二维变换

概念

应用于对象几何描述并改变其位置、方向或者大小的变换叫做几何变换，有时候也被叫做建模变换。而本文仅讨论平面中的几何变换，即二维变换。

矩阵表示和齐次坐标

对于普通的2x2矩阵，我们总是要将平移项与其它变换对应的矩阵写成不同规格，为了统一形式且方便运算，我们需要将2x2的矩阵扩展到3x3。此时，二为坐标必须用三元向量来表示。标准实现技术是将二维坐标$(x,y)$扩充到三维$(x_h,y_h,h)$，这称为齐次坐标，这个过程就被叫做齐次化。

对于每一个维度有
$$x=\frac{x_h}{h},y=\frac{y_h}{h}$$
其中非零值$h$被称为齐次参数。

显然对于齐次参数，可以有无数个非零值，同样也意味着有无数个等价的齐次表达式。既然如此，为了方便计算，不妨令$h=1$。

平移变换

对于平移变换，我们可有参数方程
$$\{\begin{array}{l}{x}^{{}^{\prime }}=x+\delta x\\ y^{{}^{\prime }}=y+\delta y\end{array}$$
我们将方程组转换为矩阵的形式
$$\left[\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& y^{\prime }& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}x& y& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ \delta x& \delta y& 1\end{array}\right]$$

旋转变换

对于一个复杂的图形的旋转，我们可以看做是多个点在同时旋转。因此只需要研究出一个点的旋转变换方法就可以了。

我们不妨令点为平面任意一点，其绕原点进行旋转变换，该点的运动轨迹一定是一个以该点到原点连线为半径的圆弧。那么问题就简单了，对于旋转任意角度，我们只需要用圆的参数方程就能搞定，
$$\{\begin{array}{l}x=\cos \theta \\ y=\sin \theta \end{array}$$
对于我们假设旋转了$\alpha$的弧度（逆时针为正方向），则有
$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=\cos (\theta +\alpha )=\cos \theta \cos \alpha -\sin \theta \sin \alpha =x\cos \alpha -y\sin \alpha \\ y^{\prime }=\sin (\theta +\alpha )=\sin \theta \cos \alpha +\cos \theta \sin \alpha =x\sin \alpha +y\cos \alpha \end{array}$$
很显然对应矩阵形式为
$$\left[\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& y^{\prime }& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}x& y& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}\cos \alpha & \sin \alpha & 0\\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
那么问题来了，如果所绕的旋转点不是原点怎么办呢？

前面已经讲过平移变换了，只需要平移坐标系原点至该点（移轴），再进行旋转，最后平移回去就行了。

不妨令被围绕点坐标为$P(x_1,y_1)$，则该流程的矩阵运算如下：
$$\left[\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& y^{\prime }& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}x& y& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -x_1& -y_1& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}\cos \alpha & \sin \alpha & 0\\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ x_1& y_1& 1\end{array}\right]$$
如果你对平移坐标系难以理解，不妨将坐标轴与平面想象成两个分离的东西。以坐标轴往右移动为例，则对于平面上的点来讲，就相当于坐标轴不动点向左平移。（平移坐标系只是移动的轴，不带平面上其他点，否则你会得到相反的结果！）

缩放变换

首先给出参数方程
$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=s_{x}x\\ y^{\prime }=s_{y}y\end{array}$$
对应矩阵运算为
$$\left[\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& y^{\prime }& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}x& y& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}{s}_x& 0& 0\\ 0& s_y& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

对称变换

关于对称变换可以是轴对称或者点对称。

我们先来看关于y轴对称：只需要纵坐标不变，横坐标取相反数即可。

矩阵运算如下
$$\left[\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& y^{\prime }& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}x& y& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
同理可得关于y轴对称矩阵运算
$$\left[\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& y^{\prime }& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}x& y& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
那么对于原点对称就有
$$\left[\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& y^{\prime }& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}x& y& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

如果是对于平面中任意一点$P(x_1,y_1)$对称，则平移坐标系原点至该点，然后进行关于原点的对称，再平移回去就行。
$$\left[\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& y^{\prime }& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}x& y& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -x_1& -y_1& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ x_1& y_1& 1\end{array}\right]$$
如果是关于平面内任意一条直线对称，那比较麻烦了，你需要先平移坐标系到直线的一点，并旋转坐标系使x轴与直线重合，然后进行关于x轴的对称变换，再旋转回去，然后再平移回去。

特别地，如果直线斜率不存在，平移后直线与y轴重合，那么直接进行关于y轴对称然后再平移回去即可。

注意该过程的顺序，因为矩阵并不满足交换律！

这里实际上是有两个大坑的，我们不妨假设直线经过的两点分别为
$$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$$
不失一般性，我们令
$$x_1<=x_2$$
我们在上面已经说过直线斜率不存在的情况了，这里仅讨论直线斜率存在的情况。直线斜率为
$$k=\frac{\delta x}{\delta y}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$
我们想要得到直线与x轴的夹角，可以利用反正切函数
$$\theta =\arctan k$$
但是事实就是如此吗？注意反正切函数的取值范围为$(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$，而直线倾斜角范围是$[0,\pi ]$，即使挖去了$\frac{\pi }{2}$这个点（因为我们不讨论这种情况），范围仍不一致！

我们记倾斜角为$\alpha$，则有
$$\alpha =\{\begin{array}{ll}\theta ,& 0\le \theta <\frac{\pi }{2}\\ \pi +\theta ,& \theta <0\end{array}$$
现在开始进入第二个坑了，我们进行旋转倾斜角的时候，是顺时针还是逆时针？

我们不妨站在坐标系的角度来看，逆时针旋转倾斜角的角度，就相当于顺时针旋转图形这个角度。

也就是说，我们在进行第一次旋转变换时输入的角度参数应该为$-\alpha$

综上所述，矩阵运算为
$$\left[\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& y^{\prime }& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}x& y& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -x_1& -y_1& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}\cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}\cos \alpha & \sin \alpha & 0\\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ x_1& y_1& 1\end{array}\right]$$

错切变换

错切变换实际上是物体在投影平面上非垂直投影的结果。一般为水平错切和垂直错切，也可以同时对两个方向进行错切。

我们先来看看沿y轴方向的错切

显然有方程
$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x\\ y^{\prime }=y+x\tan \theta \end{array}$$
有矩阵运算
$$\left[\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& y^{\prime }& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}x& y& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& \tan \theta & 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
同理可得沿着x方向的错切矩阵运算
$$\left[\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& y^{\prime }& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}x& y& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ \tan \theta & 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
同时沿着x方向和y方向的错切
$$\left[\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& y^{\prime }& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}x& y& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& \tan \alpha & 0\\ \tan \theta & 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\alpha ,\theta \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$$

刚体变换

如果一个矩阵仅包含平移参数和旋转参数，那么它就是一个刚体变换矩阵
$$
\begin{bmatrix}
x’& y’& 1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
x& y& 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
r_{xx}& r_{yx}& 0\
r_{xy}& r_{yy}& 0\
tr_{x}& tr_{y}& 1
\end{bmatrix}
$$

对于刚体变换左上角的2x2矩阵满足正交矩阵的特性。也就是说对于两个列向量${\left[\begin{array}{cc}{r}_{xx}& r_{xy}\end{array}\right]}^T$和${\left[\begin{array}{cc}{r}_{yx}& r_{yy}\end{array}\right]}^T$（或者两个行向量）形成单位向量的正交组，这样的向量也称为正交向量组。

对于每个向量具有单位长度，并且数量积为0：
$$\begin{gathered} r_{xx}^2+r_{xy}^2=r_{yx}^2+r_{yy}^2=1 \\ {r}_{xx}{r}_{yx}+r_{xy}{r}_{yy}=0 \end{gathered}$$
如果这些向量通过旋转矩阵进行变换，则可得出x方向和y方向的单位向量
$$\left[\begin{array}{ccc}{r}_{xx}& r_{xy}& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}{r}_{xx}& r_{yx}& 0\\ r_{xy}& r_{yy}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{ccc}{r}_{yx}& r_{yy}& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}{r}_{xx}& r_{yx}& 0\\ r_{xy}& r_{yy}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 1\end{array}\right]$$

代码

对于二维变换的代码相对来讲较麻烦一些，我不太喜欢OpenGL所带的矩阵运算操作，因此我自己写了一套简单的矩阵模版类。由于代码相对较长，我这里仅放出这几个变换的代码片段。

class Polygon
{
public:
    Transform::Matrix<GLdouble> *vex;

    Polygon(Pts vex)
    {
        this->vex = new Transform::Matrix<GLdouble>(vex.size(), 3, {{}}, 0);
        for (int i = 0; i < vex.size(); i++)
        {
            (*this->vex)[i][0] = vex[i].x;
            (*this->vex)[i][1] = vex[i].y;
            (*this->vex)[i][2] = 1;
        }
    }
    ~Polygon()
    {
        delete vex;
    }

    Polygon *Translate(const Point &end)
    {
        vector<vector<GLdouble>> temp{{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {end.x, end.y, 1}};
        Transform::Matrix<GLdouble> t(3, 3, temp);
        (*vex) = (*vex) * t;
        return this;
    }

    Polygon *Draw()
    {
        // cout << "Start" << endl;
        glBegin(GL_POLYGON);
        for (GLint i = 0; i < vex->CountRow(); i++)
        {
            // cout << i << ": " << (*vex)[i][0] << " " << (*vex)[i][1] << endl;
            glVertex2d((*vex)[i][0], (*vex)[i][1]);
        }
        glEnd();

        return this;
    }

    Polygon *Rotate(Point p, GLdouble radian)
    {
        Transform::Matrix<GLdouble> t1(3, 3, {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {-p.x, -p.y, 1}});
        Transform::Matrix<GLdouble> t2(3, 3, {{cos(radian), sin(radian), 0}, {-sin(radian), cos(radian), 0}, {0, 0, 1}});

        Transform::Matrix<GLdouble> t3(3, 3, {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {p.x, p.y, 1}});

        (*vex) = (*vex) * t1 * t2 * t3;
        return this;
    }

    Polygon *Scale(GLdouble x, GLdouble y)
    {
        if (x <= 0 || y <= 0)
        {
            cout << "WARNING: Invalid parameters" << endl;
            return this;
        }

        Transform::Matrix<GLdouble> t(3, 3, {
                                                {x, 0, 0},
                                                {0, y, 0},
                                                {0, 0, 1},
                                            });

        (*vex) = (*vex) * t;

        return this;
    }

    Polygon *PointReflect(const Point &p)
    {
        Transform::Matrix<GLdouble> t1(3, 3, {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {-p.x, -p.y, 1}});
        Transform::Matrix<GLdouble> t2(3, 3, {
                                                 {-1, 0, 0},
                                                 {0, -1, 0},
                                                 {0, 0, 1},
                                             });
        Transform::Matrix<GLdouble> t3(3, 3, {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {p.x, p.y, 1}});

        *vex = (*vex) * t1 * t2 * t3;
        return this;
    }

    Polygon *LineReflect(const Point &start, const Point &end, bool showAxis = false)
    {
        GLdouble x1 = start.x, x2 = end.x, y1 = start.y, y2 = end.y;
        if (x1 > x2)
            swap(x1, x2), swap(y1, y2);

        if (showAxis)
        {
            glBegin(GL_LINES);
            glVertex2d(x1, y1);
            glVertex2d(x2, y2);
            glEnd();
        }

        this->Translate({-x1, -y1});
        GLdouble dy = y2 - y1;
        GLdouble dx = x2 - x1;
        if (dx == 0)
        {
            Transform::Matrix<GLdouble> t(3, 3, {{-1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}});

            *vex = (*vex) * t;
            this->Translate({x1, y1});
            return this;
        }

        GLdouble rad = atan(dy / dx);
        if (rad < 0)
            rad = 4 * atan(1) + rad;

        this->Rotate({0, 0}, -rad);
        Transform::Matrix<GLdouble> t1(3, 3, {{1, 0, 0}, {0, -1, 0}, {0, 0, 1}});
        *vex = (*vex) * t1;

        this->Rotate({0, 0}, rad);
        this->Translate({x1, y1});

        return this;
    }

    Polygon *Shear(const Point &sh)
    {
        Transform::Matrix<GLdouble> t1(3, 3, {{1, sh.y, 0}, {sh.x, 1, 0}, {0, 0, 1}});

        *vex = (*vex) * t1;
        return this;
    }
};

完整代码请参考我的Github仓库: 2D变换-Github