横轴为收入，纵轴为消费或储蓄，如下图

• 当$Y=C$时，储蓄$S=0$，即收支平衡
• 当$Y<C$时，储蓄$S<0$，即超前消费
• 当$Y>C$时。储蓄$S>0$，即适度消费

不难证明以下结论：
$$\begin{gathered} MPC+MPS=1 \\ APC+APS=1 \end{gathered}$$

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3 两部门经济：企业部门

两部门中，企业主要从事生产和投资。宏观经济的投资不是金融领域的股票债券购买，股票债券购买仅是资产所有权转移。宏观经济学定义是对机器设备、厂房等购买，在未来能投入生产获取收益。

3.1 资本边际效率

3.1.1 资本边际效率定义

资本边际效率$MEC$是一种贴现率，这种贴现率正好使一项资本品在使用期内，各预期收益的现值之和等于这项资本的供给价格或者重置成本。设资本供给价格为$R_0$，未来各期预期收益为$R_i(i=1,2\dots t)$，令$r$为贴现率，第$t$期资本报废，残值为$J$。
$$R_0=\frac{R_1}{1+i}+\frac{R_2}{(1+i{)}^2}+\frac{R_3}{(1+i{)}^3}+\cdots +\frac{R_t}{(1+i{)}^t}++\frac{J}{(1+i{)}^t}$$
假设某企业为了投资某个项目，在当前买了价值100万的机器设备用于生产（这里100万就是该机器的市场供给价格）。年收益率为5%，则一年后该企业的本利和为$100\times (1+5\%)=105$。如果三年后该项目完成，则第三年后的本利和为$100\times (1+5\%{)}^3=115.7625$。令企业当前购买了价值$R_0$元(资本供给价格或重置资本)的资本用于项目投资，年收益率为$i$，$n$年后项目的本利和为$R_n$，则满足
$$R_0\times (1+i{)}^n=R_n$$
变形得到
$$R_0=\frac{R_n}{(1+i{)}^n}$$
$R_n$是未来的收益，称为终值；$R_0$为现在的本金，称为现值。$R_0\times (1+i{)}^n=R_n$表明$i$就是$R_0$的年收益率，反过来$i$也可以视为$R_n$的贴现率。

上述公式意味着当前$R_0$元与未来的$R_n$元的货币表现的价值是一样的。**如果要比较不同时点两种货币形式的价值，需要将这两种价值转化到同一时点进行比较，**这样才有意义。

例如，二十年前的一颗棒棒糖需要0.1元，现在的一颗棒棒糖需要1元，如果仅从形式进行判断，一定是1元大于0.1元。但是这两种货币衡量的价值在不同时点，且它们的购买力都只能购买到一颗棒棒糖，因此它们是相等的。

又或者某人在12:00吃10元的午饭可以吃饱，如果在14:00吃午饭，由于非常饥饿，需要吃12元才能吃饱，同样是吃饱，但由于不同时点原因，导致其付出代价是不一样的。如果他10:00吃午饭，那么他可能花8元就可以了，因为他不是特别饿。

那么如何将不同形式的货币价值转化到同一时点呢？

• 现值转化为终值，与终值进行比较。使用公式

$$R_0(1+i{)}^{t}vs{R}_t^{{}^{\prime }}$$

令现值的年收益率为$i$，在$t$年后为$R_0(1+i{)}^t$，与另一个$t$年后的价值$R_t^{{}^{\prime }}$比较

• 终值贴现为现值，与现值进行比较，使用公式

$$R_0^{{}^{\prime }}vs{R}_n/(1+i{)}^t$$

令终值的贴现率为$i$，$t$年后的价值贴现$t$年，转化为当前价值$R_n/(1+i{)}^t$，与另一个当前价值$R_0^{{}^{\prime }}$进行比较。

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企业在当年投资某个项目后，以后每年都可以得到相应的收益$R_i(i=1,2\dots n)$，我们将未来的收益$R_i$贴现到当前，贴现率为$i$，则

