What does GP do?

• GP是一种回归方法，但也能够用来分类和聚类
• 均值表示数据最有可能出现的位置

多变量高斯分布

• $X\sim N(\mu ,\Sigma )$: 包含的信息有每个变量的均值和协方差矩阵
• 均值决定分布中心
• 协方差矩阵确定形状

Marginalization & Conditioning

• 高斯过程的基础：边缘分布和条件分布依然是高斯
  • 边缘分布：从联合概率分布分离出一个随机变量的概率分布
  • 条件分布：从两个变量的概率分布得到条件随机变量的概率分布

高斯过程

• 函数的离散化表示：
  • test point: 我们感兴趣预测的一系列离散的、具体的点
• 高斯过程是一个随机过程，是一个随机变量序列。假设这个序列的长度为$n$，则这些序列就构成一个$n$维高斯分布
• 高斯过程将训练点$Y$和测试点$X$放在一起建模为一个$n=|X|+|Y|$维的高斯分布
• 把这个过程看做一个贝叶斯推断问题：随着新信息的获取而更新假设

获取$n$维高斯分布的均值和协方差

• kernel: 一个用于决定协方差的函数，又称作covariance function $k(\cdot )$

• kernel输入为两个样本点，输出一个表示两个点的相似程度的标量值

  • 对每个两两组合获取这个similarity metrix，作为样本点间的协方差
  • 核函数的选择需要保证生成的矩阵满足协方差矩阵的性质

• 对$n$维高斯分布进行的每一次采样就是取到了一系列函数值

• 先验分布：

  • 在没有拿到任何数据时的分布称为先验分布$P_X$
  • 不同的核函数对应出不同的采样函数!
    

• 后验分布：

  • 后验分布是拿到训练数据$Y$后的分布$P_{X|Y}$
  • 首先构造一个$|X|+|Y|$维的联合概率分布，用核函数计算出协方差矩阵
  • 根据联合概率分布得到条件概率分布$P_{X|Y}$
  • 通过取条件分布，被预测函数被强行限制穿过样本

代码实现

步骤

1. 核函数选择：表述数据点之间的相似度
2. 核参数优化：（可省略）自动进行参数调优
3. 预测：利用训练数据和核参数，通过GP的闭合形式解或者通过采样方法来预测新的数据点

参数含义

在高斯过程回归中，三个主要的参数具有以下含义：

1. 长度尺度（$l$）：长度尺度决定了不同输入点之间的相似度衰减的速度。较大的长度尺度意味着输入点的相似度衰减得较慢，产生更平滑的函数；而较小的长度尺度会产生更为波动的函数。

2. 输出尺度（$sf$）：输出尺度控制了函数值的变化范围。较大的输出尺度将导致函数值变化的范围更大。

3. 噪声标准差（$sn$）：噪声标准差参数表示观测噪声的大小。它帮助模型了解观测数据中的噪声程度，从而在预测时考虑到这种不确定性。

Matlab实现

% 生成示例数据
x = linspace(-5, 5, 20)'; % 输入数据
y = sin(x) + 0.1*randn(size(x)); % 输出数据

% 高斯过程参数
ell = 1; % 长度尺度：越大函数越平滑
sf = 1; % 输出尺度：越大函数值变化越大
sn = 0.1; % 噪声标准差：增加泛化性

% 计算核矩阵

K = sf^2 * exp(-0.5/ell^2 * (x - x').^2);
Ks = sf^2 * exp(-0.5/ell^2 * (x - x(end)).^2);
Kss = sf^2;

% 预测新数据点

xs = linspace(-6, 6, 100)';
K_star = sf^2 * exp(-0.5/ell^2 * (xs - x').^2);
K_star_star = sf^2 * exp(-0.5/ell^2 * (xs - xs').^2);
mu = K_star / (K + sn^2*eye(size(x,1))) * y;
cov = K_star_star - K_star / (K + sn^2*eye(size(x,1))) * K_star';

% 绘制结果

figure;
scatter(x, y); % 绘制原始数据
hold on;
plot(xs, mu, 'r'); % 绘制高斯过程拟合
legend('Original Data', 'Gaussian Process Fit');

Result: