量子力学应用的特殊函数1----谐振子场与线性场

news2024/11/20 1:40:22
  • 量子力学应用的函数--谐振子

Hermite 函数

y''-2xy'+2ny=0

厄米函数的一些性质

H_n(z)=(-)^ne^{z^2}\frac{d^n}{dz^n}(e^{-z^2})

H_{n+1}2zH_n-2nH_{n-1}

H_n'=2nH_{n-1}

Laguerre 函数

xy''+(a+1-x)y'+ny=0

  • a不为零时，称之为广义拉盖尔函数，这里不去研究他的解的性质

拉盖尔函数的一些性质

L_n(x)=e^x\frac{d(x^ne^{-x})}{dx^n}

L_{n+1}(x)=(2n+1-x)L_n(x)-n^2L_{n-1}(x)

/.

AiryAi 函数

y''-xy=0

  • 在脑海中补充他的边界条件
  • 通过傅里叶变换等一些列复杂的微操，我们可以得到该方程一般通解的积分表达

y(x)=c_1Ai(x)+c_2Bi(x)

Ai(x)=\frac{\int_0^\infty cos(\frac{k^3}{3}+xk)dk}{\pi}

Bi(x)=\frac{\int_0^\infty [e^{-\frac{k^3}{3}+xk}+sin(\frac{k^3}{3}+k)]dk}{\pi}

AiryAi 函数的一些性质

\frac{d^y(x)}{dx^2}=(x-x_0)y(x)\longrightarrow y=Ai(x-x_0)

\frac{d^2y(x)}{dx^2}=b^3(x-x_0)y(x)\longrightarrow y(x)=Ai[b(x-x_0)]

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