文章目录
- 一、引言
- 1.1 插值法引入
- 1.2 常用插值法
- 1.3 插值法定义
- 二、插值法研究的问题
- 2.1 插值多项式存在的唯一性
- 2.2 如何构造n次多项式
- 2.2.1 待定系数法
- 2.2.2 拉格朗日插值法
- 2.2.2.1 拉格朗日多项式
- 2.2.2.2 拉格朗日插值余项
- 2.2.2.3 例题
- 2.2.2.4 拉格朗日插值法的问题
- 2.2.3 牛顿插值法
- 2.2.3.1 牛顿插值思想
- 2.2.3.2 差商的定义
- 2.2.3.3 差商的性质
- 2.2.3.4 差商表
- 2.2.3.5 牛顿插值公式
- 2.2.3.6 牛顿插值余项
- 2.2.3.7 等距节点公式
- 2.2.3.8 例题
学习视频:《数值分析》| 华科 | 研究生基础课
一、引言
1.1 插值法引入
许多实际问题都用函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 来表示某种内在规律的数量关系,其中相当一部分函数是通过实验或计算得到的,并且只是 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上一系列点 x i x_i xi 的函数值 { f ( x i ) ∣ i = 0 , 1 , . . . , n } \{f(x_i)\ |\ i=0,1,...,n\} {f(xi) ∣ i=0,1,...,n},这只是一张函数表。
有的问题虽然也有解析表达式,但由于计算复杂,使用不方便,通常也要构造一个函数表,如三角函数表、对数表、立方根表、平方根表等。
然而,为了研究函数的变化规律,往往需要知道不在函数表上的函数值,因此,我们希望根据给定的函数表做一个既可以反映函数 f ( x ) f(x) f(x) 的特性,又便于计算的简单函数 p ( x ) p(x) p(x),用 p ( x ) p(x) p(x) 近似 f ( x ) f(x) f(x)。插值法就是根据函数表寻找简单函数 p ( x ) p(x) p(x) 的方法之一。
寻找简单函数的问题又被称为函数逼近问题,下面给出了一个函数逼近问题的示例:
那么,什么样的函数是简单函数呢?
通常,我们用代数多项式或分段代数多项式作为简单函数 p ( x ) p(x) p(x),并使得 p ( x i ) = f ( x i ) p(x_i)=f(x_i) p(xi)=f(xi) 对所有的 x i , i = 0 , 1 , . . . , n x_i,i=0,1,...,n xi,i=0,1,...,n 成立。
1.2 常用插值法
- 多项式插值: p ( x ) p(x) p(x) 为多项式函数(最常用)
- 分段插值: p ( x ) p(x) p(x) 为分段多项式函数
- 三角插值: p ( x ) p(x) p(x) 为三角函数
1.3 插值法定义
二、插值法研究的问题
- 满足插值条件的 p ( x ) p(x) p(x) 是否存在且唯一?
- 如满足插值条件的 p ( x ) p(x) p(x) 存在,如何构造 p ( x ) p(x) p(x)?
- 如何估计用 p ( x ) p(x) p(x) 近似替代 f ( x ) f(x) f(x) 产生的误差?
2.1 插值多项式存在的唯一性
因此,通过上述的证明,可以得到如下定理:
2.2 如何构造n次多项式
2.2.1 待定系数法
下面还有一种更加简洁的解法:
2.2.2 拉格朗日插值法
2.2.2.1 拉格朗日多项式
前面介绍的待定系数法中,使用的基函数是 1 , x , x 2 , . . . , x n 1,x,x^2,...,x^n 1,x,x2,...,xn,这样的基函数过于简单,导致求解系数时较为麻烦。因此,有了下面将要介绍的拉格朗日插值法,它使用了更为复杂的拉格朗日基函数。
考虑 n = 1 n=1 n=1 的特殊情况:
由上可知:
l 0 ( x 0 ) = 1 , l 0 ( x 1 ) = 0 , l 1 ( x 0 ) = 0 , l 1 ( x 1 ) = 1. l_0(x_0)=1,l_0(x_1)=0, \\ l_1(x_0)=0,l_1(x_1)=1. l0(x0)=1,l0(x1)=0,l1(x0)=0,l1(x1)=1.