第一年收益的贴现为：$R_1/(1+i)$

第二年收益的贴现为：$R_2/(1+i{)}^2$

……

第$n$年收益的贴现为：$R_2/(1+i{)}^n$

第$n$年后购买的机器设备报废，报废价值为$J$，贴现为$J/(1+i{)}^n$。将上面所有贴现收益加总
$$\frac{R_1}{1+i}+\frac{R_2}{(1+i{)}^2}+\frac{R_3}{(1+i{)}^3}+\cdots +\frac{R_n}{(1+i{)}^n}++\frac{J}{(1+i{)}^n}$$
对于这一项目，当前价值$R_0$的机器可以在未来不同时期产生$R_i$的收益，反过来，未来不同收益$R_i$通过贴现后就相当于目前$R_0$的重置成本或资本供给价格，此时的$i$称为资本边际效率$MEC$。也就是
$$R_0=\frac{R_1}{1+MEC}+\frac{R_2}{(1+MEC{)}^2}+\frac{R_3}{(1+MEC{)}^3}+\cdots +\frac{R_n}{(1+MEC{)}^n}+\frac{J}{(1+MEC{)}^n}$$
如果资本供给价格$R_0$不变，$MEC$提高，则预期收益$R_i$也会相应提高。一个项目是否值得投资，一个重要决策因素是$MEC$是否足够高。

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3.1.2 资本边际效率影响因素

根据前文公式$R_0(1+MEC{)}^t=R_n$，解得资本边际效率
$$MEC=\sqrt[n]{R_n/R_0}-1$$
显然，影响资本边际效率的因素包括资本的市场供给价格和未来的预期收益$R_n$。

• 当资本市场供给价格$R_0$不变，预期收益$R_n$越高，资本边际效率$MEC$越高
• 当预期收益$R_n$不变，资本供给价格$R_0$越高，资本边际效率$MEC$越低。

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3.1.3 影响预期收益影响因素

由于$R_n$与$MEC$呈正相关，只要让$R_n$越大，越有可能投资这一项目，而影响$R_n$的因素包括

• 投资项目的需求预期，也就是投资产品在未来是否能销售出去。
• 投资项目的成本大小，如投资产品劳动生产成本过高，抑制$R_n$。
• 投资税抵免政策。如果政策是长期的，企业可能会考虑投资项目以抵税，扩大获利空间。
• 投资风险问题。高收益项目伴随高风险，投资需谨慎。
• 融资约束问题。企业需要向金融机构贷款投资，但是否能顺利贷款，不同类型企业差异很大。

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3.1.4 资本边际效率与利率

如果某个资本品的资本边际效率为$5\%$，企业是否考虑进行投资？答案是否定的。

如果市场利率为$5.1\%$，那么企业宁愿将这笔资金存在银行，也不会投资这一项目。

• 当$MEC>r$，即资本边际效率大于实际利率$r$，则企业投资该项目
• 当$MEC<r$，即资本边际效率小于r实际利率$r$，则企业不投资该项目。

因此，**如果资本边际效率不变，那么市场利率越低，则投资量增加。**基于此，得到投资$I$是关于实际利率$r$的函数
$$I=I(r)$$
显然$I^{\prime }(r)<0$，即投资是关于实际利率的递减函数，简单起见，令投资函数是线性的
$$I=e-dr$$
其中$e$称为自主投资，$d$是投资对利率的敏感程度。然而，预期收益是估计值，其中参杂了主观因素和未来不确定因素，对应的$MEC$的大小也带有主观性。

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3.1.5 托宾Q理论

前文说明，$MEC$和市场利率大小决定企业是否投资，但托宾认为，影响投资意愿需要基于企业市场价值和重建成本的大小关系，为此，托宾构建了一个$q$公式
$$q=\frac{企业股票市场价值}{企业重建成本}=\frac{股价\times 总股数}{企业重建成本}$$

• $q>1$则企业股价可能越高。重建这样一个企业的成本相对越低。企业可能更愿意投资这样类似的企业
• $q<1$则企业股价可能越低。购买这样一个企业的成本相对越低。企业可能更愿意直接购买这一企业。

总的来说，$q>1$且足够大，企业会选择投资构建这样的企业；反之不投资，而是直接购买。

然而，这一理论存在较大局限性：股票价格波动剧烈，股票市场价值是否能衡量企业真实价值受到质疑。

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4 三部门经济

仅考虑两部门经济是不够的，总需求$Y=C+I$，如果供给相对过剩，有效需求不足，仅靠家庭、企业的需求不足以填补需求缺口，需要政府加以干预。在经济萧条时期，政府购买$G$显得尤为重要。政府购买性支出包括两个方面：

• 政府消费性需求，用于维持正常运转的开支。
• 政府投资性需求，用于政府公共投资和专项投资。

在政府部门参与条件下，一些函数与两部门相比发生了变化。

😀三部门国民收入恒等式
$$Y=C+I+G$$
😁三部门消费函数
$$C(Y_d)=\alpha +\beta Y_d=\alpha +\beta (Y-T+T_r)$$
其中$Y_d=Y-T+T_r$ 称为可支配收入，它取决于政府税收$T$和转移支付$T_r$的大小。

😂三部门均衡国民收入
$$\{\begin{array}{l}Y=E\\ E=C(Y_d)+I+G\end{array}$$
于是得到$Y=C(Y_d)+I+G$。

😂均衡国民收入条件
$$Y=C+S+T=E=C+I+G$$
即
$$S+T=I+G$$

这一公式是求解三部门均衡收入的条件，类似于两部门均衡收入条件$S=I$。这里的实际支出等于实际收入$Y$，而实际收入$Y$又可以分解为消费$C$、储蓄$S$和税收$T$(也可以是净税收$T-T_r$，如果存在转移支付)。

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可见政府可以借助政府购买支出工具$G$、税收工具$T$、转移支付工具$T_r$以及相关经济政策来调节均衡国民收入。

• 政府购买$G$增加，使社会总支出增加，提高实际总收入。
• 税收$T$降低，可支配收入$Y_d$提高，消费$C$提高；企业税收降低，拉动投资，实际总支出、总收入提高。
• 转移支付$T_r$提高，可支配收入$Y_d$提高，消费$C$提高；同时企业税收降低，拉动投资，实际总支出、总收入提高。

这三种政策称为扩张性财政政策，以后会提及。

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5 四部门经济

消费、投资和政府购买组成国内三大需求，简称内需。与之相对应的是外需，即净出口。想象一个国家生产力大幅度提高，家庭、企业和政府购买短期内难以消费这些产品服务，于是存在较大的需求缺口。如果这个国家是开放型经济，那么这个国家将会把剩余的产品销售到国外，让国外部门弥补国内的需求缺口。

国外部门是否愿意购买本国产品，存在如下影响因素：

• 国外人均收入，收入越高，本国出口越多
• 国外居民消费倾向。有的国外居民喜欢其他国家的产品，有的喜欢自己国家的产品
• 国内国外相似产品的价格、数量和质量差异等
• 关税政策、汇率政策等
• 其他

出口是外国对本国的产品服务需求，可以用于弥补本国产品需求缺口；进口是本国对外国产品服务的需求，用于弥补外国产品需求。进口不仅不能弥补本国产品的需求缺口，还因收入剩余减少，对本国的需求产生抑制，因此用净出口$NX$，即出口减去进口才能衡量国外部门对本国需求缺口的弥补状况。
$$NX=X-M$$
其中$X$表示出口的产品服务价值，$M$表示进口产品服务价值。由于出口取决于国外部门居民、政府的情况，是不可控制因素，因此$NX$主要关注进口$M$的大小，因为它是可以由本国控制的。

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关于对外开放经济体，需要关注以下几个指标

• 国内进口倾向

$$国内进口倾向=M/Y$$

表示用于购买国外产品的支出占收入的比重，比重越大，国内产品进口倾向越大。

• 边际进口倾向

$$\text{边际进口倾向}=\Delta M/\Delta Y$$

表示增加一单位收入会增加多少单位的进口价值。比重越大，边际进口倾向越高。

• 对外经济活动规模

$$对外经济活动规模=(X+M)/Y$$

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6 乘数效应

乘数效应是指当影响均衡国民收入某一变量增加一单位后，均衡国民收入将成倍增加。

6.1 投资乘数

问题：假设消费函数为$C=1000+0.8Y$,自主性投资$I=600$,国民均衡收入是多少？如果自主性投资增加到700，均衡国民收入又是多少？投资增量与均衡国民收入增量相等吗？

