一、向量的点积

两个向量 $\mathbf{v}=(v_1,v_2)$ 与 $\mathbf{w}=(w_1,w_2)$的点积或内积是数字 $\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}$：

$$\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=v_1{w}_1+v_2{w}_2(\mathrm{1.2.1})$$

【例1】向量 $\mathbf{v}=(4,2)$ 与 $\mathbf{w}=(-1,2)$ 有零点积：$$\text{点积为零，两向量垂直}\left[\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]=-4+4=0$$数学中的 $0$ 一直是一个很特殊的数值。点积为零，则表示这两个向量垂直，夹角为 $90°$。两个典型的垂直向量是沿着 $x$ 轴方向的 $\mathbf{i}=(1,0)$ 与沿着 $y$ 轴方向的 $\mathbf{j}=(0,1)$，它们的点积是 $\mathbf{i}\cdot \mathbf{j}=0+0=0$，向量 $\mathbf{i}$ 与 向量 $\mathbf{j}$ 形成直角。
向量 $\mathbf{v}=(1,2)$ 与 $\mathbf{w}=(3,1)$ 的点积是 $5$，我们就可以知道向量 $\mathbf{v}$ 与 $\mathbf{w}$ 之间的夹角不是 $90°$。可以验证 $\mathbf{w}\cdot \mathbf{v}$ 也是 $5$。$$\text{点积 v⋅w 与 w⋅v 相等，与 v 和 w 的顺序无关}$$【例2】在点 $x=-1$（零的左边）放一个重量为 $4$ 的东西，在点 $x=2$（零的右边）放置一个重量为 $2$ 的东西，那么 $x$ 轴就会在中心点取得平衡（像一个跷跷板），它们的重量取得平衡是因为点积 $(4)(-1)+(2)(2)=0$。
本例是一个典型的科学工程。重量的向量是 $(w_1,w_2)=(4,2)$，距离中心点的距离向量是 $(v_1,v_2)=(-1,2)$。重量乘以距离 $v_1{w}_1$ 与 $v_2{w}_2$ 得到 “矩（moments）”，这个跷跷板的平衡方程式为 $v_1{w}_1+v_2{w}_2=0$。

【例3】点积在经济与商业中的应用。例如：我们要进行 $3$ 个商品的买卖，它们的单价分别是 $(p_1,p_2,p_3)$ —— 这个是 “价格向量” $\mathbf{p}$；买卖的数量为 $(q_1,q_2,q_3)$ —— 这个是 “数量向量” $\mathbf{q}$，卖的时候取正号，买的时候取符号。单价 $p_1$ 的商品卖出 $q_1$ 个可以得到 $p_1{q}_1$，全部的收入（数量 $q$ 乘价格 $p$）就是在三维空间的点积 $\mathbf{q}\cdot \mathbf{p}$：$$收入=(q_1,q_2,q_3)\cdot (p_1,p_2,p_3)=q_1{p}_1+q_2{p}_2+q_3{p}_3=点积$$零点积表示收支平衡。如果 $\mathbf{q}\cdot \mathbf{p}=0$，那么全部的销售额等于全部的买进额，$\mathbf{p}$ 垂直于 $\mathbf{q}$（在三维空间中）。如果一家超市有几千种商品的话，那么商品的维度就会很高。
注：电子表格在管理中非常重要，它可以计算线性组合与点积，在屏幕上看到的就是一个矩阵。
重点： 对于 $\mathbf{v}$ 与 $\mathbf{w}$ 的点积，将每个 $v_i$ 与 $w_i$ 相乘后再相加，$\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=v_1{w}_1+\cdots +v_n{w}_n$。

二、长度与单位向量

向量自己与自己的点积是长度的平方，此时 $\mathbf{v}=\mathbf{w}$。当 $\mathbf{v}=(1,2,3)$ 时，则它与自己的点积为 $\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}=||\mathbf{v}|{|}^2=14$：$$点积\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}是长度的平方||\mathbf{v}|{|}^2=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]=1+4+9=14$$这里向量之间的角度是 $0°$ 而不是 $90°$，$\mathbf{v}$ 与自己不垂直所以点积不为 $0$。点积 $\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}$ 是 向量$\mathbf{v}$ 长度的平方。
定义： 向量 $\mathbf{v}$ 的长度 $||\mathbf{v}||$ 等于 $\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}$ 的平方根：

$$\text{length}=||\mathbf{v}||=\sqrt{\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}}=(v_1^2+v_2^2+\cdots +v_n^2{)}^{1/2}$$

二维时长度为 $\sqrt{v_1^2+v_2^2}$，三维时长度是 $\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$，所以 $\mathbf{v}=(1,2,3)$ 的长度是 $||\mathbf{v}||=\sqrt{14}$。
这里 $||\mathbf{v}||=\sqrt{\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}}$ 在几何上表示向量的长度。如果分量是 $1$ 和 $2$，那么向量就是 Figure1.6 中所示直角三角形的第三边，根据勾股定理 $a^2+b^2=c^2$ 可以得到三条边之间的关系是 $1^2+2^2=||\mathbf{v}|{|}^2$。

如 Figure1.6 所示，对于三维向量 $\mathbf{v}=(1,2,3)$，要得到其长度，需要使用两次勾股定理。位于基底的向量 $(1,2,0)$ 长度是 $\sqrt{5}$，基底向量与向量 $(0,0,3)$ 垂直，所以立方体对角线的长度 $||\mathbf{v}||=\sqrt{5+9}=\sqrt{14}$。
四维向量的长度等于 $\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2+v_4^2}$。所以向量 $(1,1,1,1)$ 的长度为 $\sqrt{1^2+1^2+1^2+1^2}=2$，这是一个四维空间中单位立方体的对角线长度。$n$ 维空间单位立方体的对角线长度是 $\sqrt{n}$。
单位通常用来表示某些东西的测量值为 $1$，例如单价是指一个物品的价格，单位立方体其边长为 $1$，单位圆的半径为 $1$。下面是单位向量的定义：

$$单位向量\mathbf{u}是长度为1的向量，\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}=1$$

四维的单位向量 $\mathbf{u}=(1/2,1/2,1/2,1/2)$，$\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}=1/4+1/4+1/4+1/4=1$。向量 $\mathbf{v}=(1,1,1,1)$ 除以它本身的长度 $||\mathbf{v}||=2$ 就可以得到单位向量。
【例4】沿着 $x$ 轴与 $y$ 轴的标准单位向量通常记为 $\mathbf{i}$ 与 $\mathbf{j}$，在 $xy$ 平面内，若单位向量与 $x$ 轴的夹角为 $\theta$，那么这个单位向量就是 $(\cos \theta ,\sin \theta )$。$$单位向量\mathbf{i}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\mathbf{j}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right],\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right]$$当 $\theta =0$ 时，水平向量 $\mathbf{u}$ 就是 $\mathbf{i}$；当 $\theta =90°$（或 $\pi /2$ 弧度），垂直向量 $\mathbf{u}$ 就是 $\mathbf{j}$。由于 ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$，任意角度下的分量 $\cos \theta$ 与 $\sin \theta$ 都有 $\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}=1$。这些单位向量可以得到 Figure1.7 所示的单位圆，单位圆上角度为 $\theta$ 点的坐标是 $(\cos \theta ,\sin \theta )$。

向量 $(2,2,1)$ 的长度为 $3$，向量 $(2/3,2/3,1/3)$ 的长度为 $1$，$\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}=4/9+4/9+1/9=1$。任何非零向量 $\mathbf{v}$ 除以它本身的长度 $||\mathbf{v}||$ 就是单位向量。

$$\mathbf{u}=\mathbf{v}/||\mathbf{v}||是在\mathbf{v}方向的单位向量$$

三、两个向量之间的夹角

两个相互垂直的向量有 $\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=0$，即当角度是 $90°$ 时点积为 $0$。

$$\text{直角}当\mathbf{v}与\mathbf{w}垂直时，点积\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=0$$

