排序-算法

文章目录

一、排序的概念及引用
- 1.1 排序概念
- 1.2 排序运用
- 1.3 常见排序算法
二、常见排序算法的实现
- 2.1 插入排序
- - 2.1.1 基本思想
  - 2.1.2 直接插入排序
  - 2.1.3 希尔排序
- 2.2 选择排序
- - 2.2.1 基本思想
  - 2.2.2 直接选择排序
  - 2.2.3 堆排序
- 2.3 交换排序
- - 2.3.1 冒泡排序
  - 2.3.2 快速排序
  - 2.3.3 快速排序优化
  - 2.3.4 快速排序非递归
- 2.4 归并排序
- - 2.4.1 基本思想
  - 2.4.2 海量数据的排序问题
三、排序算法复杂度及稳定性分析
四、其他非基于比较排序
- 1.计数排序
- 2.基数排序
- 3.桶排序
五.选择题

一、排序的概念及引用

1.1 排序概念

排序：使一串数据，按照其中某个或某些关键字的大小，递增或递减排列起来的操作。（本文所讲排序都是按升序排列。）
稳定性：假设在待排序的记录序列中，存在多个具有相同的关键字，若经过排序，这些数据的相对次序保持不变，即在原序列中，r[i]=r[j]，且r[i]在r[j]之前，而在排序后的序列中，r[i]仍在r[j]之前，则称这种排序算法是稳定的；否则称为不稳定的。
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内部排序：数据元素全部放在内存中的排序。
外部排序：数据元素太多不能同时放在内存中，根据排序过程的要求不能在内外存之间移动数据的排序。

1.2 排序运用

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1.3 常见排序算法

在这里插入图片描述

二、常见排序算法的实现

2.1 插入排序

2.1.1 基本思想

把待排序的数据集合按其关键码值的大小逐个插入到一个已经排好序的有序序列中，直到所有数据插入完为止，得到一个新的有序序列。
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2.1.2 直接插入排序

初始时，第一个元素为有序序列，从第二个元素i所指的值(tmp)开始，与前面的有序序列的末尾下标j所指值开始进行比较，如果j所指的值大于tmp，j所指元素向后移，直到j所指的值小于等于tmp，j后一位存放tmp，i向后走重复上述步骤。
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public static void insertSort(int[] array){
        for(int i = 1;i < array.length; i++){
            int j = i-1;
            int tmp = array[i];
            for(;j >= 0;j--){
                if(array[j] > tmp){
                    array[j+1] = array[j];
                }else {
                    break;
                }
            }
            array[j+1] = tmp;
        }
    }

直接插入排序的特性总结：
1. 元素集合越有序，算法的时间效率越高，适用于待排序序列已经基本上趋于有序了
2. 时间复杂度：最坏情况O(N^2) 最好情况O(N)
3. 空间复杂度：O(1)
4. 稳定性：稳定

2.1.3 希尔排序

希尔排序法又称缩小增量法，基本思想：先选定一个整数gab，把待排序集合中所有元素分成多个组，所有距离为gab的元素分在同一组，并对每一组内的记录进行插入排序。然后设定一个新的整数，重复上述分组和排序的工作。当到达=1时，所有记录在一组内排好序。
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/**
* 希尔排序
*/
public static void shellSort(int[] array){
     int gab = array.length;
     while (gab >1){
         gab /= 2;
         shell(array,gab);
     }

}
/**
* 将array分为gab组进行插入排序
*/
private static void shell(int[] array,int gab){
     for (int i = gab; i < array.length; i++) {
         int j = i-gab;
         int tmp = array[i];
         for (;j >= 0; j -= gab){
             if (array[j] > tmp){
                 array[j+gab] = array[j];
             }else {
                 break;
             }
         }
         array[j+gab] = tmp;
     }
}

希尔排序的特性总结：

希尔排序是对直接插入排序的优化。
当gap > 1时都是预排序，目的是让集合更接近于有序。当gap == 1时，数组已经接近有序的了，这样就会很快。
希尔排序的时间复杂度不好计算，因为gap的取值方法很多，导致很难去计算，因此在好些树中给出的希尔排序的时间复杂度都不固定，按O(N^1.25)到O(1.6*N^1.25)来算
稳定性：不稳定