为了求解均衡国民收入，令计划支出=实际支出，即
$$\{\begin{array}{l}Y=E\\ E=1000+0.8Y+600\end{array}$$
于是$Y=1600+0.8Y$，解得均衡国民收入为$Y=8000$，此时的投资为$I=600$。如果投资$I=700$，只需要解方程$Y=1700+0.8Y$，得到新的均衡国民收入为$Y=8500$。

由上面结果可知，投资增加$\Delta =100$，均衡国民收入却增加了$\Delta Y=500$，这是一个非常有趣的问题。显然，如果用国民收入恒等式$Y=C+I+G+NX$解释是行不通的，一方面如果投资增加100单位，那么总收入也只会增加100单位；另一方面，用这个公式理解本身是错误的，这个公式是国民收入恒等式，是经济系统在一段时间里运行后的统计结果，至于消费、投资、政府购买以及净出口是如何影响均衡国民收入这一过程是无法体现的；最后，我们要讨论的问题是投资增加对均衡国民收入影响，而非总支出或总收入的影响。

要理解上述问题，我们要回到求解均衡国民收入的方程，即
$$\{\begin{array}{l}Y=C(Y)+I\\ C(Y)=\alpha +\beta Y\end{array}$$
如果某企业投资增加$\Delta I=100$万，那么$A_0$企业的资本品(如机器设备等)将被卖出，企业$A_0$获得收入$100$万，但这100万不能全部归属这个企业，因为根据收入法，收入将被分解为各个要素所有者的要素回报
$$Y=工资(y_1)+利息(y_2)+租金(y_3)+利润(y_4)$$
即这100万将由劳动所有者、资本所有者、土地所有者和企业家等共同分配，假设他们的收入分别是$y_1,y_2,y_3,y_4$，随着收入$Y$增加，根据凯恩斯的消费理论，这些要素所有者的消费也会增加。假设他们的边际消费倾向为0.8，则当前这四个要素所有者的消费支出分别增加$0.8y_1,0.8y_2,0.8y_3,0.8y_4$，共增加$0.8(y_1+y_2+y_3+y_4)=0.8Y$的消费。

这些消费又会转化为某些企业的收入，而这些收入又根据要素贡献进行分配，又让另一些人获得相应收入，这些收入总和为$0.8Y$，根据消费函数，$0.8Y$的收入基于0.8的边际消费倾向转化为消费，整个社会的消费又增加$0.8^{2}Y$。

……

通过多次收入消费的相互转化，得到这样一个因果链：
$$I\uparrow \Rightarrow Y\uparrow \Rightarrow C\uparrow \Rightarrow Y\uparrow \Rightarrow C\uparrow \Rightarrow Y\dots$$
初始时期，投资增加$\Delta I=100$，均衡国民收入增加$\Delta Y_0=100$