可以给出如下的克罗内克Delta函数:
δ i j = { 1 , i = j 0 , i ≠ j \delta_{ij}=\begin{cases} 1 , i=j \\ 0 , i \neq j \end{cases} δij={1,i=j0,i=j
且满足条件 l i ( x j ) = δ i j l_i(x_j)=\delta_{ij} li(xj)=δij
更一般地,下面我们进一步讨论 n ≥ 1 n\ge1 n≥1 的情况:
从拉格朗日基函数公式我们可以看出,它仅仅与节点 x x x 有关,而与真实的函数形式 f ( x ) f(x) f(x) 无关,这意味着给定不同的函数和相同的插值节点,求出来的拉格朗日基函数是一样的。
另外,容易得到 ∑ i l i ( x ) = 1 \sum_{i}{l_i(x)=1} ∑ili(x)=1(特别地, f ( x ) = 1 f(x)=1 f(x)=1)
2.2.2.2 拉格朗日插值余项
假设节点 x i ∈ [ a , b ] , i = 0 , 1 , . . . , n x_i\in[a,b],i=0,1,...,n xi∈[a,b],i=0,1,...,n,且 f ( x ) f(x) f(x) 满足条件 f ( x ) ∈ C n [ a , b ] f(x)\in C^n[a,b] f(x)∈Cn[a,b], f ( n + 1 ) ( x ) f^{(n+1)}(x) f(n+1)(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 内存在,考虑截断误差 R n ( x ) = L n ( x ) − f ( x ) R_n(x)=L_n(x) - f(x) Rn(x)=Ln(x)−f(x)
由插值条件可知, R n ( x ) R_n(x) Rn(x) 至少存在 n + 1 n+1 n+1 个零点(因为在每个插值点处, R n R_n Rn 必然为零),因此,可以将 R n ( x ) R_n(x) Rn(x) 表示为:
R n ( x ) = K ( x ) ∏ i = 0 n ( x − x i ) R_n(x)=K(x)\prod_{i=0}^{n}{(x-x_i)} Rn(x)=K(x)i=0∏n(x−xi)
其中, K ( x ) K(x) K(x) 是一个待确定的函数。
考虑任意一个非插值节点
x
≠
x
i
(
i
=
0
,
1
,
.
.
.
,
n
)
x\neq x_i(i=0,1,...,n)
x=xi(i=0,1,...,n),设辅助函数:
g
(
t
)
=
R
n
(
t
)
−
K
(
x
)
∏
i
=
0
n
(
t
−
x
i
)
g(t)=R_n(t)-K(x)\prod_{i=0}^{n}{(t-x_i)}
g(t)=Rn(t)−K(x)i=0∏n(t−xi)
容易得到, g ( t ) g(t) g(t) 至少有 n + 2 n+2 n+2 个零点( x x x 和 x 0 , x 1 , . . . , x n x_0,x_1,...,x_n x0,x1,...,xn)
根据罗尔定理的推广可得,在区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 内至少存在一点
ξ
x
\xi_x
ξx ,使得辅助函数的
n
+
1
n+1
n+1 阶导函数为零,即
g
(
n
+
1
)
(
ξ
x
)
=
0
g^{(n+1)}(\xi_x)=0
g(n+1)(ξx)=0,从而可以推导出:
R
n
(
n
+
1
)
(
ξ
x
)
−
K
(
x
)
(
n
+
1
)
!
=
0
R_n^{(n+1)}(\xi_x)-K(x)(n+1)!=0
Rn(n+1)(ξx)−K(x)(n+1)!=0
从而有:
f ( n + 1 ) ( ξ x ) − L n ( n + 1 ) ( ξ x ) − K ( x ) ( n + 1 ) ! = 0 f^{(n+1)}(\xi_x)-L_n^{(n+1)}(\xi_x)-K(x)(n+1)!=0 f(n+1)(ξx)−Ln(n+1)(ξx)−K(x)(n+1)!=0
由于 L n L_n Ln 是 n n n 次多项式,因此, L n ( n + 1 ) ( ξ x ) = 0 L_n^{(n+1)}(\xi_x)=0 Ln(n+1)(ξx)=0,所以有:
f ( n + 1 ) ( ξ x ) − K ( x ) ( n + 1 ) ! = 0 f^{(n+1)}(\xi_x)-K(x)(n+1)!=0 f(n+1)(ξx)−K(x)(n+1)!=0
从而推导出: K ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ x ) ( n + 1 ) ! K(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi_x)}{(n+1)!} K(x)=(n+1)!f(n+1)(ξx)
将 K ( x ) K(x) K(x) 代回得:
R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ x ) ( n + 1 ) ! ∏ i = 0 n ( x − x i ) R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi_x)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^n{(x-x_i)} Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξx)i=0∏n(x−xi)
综上所述,我们可以得到如下的特殊情况:
另外,需要注意的是:
其中,第二点的意思是,如果原函数 f ( x ) f(x) f(x) 的阶数等于 n n n,那么当使用 m > n m>n m>n 个插值节点求出的拉格朗日插值多项式是精确的。
2.2.2.3 例题
例题1:
例题2:
从这个例题,可以发现,次数高的插值多项式误差更小。但绝对不是次数越高越好哦(次数过高会出现龙格现象)!