2.2 选择排序

2.2.1 基本思想

每一次从待排序的数据元素中选出最小（或最大）的一个元素，存放在序列起始位置，直到全部待排序的数据元素排完。

2.2.2 直接选择排序

以i=0遍历数组，从i开始的数中找到最小（大）值下标minindex（maxindex），minindex（maxindex）和i位置的值进行交换。
在这里插入图片描述

public static void selectSort(int[] array){
    for (int i = 0; i < array.length; i++) {
         //记录最小值下标
         int minindex = i;
         for (int j = i+1; j <array.length ; j++) {
             if (array[j] < array[minindex]){
                 minindex = j;
             }
         }
         //最小值不是i位置的数据
         if(minindex != i){
             swap(array,minindex,i);
         }
     }
}
//交换
private static void swap(int[] array,int i,int j) {
    int tmp = array[i];
    array[i] = array[j];
    array[j] = tmp;
}

双向选择排序：
1.从数组指定区间（left，right）内找到最小值和最值下标—minindex与maxindex
2.将其与区间端点值进行交换,缩小区间重复执行上述操作，直到区间只剩下一个元素
在这里插入图片描述

public static void selectSort(int[] array){
     int left = 0;
     int right = array.length-1;
     while(left < right){
         int minindex = left;
         int maxindex = left;
         for (int i = left; i <= right; i++) {
             if (array[i] < array[minindex]){
                 minindex = i;
             }
             if(array[i] > array[maxindex]){
                 maxindex = i;
             }
         }
         //走到这里，minindex和maxindex是区间（left，right）内的最小值和最值下标
         //最小值不是区间第一个元素
         if (minindex != left){
             swap(array,minindex,left);
         }
         swap(array,maxindex,right);
         left++;
         right--;
     }
}

直接选择排序的特性总结：

直接选择排序思考非常好理解，但是效率不是很好，实际中很少使用
时间复杂度：O(N^2)
空间复杂度：O(1)
稳定性：不稳定

2.2.3 堆排序

堆排序(Heapsort)是指利用堆积树（堆）这种数据结构所设计的一种排序算法，它是选择排序的一种。
步骤：
1.建堆----升序建大根堆，降序建小根堆
2.利用堆删除思想进行排序

public static void heapSort(int[] array){
    //创建大根堆
    createHeap(array);
    //利用堆删除思想进行排序
    int end = array.length-1;
    while(end > 0){
         swap(array,0,end);
         sifiDown(array,0,end);
         end--;
    }
}
/**
* 创建大根堆
*/
private static  void createHeap(int[] array){
    //从最后一颗子树开始向下调整
    for (int parent = (array.length-1)/2; parent >=0 ; parent--) {
         sifiDown(array,parent,array.length);
    }
}
/**
* 向下调整
*/
private static void sifiDown(int[] array,int parent,int length){
     int child = 2*parent+1;
     //至少存在左孩子
     while(child < length){
        //存在右孩子 且 右孩子值大于左孩子
        if(child+1 < length && array[child] < array[child+1]){
            child++;
        }
        //走到这里，child是孩子节点最大值的下标
        //父亲节点的值小于最大孩子节点值
        if(array[parent] < array[child]){
             swap(array,parent,child);
             //子树向下调整
             parent = child;
             child = parent*2+1;
         }else {
             break;
         }
     }
}

