数据结构-树的概念结构及存储

news2024/12/24 8:39:31

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目录

一、树的基本概念及结构

1·树的概念

2·树的存储

二、二叉树的概念及结构

1·二叉树的概念

2.特殊的二叉树

三、二叉树顺序结构

四、二叉树链式结构
- 二叉结构
- 三叉结构

一、树的基本概念及结构

1·树的概念

·树是一种非线性的数据结构，它是由n (n>=0) 个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
·有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
·除根结点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、...... Tm，其中每一个集合Ti(1<=i<=0m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
· 因此，树是递归定义的。

结点的度: 一个结点含有的子树的个数称为该结点的度; 如上图: A的度为6

叶结点或终端结点: 度为0的结点称为叶结点; 如上图: B、C、H、l...等结点为叶结点

非终端结点或分支结点: 度不为0的结点; 如上图: D、E、F、G...等结点为分支结点

双亲结点或父结点: 若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点，如上图: A是B的父结点

孩子结点或子结点: 一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点; 如上图: B是A的孩子结点

兄弟结点: 具有相同父结点的结点互称为兄弟结点; 如上图: B、C是兄弟结点

树的度:一棵树中，最大的结点的度称为树的度;如上图: 树的度为6
结点的层次: 从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推;

树的高度或深度: 树中结点的最大层次，如上图: 树的高度为4

堂兄弟结点: 双亲在同一层的结点互为堂兄弟;如上图: H、I互为兄弟结点

结点的祖先: 从根到该结点所经分支上的所有结点;如上图: A是所有结点的祖先

子孙: 以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图: 所有结点都是A的子孙

子树是不相交的;

除了根结点外，每个结点有且仅有一个父结点:

一棵N个结点的树有N-1条边。

2·树的存储

下面时树的几种存储方式

1.将树的孩子一个一个存储不推荐

struct TreeNode
{
    int val;
    struct TreeNode *child1;
    struct TreeNode *child1;
    struct TreeNode *child1;
    ....    
}

2. 下面这种方式适用于已知树的度数的情况，但是会造成一定的空间浪费，比如最大的度为10，但是一些结点只有1，2个孩子，不推荐

#define N 3
struct TreeNode
{
    int val;
    struct TreeNode * childArr[N]

}

3.但是有一个十分巧妙的存储方法被人想出来了-左孩子右兄弟法

struct TreeNode
{
int val;
struct TreeNode* firstchild;
struct TreeNode* nextbrother;
}

TreeNode *Anode;
TreeNode *child=Anode->firstnode;
while(child)
{
printf("%d",child->val);
child=child->nextbrother;
}

4.双亲表示法：只存储双亲结点的下标或者指针。

假设有这样一棵树，我们使用双亲表示法来存储他：

我们一般用-1来表示根节点

用森林来举例，我们如何判断两个结点是否在同一棵树上：
找根，如果根相同，那么就在同一棵树上

二、二叉树的概念及结构

1·二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1.或者为空

2.由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

3.二叉树不存在度大于2的结点，结点的度也可以为0或者1；

4.二叉树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

以下是二叉树的几种情况：

2.特殊的二叉树

1.满二叉树:一个二又树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说如果一个二又树的层数为K，且结点总数是$2^k -1$ ，则它就是满二叉树。
2.完全二叉树:完全二又树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。最后一层的结点是连续的。

满二叉树每一层都是2^（i-1）个节点且每一层都是满的，那高度为h的满二叉树有多少结点

结点F(h)=2^h-1

高度为h时，结点范围区间为[ ]

三、二叉树顺序结构

二叉树的顺序存储是指用一组地址连续的存储单元依次自上而下、自左至右存储完全二叉树上的结点元素，即将完全二叉树上编号为i的结点元素存储在一维数组下标为 i-1 的分量中。

依据二叉树的性质，使用顺序结构数组只适合表示完全二叉树和满二叉树，树中结点的序号可以唯一地反映结点之间的逻辑关系，这样既能最大可能地节省存储空间，又能利用数组元素的下标值确定结点在二叉树中的位置，以及结点之间的关系。在实际应用中，堆的实现就很好的体现了这一结构。二叉树的顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。