第一轮时，均衡国民收入$\Delta Y_1=100$，消费增加$\Delta C_1=0.8\times 100$

第二轮时，均衡国民收入$\Delta Y_2=0.8\times 100$，消费增加$\Delta C_2=0.8^2\times 100$

第三轮时，均衡国民收入$\Delta Y_3=0.8^2\times 100$，消费增加$\Delta C_3=0.8^3\times 100$

……

第$t$轮时，均衡国民收入$\Delta Y_t=0.8^{t-1}\times 100$，消费增加$\Delta C_t=0.8^t\times 100$

故均衡国民收入为
$$\begin{array}{rl}\Delta Y& =\sum \Delta Y_i\\ & =100+0.8\times 100+0.8^2\times 100+\dots 0.8^{t-1}\times 100\\ & =100\times (1+0.8+0.8^2+\dots 0.8^{t-1})\\ & =100\times \frac{1-0.8^t}{1-0.8}\end{array}$$
当$t\to \infty$时，$\Delta Y=100\times \frac{1}{1-0.8}=500$。可见，当投资增加100万时，均衡国民收入将增加500万，而非仅仅100万投资本身。投资增加不仅直接导致均衡国民收入增加，还会通过消费函数，拉动消费间接使均衡国民收入增加，是动态的过程。这里的0.8是边际消费倾向，100是投资增量。用$k$表示均衡国民收入增量与投资增量之比，称为投资乘数，投资乘数公式为
$$k=\frac{\Delta Y}{\Delta I}=\frac{1}{1-\beta }$$
由于边际消费倾向$\beta \in (0,1)$，这表明，投资增加1单位，均衡国民收入增加$1/(1-\beta )>1$个单位。

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6.2 政府乘数

事实上，只要影响总需求的变量都会产生对应的乘数，因为总需求增加，也就是收入增加，都会促进消费增加和收入轮流增加，直至收敛。三部门中，政府变量包括政府购买支出、税收和转移支付。考虑三部门求解求解均衡国民收入条件，得到
$$Y=\alpha +\beta (Y-T+T_r)+G$$
解得均衡国民国民收入为
$$Y=\frac{\alpha +I+G-\beta T+\beta T_r}{1-\beta }$$

6.2.1 政府购买支出乘数

假如政府支出增加，那么会直接导致均衡国民收入增加，均衡国民收入增加又会导致消费增加，从而又导致均衡国民收入增加，也就是
$$G\uparrow \Rightarrow Y\uparrow \Rightarrow C\uparrow \Rightarrow Y\uparrow \Rightarrow C\uparrow \Rightarrow Y\dots$$
同样地也可以定义政府购买支出乘数$k_g$
$$k_g=\frac{\Delta Y}{\Delta G}$$
具体结果也可以根据前文投资乘数例子进行求解，但这里考虑两个变量的增量之比，当政府购买增加趋近无穷小时$\Delta G\to 0$，$k_g=dY/dG$。根据均衡国民收入等式，求导得
$$k_g=\frac{1}{1-\beta }$$
这也表明政府购买增加一单位，均衡国民收入增加$1/(1-\beta )>1$个单位。

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6.2.2 税收乘数

同理，也可以定义税收乘数，记作$k_T$，则
$$k_T=\frac{\Delta Y}{\Delta T}=\frac{-\beta }{1-\beta }<0$$
这说明税收增加一单位，均衡国民收入将减少。税收增加首先直接导致均衡国民收入减少，其次导致消费减少，进而引发新一轮均衡国民收入减少……

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6.2.3 转移支付乘数

定义转移支付乘数，记作$k_{T_r}$，则
$$k_{T_r}=\frac{\Delta Y}{\Delta T_r}=\frac{\beta }{1-\beta }$$
这说明转移支付增加一单位，均衡国民收入将增加。转移支付增加首先直接导致均衡国民收入增加，其次导致消费增加，进而引发新一轮均衡国民收入增加……

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6.2.4 平衡预算乘数

税收是政府财政收入，政府购买是政府财政支出，如果税收和支出同时增加相同数量单位，政府财政实现平衡，那么均衡国民收入是增加，还是减少，或是不变呢？

当政府购买和税收增加的数量相同时，均衡国民收入增量为
$$\Delta Y=k_g\Delta G+k_{T_r}\Delta T=\frac{\Delta G}{1-\beta }-\frac{\Delta T\beta }{1-\beta }$$
由于$\Delta G=\Delta T$，则$\Delta Y=\Delta T=\Delta G$。这说明如果政府实施平衡财政，那么均衡国民收入也会增加，增加的量即为政府购买增加的量，或政府增加税收的量。此时政府购买支出和税收乘数相等，均为1。
$$k_g=k_T=1$$

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参考文献：

1. 高鸿业,西方经济学(宏观部分第六版)〔M〕.北京∶中国人民大学出版社,2014
2. N.格里高利.曼昆，宏观经济学(第九版)[M].北京∶中国人民大学出版社,2016
3. 颜鹏飞，西方经济学下(第二版)[M].北京：高等教育出版社,2011