堆排序的特性总结：

堆排序使用堆来选数，效率就高了很多。
时间复杂度：O(N* $log_{2}N$ )
空间复杂度：O(1)
稳定性：不稳定

2.3 交换排序

基本思想：比较序列中两个值，如果不满足排序要求，交换两个值，交换排序的特点是：将值较大的向序列的尾部移动，值较小的向序列的前部移动。

2.3.1 冒泡排序

j遍历集合，j和j+1对应的值比较，如果j对应值大于j+1对应值，交换，j向后走直至j指向最后一个元素，一趟排序结束，需要比较n-1趟，冒泡排序特点：每一趟确定一个数的位置且位置在待排序序列最后，下一趟就可以少比较一个数，趟数为n-1（n是集合中元素的个数），如果本趟没有进行交换，说明集合已经排好序。
在这里插入图片描述

public static void bubbleSort(int[] array){
    //i表示趟数
    for (int i = 0; i < array.length-1; i++) {
        boolean flog = false;
        for (int j = 0; j < array.length-1-i; j++) {
            if(array[j] > array[j+1]){
                swap(array,j,j+1);
                flog = true;
            }
        }
        if(!flog){
            break;
        }
    }
}
    //交换
    private static void swap(int[] array,int i,int j) {
        int tmp = array[i];
        array[i] = array[j];
        array[j] = tmp;
    }

冒泡排序的特性总结：

冒泡排序是一种非常容易理解的排序
时间复杂度：O(N^2)
空间复杂度：O(1)
稳定性：稳定

2.3.2 快速排序

以区间内第一个数为基准值，将整个区间划分为两个子序列，左子序列都是比基准值小的数，右子序列都是比基准值大的数；对左、右子序列为新的区间进行前面操作，直至区间只存在一个元素。

public static void quick(int[] array,int left,int right){
        //区间不存在或区间只有一个元素
        if(left >= right){
            return;
        }
        //按基准值对数组的（left，right）区间进行划分 并返回基准值所在下标
        int pivot = partion(array,left,right);
        //对数组的（left，pivot）区间进行快速排序
        quick(array,left,pivot-1);
        //对数组的（pivot+1，right）区间进行快速排序
        quick(array,pivot+1,right);
    }

将区间按照基准值划分为左右两半部分的常见方式有：
1. Hoare 版
在这里插入图片描述

private static int partion(int[] array,int left,int right){
        int tmp = array[left];
        int i = left;
        while(left < right){
            while (left < right && array[right] >=tmp){
                right--;
            }
            while(left < right && array[left] <= tmp){
                left++;
            }
            swap(array,left,right);
        }
        swap(array,i,left);
        return left;
    }

2. 挖坑法
在这里插入图片描述

private static int partion(int[] array,int left,int right){
        int tmp = array[left];
        while (left < right){
            while (left < right && array[right] > tmp){
                right--;
            }
            //走到这，right是比基准值小的下标或left == right
            array[left] = array[right];
            while (left < right && array[left] <tmp){
                left++;
            }
            //走到这，left是比基准值大的下标或left == right
            array[right] = array[left];
        }
        //基准值放入坑中
        array[left] = tmp;
        return  left;
    }

3. 前后指针法
在这里插入图片描述
写法一

private static int partion(int[] array,int left,int right){
    int prev = left;
    int cur = left+1;
    while (cur <= right){
       if(array[cur] < array[left] && array[++prev] != array[cur]){
            swap(array,cur,prev);
       }
       cur++;
   }
   swap(array,left,prev);
   return prev;
}

写法二

private static int partition(int[] array, int left, int right) {
	int d = left + 1;
	int pivot = array[left];
	for (int i = left + 1; i <= right; i++) {
		if (array[i] < pivot) {
			swap(array, i, d);
			d++;
		}
	}
	swap(array, d - 1, left);
	return d - 1;
}

2.3.3 快速排序优化

1.三数取中法选key
在下标为left（区间第一个数下标）、right（区间最后一个数下标）和mid（区间中间数下标）对应数值中找到中间数，与区间第一个数进行交换，使得以基准值（区间第一个数）划分的尽可能使左右区间都超过一个数，从而减少递归次数。

private static void quick(int[] array,int start,int end) {
    if(start >= end) {
        return;
    }
    //1 2 3 4 5 6 7
    int index = middleNum(array,start,end);
    swap(array,index,start);
    //4 2 3 1 5 6 7

    int pivot = partition(array,start,end);
    quick(array,start,pivot-1);
    quick(array,pivot+1,end);
}
/**
* 求中位数的下标
*/
private static int middleNum(int[] array,int left,int right) {
    int mid = (left+right)/2;
    if(array[left] < array[right]) {
       if(array[mid] < array[left]) {
            return left;
       }else if(array[mid] > array[right]) {
            return right;
        }else {
            return mid;
        }
    }else {
        //array[left] > array[right]
        if(array[mid] < array[right]) {
            return right;
        }else if(array[mid] > array[left]) {
            return left;
        }else {
            return mid;
        }
    }
}

2. 递归到小的子区间时，可以考虑使用插入排序

private static void quick(int[] array,int start,int end) {
    if(start >= end) {
        return;
    }
	//区间比较小
    if(end - start + 1 <= 15) {
        insertSort(array, start, end);
        return;
    }
    int pivot = partition(array,start,end);
    quick(array,start,pivot-1);
    quick(array,pivot+1,end);
}
public static void insertSort(int[] array,int left,int right) {
    for (int i = left+1; i <= right; i++) {
        int tmp = array[i];
        int j = i-1;
        for (; j >= left ; j--) {
            if(array[j] > tmp) {
                array[j+1] = array[j];
            }else {
                break;
            }
        }
        array[j+1] = tmp;
    }
}

2.3.4 快速排序非递归

在这里插入图片描述

/**
    快速排序非递归
*/
public static void quickSortNor(int[] array){
    int start = 0;
    int end = array.length-1;
    //存放要排序的区间端点下标
    Stack<Integer> stack = new Stack<>();
    //基准值下标
    int privot = partion(array,start,end);
    //基准值的左边（左区间）的元素至少有2个
    if(privot-1 > start){
        stack.push(start);
        stack.push(privot-1);
    }
    //基准值的右边（右区间）的元素至少有2个
    if(privot+1 < end){
        stack.push(privot+1);
        stack.push(end);
    }
    while ( !stack.isEmpty()){
        end = stack.pop();
        start = stack.pop();
        privot = partion(array,start,end);
        //基准值的左边（左区间）的元素至少有2个
        if(privot-1 > start){
            stack.push(start);
            stack.push(privot-1);
        }
        //基准值的右边（右区间）的元素至少有2个
        if(privot+1 < end){
             stack.push(privot+1);
             stack.push(end);
        }
    }
}

快速排序总结：
1.快速排序整体的综合性能和使用场景都比较好
2.时间复杂度：O(N*logN)
3. 空间复杂度：O(logN)
4. 稳定性：不稳定

2.4 归并排序

2.4.1 基本思想

归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法,该算法是采用分治法。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。
在这里插入图片描述

/**
      递归实现排序
  */
 public static void mergeSort(int[] array){
      merge(array,0,array.length-1);
}
private static void merge(int[] array, int left, int right) {
      if(left >= right){
          return;
      }
      int mid = (left + right)/ 2;
      //划分为两组
      merge(array,left,mid);
      merge(array,mid+1,right);
      //合并
      combine(array,left,mid,right);
}
/**
     合并两个有序数组
*/
private static void combine(int[] array, int left, int mid, int right) {
     //第一个数组的区间端点下标
     int s1 = left;
     int e1 = mid;
     //第二个数组的区间端点下标
     int s2 = mid+1;
     int e2 = right;
     //新数组的长度
     int length = right-left+1;
     int[] arr = new int[length];
     //新数组下标
     int k = 0;
     //合并
     while( s1 <= e1 && s2 <= e2){
         if(array[s1] < array[s2]){
             arr[k++] = array[s1++];
         }else {
             arr[k++] = array[s2++];
         }
     }
     while (s1 <= e1){
         arr[k++] = array[s1++];
    }
    while (s2 <= e2){
        arr[k++] = array[s2++];
    }
    //将合并的新数组放入原来数组对应位置
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
         array[i+left] = arr[i];
    }
}`

//非递归
public static void mergeSortNor(int[] array){
     //每个子序列元素个数
     int gap = 1;
     while( gap < array.length){
         for (int i = 0; i < array.length; i+=gap*2) {
             //left 代表一组的第一个元素下标
             int left = i;
             //mid 代表此组最后一个元素下标
             int mid = left+gap-1;
             if(mid >= array.length){
                 mid = array.length-1;
             }
             //right 代表下一组的最后一个元素下标
             int right = mid+gap;
             if(right >= array.length){
                 right = array.length-1;
             }
             combine(array,left,mid,right);
         }
         gap *= 2;
     }
}

归并排序总结：

归并的缺点在于需要O(N)的空间复杂度，归并排序更多是解决在磁盘中的外排序问题
时间复杂度: O(N*logN)
空间复杂度：O(logN)
稳定性：稳定

2.4.2 海量数据的排序问题

外部排序：排序过程需要在磁盘等外部存储进行的排序
前提：内存只有 1G，需要排序的数据有 100G
因为内存中因为无法把所有数据全部放下，所以需要外部排序，而归并排序是最常用的外部排序

先把文件切分成 200 份，每个 512 M
分别对 512 M 排序，因为内存已经可以放的下，所以任意排序方式都可以
进行 2路归并，同时对 200 份有序文件做归并过程，最终结果就有序了

三、排序算法复杂度及稳定性分析

在这里插入图片描述

四、其他非基于比较排序

1.计数排序

计数排序以数组来实现，数组的下标是待排序序列值，数组存储的是元素出现的个数。操作步骤：

统计待排序序列中各个元素的个数到新数组
遍历新数组，将原序列进行覆盖

public static void countSort(int[] array){
    //获取集合中的最大值和最小值
    int minvalue = array[0];
    int maxvalue = array[0];
    for (int i = 0; i < array.length; i++) {
        if(array[i] < minvalue){
            minvalue = array[i];
        }
        if(array[i] > maxvalue){
            maxvalue = array[i];
        }
    }
    //新建数组长度
    int length = maxvalue-minvalue+1;
    //以数组值存储元素的个数，数组的下标值为元素值-minvalue的结果
    int[] count = new int[length];
    //记录集合中元素个数
    for (int i = 0; i < array.length; i++) {
        count[array[i]-minvalue]++;
    }
    //array下标
    int k = 0;
    //遍历count数组，将实际值重写回array中
    for (int i = 0; i < count.length; i++) {
        while( count[i] > 0){
            array[k++] = i+minvalue;
            count[i]--;
        }
    }
}

计数排序总结：
3. 计数排序在数据范围集中时，效率很高，但是适用范围及场景有限。
4. 时间复杂度：O(MAX(N,范围))
5. 空间复杂度：O(范围)
6. 稳定性：稳定

2.基数排序

基数排序

3.桶排序

桶排序

五.选择题

1. 快速排序算法是基于()的一个排序算法。
A：分治法   B：贪心法   C：递归法   D：动态规划法
2.对记录（54,38,96,23,15,72,60,45,83）进行从小到大的直接插入排序时，当把第8个记录45插入到有序表时，为找到插入位置需比较()次？（采用从后往前比较）
A: 3  B: 4  C: 5  D: 6
3.以下排序方式中占用O(n)辅助存储空间的是()
A: 简单排序  B: 快速排序  C: 堆排序  D: 归并排序
4.下列排序算法中稳定且时间复杂度为O(n^2)的是()
A: 快速排序  B: 冒泡排序  C: 直接选择排序  D: 归并排序
5.关于排序，下面说法不正确的是()
A: 快排时间复杂度为O(N*logN)，空间复杂度为O(logN)
B: 归并排序是一种稳定的排序,堆排序和快排均不稳定
C: 序列基本有序时，快排退化成 "冒泡排序"，直接插入排序最快
D: 归并排序空间复杂度为O(N), 堆排序空间复杂度的为O(logN)
6.设一组初始记录关键字序列为(65,56,72,99,86,25,34,66)，则以第一个关键字65为基准而得到的一趟快速排序结果是（）
A: 34，56，25，65，86，99，72，66  B: 25，34，56，65，99，86，72，66
C: 34，56，25，65，66，99，86，72  D: 34，56，25，65，99，86，72，66


答案：1.A  2.C  3.D  4.B  5.D  6.A