证明： 当 $\mathbf{v}$ 与 $\mathbf{w}$ 垂直时，他们形成直角的两个边，第三边为 $\mathbf{v}-\mathbf{w}$（如 Figure1.8所示）。
由勾股定理，直角三角形的三边有 $a^2+b^2=c^2$，对于垂直的向量$$||\mathbf{v}|{|}^2+||\mathbf{w}|{|}^2=||\mathbf{v}-\mathbf{w}|{|}^2(\mathrm{1.2.2})$$设这两个向量为二维向量，则$$(v_1^2+v_2^2)+(w_1^2+w_2^2)=(v_1-w_1{)}^2+(v_2-w_2{)}^2(\mathrm{1.2.3})$$两边展开整理后可得：$$v_1{w}_1+v_2{w}_2=0(\mathrm{1.2.4})$$即 $\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=0$。
结论： 若两个向量的夹角为直角，则 $\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=0$。当角度 $\theta =90°$ 时，点积为 $0$，此时 $\cos \theta =0$。由于 $0\cdot \mathbf{w}$ 永远为 $0$，所以零向量 $0$ 与任意向量 $\mathbf{w}$ 垂直。

若 $\mathbf{v}$ 与 $\mathbf{w}$ 之间的夹角为 $\theta$，假设 $\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}$ 不为零，可能为正也可能为负，通过 $\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}$ 的正负号可以判断 $\theta$ 是小于还是大于 $90°$。当 $\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}$ 为正时，$\theta$ 小于 $90°$；当 $\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}$ 为负时，$\theta$ 大于 $90°$。如 Figure1.8 右侧所示，其中 $\mathbf{v}=(3,1)$，它与 $\mathbf{w}=(1,3)$ 的夹角小于 $90°$，这是因为 $\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=6$ 是正数。
分界线是向量 $\mathbf{w}$ 与 $\mathbf{v}$ 垂直的位置，$(1,-3)$ 位于正负之间的分界线，所以向量 $(1,3)$ 与 $(3,1)$ 垂直，点积为零。
通过点积可以计算出角度 $\theta$。对于两个单位向量 $\mathbf{u}$ 与 $\mathbf{U}$ 来说，$\mathbf{u}\cdot \mathbf{U}$ 的符号可以确定 $\theta <90°$ 还是 $\theta >90°$。点积 $\mathbf{u}\cdot \mathbf{U}$ 的值就是 $\cos \theta$。前面的结论对于 $n$ 维空间同样适用。

$$两个单位向量\mathbf{u}和\mathbf{U}的夹角为\theta ，则\mathbf{u}\cdot \mathbf{U}=\cos \theta ，且|\mathbf{u}\cdot \mathbf{U}|\le 1$$

$-1\le \cos \theta \le 1$，单位向量之间的点积也在 $-1$ 与 $1$ 之间，$\mathbf{u}\cdot \mathbf{U}$ 的值就是 $\cos \theta$。
Figure1.9 显示了 $\mathbf{u}=(\cos \theta ,\theta \sin \theta )$ 与 $\mathbf{i}=(1,0)$，它们的点积 $\mathbf{u}\cdot \mathbf{i}=\cos \theta$，这是两个向量夹角的余弦值。

将一个单位向量旋转任意角度 $\alpha$ 后，它仍然是一个单位向量。向量 $\mathbf{i}=(1,0)$ 旋转至 $(\cos \alpha ,\sin \alpha )$，向量 $\mathbf{u}$ 旋转至 $(\cos \beta ,\sin \beta )$，其中 $\beta =\alpha +\theta$。则它们的点积是 $\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$，由三角公式可得 $\cos (\beta -\alpha )=\cos \theta$。
若 $\mathbf{v}$ 与 $\mathbf{w}$ 不是单位向量，那么它们分别除以自己的长度可得 $\mathbf{u}=\mathbf{v}/||\mathbf{v}||$，$\mathbf{U}=\mathbf{w}/||\mathbf{w}||$，则两个单位向量的点积仍为 $\cos \theta$。

$$\text{余弦公式}：若\mathbf{v}与\mathbf{w}是非零向量，则\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}}{||\mathbf{v}||||\mathbf{w}||}=\cos \theta (\mathrm{1.2.5})$$

不论两个向量之间的夹角如何，$\mathbf{u}=\mathbf{v}/||\mathbf{v}||$ 与 $\mathbf{U}=\mathbf{w}/||\mathbf{w}||$ 的点积都不会超过 $1$，这就是 “施瓦茨不等式”（Schwarz inequality）：$|\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}|\le ||\mathbf{v}||||\mathbf{w}||$ —— 也称为柯西-施瓦茨-布尼亚科夫斯基不等式（Cauchy-Schwarz-Buniakowsky inequality）。
由于 $|\cos \theta |\le 1$，余弦公式可以得到两个伟大的不等式：

$$\begin{gathered} \text{施瓦茨不等式}：|\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}|\le ||\mathbf{v}||||\mathbf{w}|| \\ \text{三角不等式}：||\mathbf{v}+\mathbf{w}||\le ||\mathbf{v}||+||\mathbf{w}|| \end{gathered}$$

【例5】对于 $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$ 与 $\mathbf{w}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$，求 $\cos \theta$，并验证上面两个不等式。
解： 点积 $\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=4$，它们的长度都为 $\sqrt{5}$$$\cos \theta =\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}}{||\mathbf{v}||||\mathbf{w}||}=\frac{4}{\sqrt{5}\sqrt{5}}=\frac{4}{5}$$验证施瓦茨不等式得 $\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=4$ 小于 $||\mathbf{v}||||\mathbf{w}||=5$。
验证三角不等式，$\mathbf{v}+\mathbf{w}=(3,3)$，则第三边长 $||\mathbf{v}+\mathbf{w}||=\sqrt{18}$，第一边长和第二边长之和 $||\mathbf{v}||+||\mathbf{w}||=2\sqrt{5}=\sqrt{20}$，所以 $||\mathbf{v}+\mathbf{w}||\le ||\mathbf{v}||+||\mathbf{w}||$。

【例6】$\mathbf{v}=(a,b)$ 与 $\mathbf{w}=(b,a)$ 的点积是 $2ab$，两个向量的长度都为 $\sqrt{a^2+b^2}$，根据施瓦茨不等式 $\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}\le ||\mathbf{v}||||\mathbf{w}||$ 可得 $2ab\le a^2+b^2$。
令 $x=a^2$，$y=b^2$，就可以得到一个更有名的结果。“几何平均值（geometric mean)” $=\sqrt{xy}$ 不大于 “算术平均值（arithmetic mean）”= $\frac{1}{2}(x+y)$。$$\text{几何平均值≤算术平均值}ab\le \frac{a^2+b^2}{2}变为\sqrt{xy}\le \frac{x+y}{2}$$例 $5$ 中的 $a=2$，$b=1$，所以 $x=4$，$y=1$，几何平均值 $\sqrt{xy}=2$ 小于算术平均值 $(1+4)/2=2.5$。

四、MATLAB 语言

$\mathbf{v}$ 与 $\mathbf{w}$ 定义完成后，直接就可以得到 $\mathbf{v}+\mathbf{w}$。以行的方式输入 $\mathbf{v}$，$\mathbf{w}$，用符号 ${}^{\prime }$ 即可转置称为列向量。$2\mathbf{v}+3\mathbf{w}$ 需写成 $2\ast \mathbf{v}+3\ast \mathbf{w}$。若结尾不输入分号 $;$，可以直接显示出来。
$$\text{MATLAB}v=[234{]}^{\prime };w=[111{]}^{\prime };u=2\ast v+3\ast w$$点积 $\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}$ 是行向量乘列向量（使用 $\ast$ 而不是 $\cdot$）。

$$点积通常写成\left[\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]或{\mathbf{v}}^{\prime }\ast \mathbf{w}而不是\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]$$

在 MATLAB 中， $\mathbf{v}$ 的长度写成 $\text{norm}(\mathbf{v})$，也就是 $\text{sqrt}({\mathbf{v}}^{\prime }\ast \mathbf{v})$，然后利用点积 ${\mathbf{v}}^{\prime }\ast \mathbf{w}$ 求出余弦，再求出对应此余弦的角（单位是弧度 radian）。

$$\begin{gathered} 余弦公式：\text{cosine}=v^{\prime }\ast w/(\text{norm}(v)\ast \text{norm}(w)) \\ 反余弦：\text{angle}=\text{acos}(\text{cosine}) \end{gathered}$$

MATLAB的计算结果如下图所示。

五、主要内容总结

（1）点积 $\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}$ 的计算：将每个 $v_i$ 与 $w_i$ 先相乘后再相加，$\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=v_1{w}_1+\cdots +v_n{w}_n$。
（2）$\mathbf{v}$ 的长度 $||\mathbf{v}||$ 是 $\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}$ 的平方根，$\mathbf{u}=\mathbf{v}/||\mathbf{v}||$ 是单位向量，长度为 $1$。
（3）当 $\mathbf{v}$ 与 $\mathbf{w}$ 垂直时，$\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=0$。
（4）$\theta$（任意两个非零向量 $\mathbf{v}$ 与 $\mathbf{w}$ 的夹角）的余弦值不超过 $1$：
$$余弦：\cos \theta =\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}}{||\mathbf{v}||||\mathbf{w}||}，施瓦茨不等式：|\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}|\le ||\mathbf{v}||||\mathbf{w}||$$

六、例题

【例7】向量 $\mathbf{v}=(3,4)$ 与 $\mathbf{w}=(4,3)$，验证施瓦茨不等式和三角不等式。求出 $\mathbf{v}$ 与 $\mathbf{w}$ 之间角度的 $\cos \theta$。什么样的 $\mathbf{v}$ 与 $\mathbf{w}$ 可以得到等式 $|\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}|=||\mathbf{v}||||\mathbf{w}||$ 和 $||\mathbf{v}+\mathbf{w}||=||\mathbf{v}||+||\mathbf{w}||$？
解： 点积 $\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=(3)(4)+(4)(3)=24$。$\mathbf{v}$ 的长度 $||\mathbf{v}||=\sqrt{9+16}=5$，$||\mathbf{w}||$ 也为 $5$。$\mathbf{v}+\mathbf{w}=(7,7)$ 的长度为 $||\mathbf{v}+\mathbf{w}||=7\sqrt{2}$。
$$施瓦茨不等式：|\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}|\le ||\mathbf{v}||||\mathbf{w}||得24<25$$$$三角不等式：||\mathbf{v}+\mathbf{w}||\le ||\mathbf{v}||+||\mathbf{w}||得7\sqrt{2}<10$$$$角度的余弦：\cos \theta =\frac{24}{25}$$等式成立时：一个向量是另一个向量的倍数，如 $\mathbf{w}=c\mathbf{v}$，此时角度为 $0°$ 或 $180°$，$|\cos \theta |=1$ 且 $|\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}|=||\mathbf{v}||||\mathbf{w}||$。若角度是 $0°$，例如 $\mathbf{w}=2\mathbf{v}$，则 $||\mathbf{v}+\mathbf{w}||=||\mathbf{v}||+||\mathbf{w}||$（两边都是 $3||\mathbf{v}||$），三边是 $\mathbf{v}$，$2\mathbf{v}$，$3\mathbf{v}$ 的三角形是扁平的！

【例8】求出 $\mathbf{v}=(3,4)$ 方向的单位向量 $\mathbf{u}$。求出垂直于 $\mathbf{u}$ 的单位向量 $\mathbf{U}$，$\mathbf{U}$ 有几种可能？
解： $||\mathbf{v}||=5$，所以$$\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{||\mathbf{v}||}=(\frac{3}{5},\frac{4}{5})$$垂直向量 $\mathbf{V}=(-4,3)$，这是因为 $\mathbf{v}\cdot \mathbf{V}=(3)(-4)+(4)(3)=0$，所以其单位向量$$\mathbf{U}=\frac{\mathbf{V}}{||\mathbf{V}||}=(-\frac{4}{5},\frac{3}{5})$$另外一个与 $\mathbf{u}$ 垂直的单位向量是 $-\mathbf{U}=(\frac{4}{5},-\frac{3}{5})$。

【例9】向量 $\mathbf{r}=(2,-1)$，$\mathbf{s}=(-1,2)$，求出向量 $\mathbf{x}=(c,d)$ 使得点积 $\mathbf{x}\cdot \mathbf{r}=1$ 且 $\mathbf{x}\cdot \mathbf{s}=0$。
解： 由题意可得 $c$ 与 $d$ 的线性方程组：
由 $\mathbf{x}\cdot \mathbf{r}=1$，得：$2c-d=1$
由 $\mathbf{x}\cdot \mathbf{s}=0$，得：$-c+2d=0$
解得：$c=2/3$，$d=1/3$，即 $\mathbf{x}=(2/3,1/3)$。