目录

一、欧拉回路与道路

1、欧拉回路与道路

2、欧拉图存在的条件

二、中国邮路问题

1、中国邮路问题

2、中国邮路问题求解

 3、有奇点的G的中国邮路问题等价问题

 例1

【问题分析】

（1）先求图1中任意两点之间的距离矩阵d1如表1（Floyd算法）。

 （2）确定奇点之间的连线方案

（3）规划邮路

三、旅行商问题

 例2 旅行商路线问题（算法：tsp问题）

【符号设置】

 【模型假设】

【建立模型】

【数学模型】

【模型求解】

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一、欧拉回路与道路

1、欧拉回路与道路

连通图G中，若存在一条道路，经过每一边一次且仅一次，则称这条路为欧拉道路。若存在一条回路经过每边一次仅一次，称这条回路为欧拉回路。

具有欧拉回路的图称为欧拉图，简称E图。

2、欧拉图存在的条件

（1）无向连通图G是欧拉图当且仅当G中无奇点（出入次和为奇数）。

（2）连通有向图G是欧拉图，当且仅当它的每个顶点的出次等于入次。

二、中国邮路问题

1、中国邮路问题

一个邮递员，负责某一地区邮件投递，他每天从邮局出发，走遍该地区所有街道在返回邮局，问应如何安排送信的路线，可以使他所走的路线总路程最短（1962，管谷梅）。

给定一个连通图G，每边有权L(e)，要求一条回路经过每边至少一次，且满足总权和最小。

2、中国邮路问题求解

（1）若连通图G没有奇点，则是一个欧拉图，显然按照欧拉回路走就满足要求：每边一次仅一次，且权和最小；

（2）若G中有奇点，则有些边走过不止一次，这相当于对图G增加一些重复边E1，得到新的图G1=G+E1，使得G1没有奇点，且满足路程最短。

 3、有奇点的G的中国邮路问题等价问题

 连通图G=(V,E)中，求一个边集E1(E的子集），将E1的边均变成重复边得到G1=G+E1,使得G1无奇点，且

E1*存在的充分必要条件：

（1）每条边最多重复一次；

（2）对图G中每个初等圈来说，重复边的长度不超过圈长的一半。

 例1

求图1所示网络的中国邮路问题

【问题分析】

 图1中，点v2,v4,v6,v8为奇点，为了使得所有的点为偶点，需要构造辅助边.如果增加(v6,v3)和（v3,v2)，等价于直接增加边(v6,v2)（距离由最短距离决定）。

（1）先求图1中任意两点之间的距离矩阵d1如表1（Floyd算法）。

sets:
dian/1..10/:L; 
link(dian,dian):d,x;
endsets
data:
d=@ole('d:\lianxian','d_1');
enddata
n=@size(dian);
min=@sum(link(i,j)|i#ne#j:d(i,j)*x(i,j));
@for(dian(i):@sum(dian(j)|j#ne#i:x(i,j))=1);
@for(dian(i):@sum(dian(j)|j#ne#i:x(j,i))=1);
@for(dian(i):@for(dian(j)|j#ne#i#and#j#gt#1:
L(j)>L(i)+x(i,j)-(n-2)*(1-x(i,j))+(n-3)*x(j,i)));
@for(dian(i):L(i)<n-1-(n-2)*x(1,i));
@for(dian(i):L(i)>-1+(n-2)*x(i,1));
@for(link:@bin(x));

表1 图1中各点间最短距离

vi\vj	v1	v2	v3	v4	v5	v6	v7	v8	v9
v1	0	5	10	9	11	12	13	15	16
v2	5	0	5	10	6	7	14	10	11
v3	10	5	0	9	5	2	13	9	6
v4	9	10	9	0	4	7	4	8	11
v5	11	6	5	4	0	3	8	4	7
v6	12	7	2	7	3	0	11	7	4
v7	13	14	13	4	8	11	0	4	7
v8	15	10	9	8	4	7	4	0	3
v9	16	11	6	11	7	4	7	3	0

 根据表1，奇点间最短距离为

d1(v2,v6)=7;
d1(v2,v4)=10;
d1(v2,v8)=10;
d1(v4,v6)=7;
d1(v4,v8)=8;
d1(v6,v8)=7;

 （2）确定奇点之间的连线方案

1.   如图2所示，若增加(v2,v6)，(v4,v8)边，所有点为偶数点，增加长度为15；
2.   如图3所示，若增加(v6,v8)，(v2,v4)边，所有点为偶点，增加长度为17；
3. 如图4所示，若增加重复边(v4,v6)，(v2,v8)，所有点为偶点，增加长度为17；

三种方案比较，选择图2所示方案。

（3）规划邮路

 从v1出发，经过图2中所有边一次，仅一次回到v1的路径，见图5箭头所示。

v1-v4-v7-v8-v9-v6-v3-v2-v6-v5-v8-v4-v5-v2-v1（不止一种线路）

三、旅行商问题

Hamilton图： 包含图G中每个顶点的路，称为Hamilton路，包含G中每个顶点的圈，称为Hamilton圈（回路）。

 例2 旅行商路线问题（算法：tsp问题）

 某公司计划在某地区的1-10这10个城镇做广告宣传，推销从城市1出发，再回到1，已知这个10个城镇之间的距离如表2所示。为节约开支，公司希望推销员走过这10个城镇的总距离最少。 

表2 各城镇之间的距离

i/j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0	8	5	9	12	14	12	16	17	22
2	8	0	9	15	16	8	11	18	14	22
3	5	9	0	7	9	11	7	12	12	17
4	9	15	7	0	3	17	10	7	15	15
5	12	16	9	3	0	8	10	6	15	15
6	14	8	11	17	8	0	9	14	8	16
7	12	11	7	10	10	9	0	8	6	11
8	16	18	12	7	6	14	8	0	11	11
9	17	14	12	15	15	8	6	11	0	10
10	22	22	17	15	15	16	11	11	10	0

【符号设置】

• G=(V,E)  各城镇连接生产的图；
• dij   两点i与j的距离；
• 
• L(i) 点i到根1的距离（水平变量）；（用来防止提前生成圈）

 【模型假设】

（1）经过各城镇一次仅一次；

【建立模型】

（1）连接的各城镇之间的总距离的最小值

（2）每个点只有一个出次

（3）每个点只有一个入次

（4）点i与j的前行后继关系（除1外）

（5）节点i与节点1的距离

（6）变量限制

【数学模型】

【模型求解】

最小路程为73（单位），点与点的连接关系为x(1,2)=1,x(2,6)=1,x(6,5)=1,x(5,4)=1,x(4,8)=1 x(8,10)=1,x(10,9)=1,x(9,7)=1,x(7,3)=1,x(3,1)=1

行程网络图如下