2.2.2.4 拉格朗日插值法的问题
拉格朗日插值法虽然简单易用,但是如果要增加或减少节点时,全部的基函数 l i ( x ) l_i(x) li(x) 都要重新计算,不太方便。
那么如何解决这个问题呢?
其实,上面的思想就是牛顿插值法的思想。本博客将在下面进行介绍。
2.2.3 牛顿插值法
2.2.3.1 牛顿插值思想
2.2.3.2 差商的定义
在介绍牛顿插值公式之前,我们需要介绍**差商(均差)**的定义:
首先给出一阶差商的定义式:
然后基于一阶差商,给出二阶差商的定义式(其实就是一阶差商的一阶差商):
最后,写出 k + 1 k+1 k+1 阶差商的定义式:
需要注意的是, k k k 阶差商必须由 k + 1 k+1 k+1 个节点构成, k k k 个节点是构造不出 k k k 阶差商的。
为了统一起见,补充定义函数 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0) 为零阶差商,差商的值与 x i x_i xi 的顺序无关。
2.2.3.3 差商的性质
定义 ω \omega ω 如下:
然后,可以给出差商的4点性质:
2.2.3.4 差商表
差商表方便在编程的时候计算不同阶数的差商。
有了差商表,我们可以很容易通过递推的方式计算差商:
2.2.3.5 牛顿插值公式
牛顿插值是通过选取特殊的基函数来实现的,这时,取
φ 0 ( x ) = 1 φ i + 1 ( x ) = ( x − x i ) φ i ( x ) i = 0 , 1 , . . . , n − 1 \varphi_0(x)=1\\ \varphi_{i+1}(x)=(x-x_i)\varphi_i(x) \quad i=0,1,...,n-1 φ0(x)=1φi+1(x)=(x−xi)φi(x)i=0,1,...,n−1
作为牛顿插值的以 x 0 , x 1 , . . . , x n x_0,x_1,...,x_n x0,x1,...,xn 为节点的基函数,而次数不超过 n n n 的多项式 N n ( x ) N_n(x) Nn(x) 可表示为:
N n ( x ) = c 0 + c 1 ( x − x 0 ) + c 2 ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) + . . . + c n ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) . . . ( x − x n − 1 ) N_n(x)=c_0+c_1(x-x_0)+c_2(x-x_0)(x-x_1)+...+c_n(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{n-1}) Nn(x)=c0+c1(x−x0)+c2(x−x0)(x−x1)+...+cn(x−x0)(x−x1)...(x−xn−1)
其中, c 0 , c 1 , . . . , c n c_0,c_1,...,c_n c0,c1,...,cn 是待定系数,由插值条件决定。
带入插值条件很容易计算得:
根据上述结果,运用数学归纳法可以求得:
c k = f [ x 0 , x 1 , . . . , x k ] c_k=f[x_0,x_1,...,x_k] ck=f[x0,x1,...,xk]
因此就得到下面的满足插值条件的 n n n 次牛顿插值多项式:
2.2.3.6 牛顿插值余项
2.2.3.7 等距节点公式
当节点等距分布时: x i = x 0 + i h ( i = 0 , 1 , . . . , n ) x_i=x_0+ih \quad (i=0,1,...,n) xi=x0+ih(i=0,1,...,n),利用差分,减少差商的除法运算次数,提高效率,下面是关于差分的定义
然后是一些关于差分的性质:
然后介绍前插和后插公式:
当 x x x 靠近 x 0 x_0 x0 时用前插公式,否则用后插公式
使用牛顿前插或者后插公式,先构造差分表如下:
2.2.3.8 例题
例题1:
例题2: