一、向量的基础知识
两个独立的数字
v
1
v_1
v1 和
v
2
v_2
v2，将它们配对可以产生一个二维向量
v
\boldsymbol{v}
v：
列向量
v
v
=
[
v
1
v
2
]
v
1
=
v
的第一个分量
v
2
=
v
的第二个分量
\textbf{列向量}\,\boldsymbol v\kern 10pt\boldsymbol v=\begin{bmatrix}v_1\\v_2\end{bmatrix}\kern 10pt\begin{matrix}v_1=\boldsymbol v\,的第一个分量\\v_2=\boldsymbol v\,的第二个分量\end{matrix}
列向量vv=[v1v2]v1=v的第一个分量v2=v的第二个分量这里将
v
\boldsymbol v
v 写成一列（column），而不是一行（row），单一的字母
v
\boldsymbol v
v（粗斜体字）表示这一对数字
v
1
v_1
v1 与
v
2
v_2
v2（浅色斜体字）。
向量的一个基础运算是向量的加法，即将两个向量的每个分量分别相加：
向量加法
v
=
[
v
1
v
2
]
与
w
=
[
w
1
w
2
]
相加得到
v
+
w
=
[
v
1
+
w
1
v
2
+
w
2
]
\textbf{向量加法}\kern 10pt\boldsymbol v=\begin{bmatrix}v_1\\v_2\end{bmatrix}\kern 5pt与\kern 5pt\boldsymbol w=\begin{bmatrix}w_1\\w_2\end{bmatrix}\kern 5pt相加得到\kern5pt\boldsymbol v+\boldsymbol w=\begin{bmatrix}v_1+w_1\\v_2+w_2\end{bmatrix}
向量加法v=[v1v2]与w=[w1w2]相加得到v+w=[v1+w1v2+w2]减法同理，
v
−
w
\boldsymbol v-\boldsymbol w
v−w 的分量是
v
1
−
w
1
v_1-w_1
v1−w1 与
v
2
−
w
2
v_2-w_2
v2−w2。
向量的另一个基础运算是数乘（scalar multiplication），一个向量可以和任意数
c
c
c 相乘，就是用
c
c
c 去乘这个向量的每个分量：
数乘
2
v
=
[
2
v
1
2
v
2
]
=
v
+
v
，
−
v
=
[
−
v
1
−
v
2
]
\textbf{数乘}\kern 10pt2\boldsymbol v=\begin{bmatrix}2v_1\\2v_2\end{bmatrix}=\boldsymbol v+\boldsymbol v，-\boldsymbol v=\begin{bmatrix}-v_1\\-v_2\end{bmatrix}
数乘2v=[2v12v2]=v+v，−v=[−v1−v2]
c
v
c\boldsymbol v
cv 的分量是
c
v
1
cv_1
cv1 与
c
v
2
cv_2
cv2，数字
c
c
c 称为 “数量”（或纯量 scalar）。
需要注意的是：
−
v
-\boldsymbol v
−v 与
v
\boldsymbol v
v 的和（sum）是零向量，以粗体
0
\boldsymbol 0
0 表示，与一般的数字
0
0
0 不同，向量
0
\boldsymbol 0
0 的分量是
0
0
0 与
0
0
0。
线性代数就是建立在
v
+
w
\boldsymbol v+\boldsymbol w
v+w 与
c
v
c\boldsymbol v
cv 与
d
w
d\boldsymbol w
dw 的运算 —— 向量的加法与数乘。
二、线性组合
将向量的加法与数乘相结合可以产生
v
\boldsymbol v
v 与
w
\boldsymbol w
w 的 “线性组合”。用
c
c
c 乘
v
\boldsymbol v
v 与
d
d
d 乘
w
\boldsymbol w
w，然后相加得到
c
v
+
d
w
c\boldsymbol v+d\boldsymbol w
cv+dw。
c
v
与
d
w
的和是
线性组合
c
v
+
d
w
c\boldsymbol v\,与\,d\boldsymbol w\,的和是\kern 10pt\colorbox{cyan}{$线性组合\,\ c\boldsymbol v+d\boldsymbol w$}
cv与dw的和是线性组合 cv+dw四种特殊的线性组合：和、差、零、数乘
c
v
c\boldsymbol v
cv：
1
v
+
1
w
=
向量的和，如图
1.1
a
1\boldsymbol v+1\boldsymbol w=向量的和，如图1.1a
1v+1w=向量的和，如图1.1a
1
v
−
1
w
=
向量的差，如图
1.1
b
1\boldsymbol v-1\boldsymbol w=向量的差，如图1.1b
1v−1w=向量的差，如图1.1b
0
v
+
0
w
=
零向量
0\boldsymbol v+0\boldsymbol w=\textbf{零向量}\kern 56pt
0v+0w=零向量
c
v
+
0
w
=
沿着
v
方向的向量
c
v
c\boldsymbol v+0\boldsymbol w=沿着\,\boldsymbol v 方向的向量\,c\boldsymbol v
cv+0w=沿着v方向的向量cv零向量永远是可能的组合（只要系数都为零），向量的 “空间” 都包含零向量。从大局上看，线性代数的工作就是取得
v
\boldsymbol v
v 和
w
\boldsymbol w
w 所有的线性组合。
对于代数来说，我们只需要向量的分量（如
4
4
4 和
2
2
2）。向量也可以画在图形上，向量
v
\boldsymbol v
v 由箭头表示，箭头向右横跨
v
1
=
4
v_1=4
v1=4 个单位，再往上走
v
2
=
2
v_2=2
v2=2 个单位，终点的坐标等于
(
4
,
2
)
(4,2)
(4,2)。这个点就是向量的另外一种表示法。向量
v
\boldsymbol v
v 可以用三种方式来描述：
向量
v
的表示法
两个数字
由
(
0
,
0
)
出发的箭头
平面上的点
向量\,\boldsymbol v\,的表示法\kern 10pt\colorbox{cyan}{两个数字}\,\,\colorbox{cyan}{由$(0,0)$出发的箭头}\,\,\colorbox{cyan}{平面上的点}
向量v的表示法两个数字由(0,0)出发的箭头平面上的点我们用数字做加法，用箭头可视化
v
+
w
\boldsymbol v+\boldsymbol w
v+w：
先沿着
v
\boldsymbol v
v 再沿着
w
\boldsymbol w
w 前进，或者沿着
v
+
w
\boldsymbol v+\boldsymbol w
v+w 走对角线；也可以先沿着
w
\boldsymbol w
w 再沿着
v
\boldsymbol v
v。换言之，
w
+
v
\boldsymbol w+\boldsymbol v
w+v 与
v
+
w
\boldsymbol v+\boldsymbol w
v+w 的答案相同。沿着平行四边形（本例是矩形）存在不同的前进方向。
三、三维向量
有两个分量的向量对应到
x
y
xy
xy 平面上的一个点，
v
\boldsymbol v
v 的分量就是点的坐标：
x
=
v
1
x=v_1
x=v1，
y
=
v
2
y=v_2
y=v2。向量从
(
0
,
0
)
(0,0)
(0,0) 出发，箭头在
(
v
1
，
v
2
)
(v_1，v_2)
(v1，v2) 结束。
如果向量有三个分量，那么就对应三维的
x
y
z
xyz
xyz 空间中的一点。下面的列向量就有三个分量：
v
=
[
1
1
−
1
]
，
w
=
[
2
3
4
]
，
v
+
w
=
[
3
4
3
]
\boldsymbol v=\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}，\boldsymbol w=\begin{bmatrix}2\\3\\4\end{bmatrix}，\boldsymbol v+\boldsymbol w=\begin{bmatrix}3\\4\\3\end{bmatrix}
v=
11−1
，w=
234
，v+w=
343
向量
v
\boldsymbol v
v 对应到三维空间的一个箭头，通常由原点出发，原点即
x
y
z
xyz
xyz 轴的交点，其坐标为
(
0
,
0
,
0
)
(0,0,0)
(0,0,0)，箭头的终点坐标是
v
1
v_1
v1，
v
2
v_2
v2，
v
3
v_3
v3。三维向量同样有三种表示方式：列向量，原点出发的箭头与箭头的终点（空间中一点）。
注意，平面向量
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y) 与三维空间的
(
x
,
y
,
0
)
(x,y,0)
(x,y,0) 是不同的。
v
=
[
1
1
−
1
]
也可以写成
v
=
(
1
,
1
,
−
1
)
\boldsymbol v=\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}\,\,也可以写成\,\,\boldsymbol v=(1,1,-1)
v=
11−1
也可以写成v=(1,1,−1)写成行形式（在括号中）是为了节省空间，但是
v
=
(
1
,
1
,
−
1
)
\boldsymbol v=(1,1,-1)
v=(1,1,−1) 不是行向量！它仍是列向量，与行向量
[
1
1
−
1
]
[1\kern 6pt1\,-1]
[11−1] 是不同的，尽管它们都具有三个分量。这里
1
×
3
1\times3
1×3 的行向量是
3
×
1
3\times1
3×1 的列向量
v
\boldsymbol v
v 的 “转置”（transpose）。
三维空间中，
v
+
w
\boldsymbol v+\boldsymbol w
v+w 仍然是每次计算一个分量，向量的和的分量是
v
1
+
w
1
v_1+w_1
v1+w1，
v
2
+
w
2
v_2+w_2
v2+w2 和
v
3
+
w
3
v_3+w_3
v3+w3，同理可以推出
4
4
4 维直至
n
n
n 维空间中向量的加法。当
w
\boldsymbol w
w 从
v
\boldsymbol v
v 的终点出发，则第三边为
v
+
w
\boldsymbol v+\boldsymbol w
v+w，平行四边形的另一个环绕方向是
w
+
v
\boldsymbol w+\boldsymbol v
w+v。这四个边是在同一平面的，向量的和
v
+
w
−
v
−
w
\boldsymbol v+\boldsymbol w-\boldsymbol v-\boldsymbol w
v+w−v−w 走完一圈产生零向量。
三维空间三个向量的线性组合，
u
+
4
v
−
2
w
\boldsymbol u+4\boldsymbol v-2\boldsymbol w
u+4v−2w：分别用
1
1
1，
4
4
4，
−
2
-2
−2 乘三个向量再相加的线性组合
[
1
0
3
]
+
4
[
1
2
1
]
−
2
[
2
3
−
1
]
=
[
1
2
9
]
\begin{bmatrix}1\\0\\3\end{bmatrix}+4\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}2\\3\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\\9\end{bmatrix}
103
+4
121
−2
23−1
=
129
四、重要问题
一个向量
u
\boldsymbol u
u，唯一的线性组合是
c
u
c\boldsymbol u
cu。对于两个向量，线性组合是
c
u
+
d
v
c\boldsymbol u+d\boldsymbol v
cu+dv。对于三个向量，线性组合是
c
u
+
d
v
+
e
w
c\boldsymbol u+d\boldsymbol v+e\boldsymbol w
cu+dv+ew。对于每个
c
c
c、
d
d
d、
e
e
e，假设
u
\boldsymbol u
u，
v
\boldsymbol v
v，
w
\boldsymbol w
w 是三维空间中的向量：
（1）所有
c
u
c\boldsymbol u
cu 的组合，图形是什么？
（2）所有
c
u
+
d
v
c\boldsymbol u+d\boldsymbol v
cu+dv 的组合，图形是什么？
（3）所有
c
u
+
d
v
+
e
w
c\boldsymbol u+d\boldsymbol v+e\boldsymbol w
cu+dv+ew 的组合，图形是什么？
上述的答案都与
u
\boldsymbol u
u、
v
\boldsymbol v
v、
w
\boldsymbol w
w 有关，若它们均为零向量，所有的线性组合都是零。如果它们都是典型的非零向量（随机选定分量，即它们两两不平行，三个向量不共面）：
（1）所有
c
u
c\boldsymbol u
cu 的组合形成一条过原点（0,0,0）的直线。
（2）所有的
c
u
+
d
v
c\boldsymbol u+d\boldsymbol v
cu+dv 的组合形成一个 过（0,0,0）的平面。
（3）所有的
c
u
+
d
v
+
e
w
c\boldsymbol u+d\boldsymbol v+e\boldsymbol w
cu+dv+ew 的组合形成三维空间。
因为当
c
c
c 为
0
0
0 时，零向量
(
0
,
0
,
0
)
(0,0,0)
(0,0,0) 会在直线上；当
c
c
c 与
d
d
d 都为
0
0
0 时，零向量会在平面上。向量
c
u
c\boldsymbol u
cu 形成的直线是无限长（正向与反向）的，三维空间中两个向量的组合，全部
c
u
+
d
v
c\boldsymbol u+d\boldsymbol v
cu+dv 会形成三维空间内一个平面，且过原点；一条直线上的所有
c
u
c\boldsymbol u
cu 加上另一条直线上的所有
d
v
d\boldsymbol v
dv 就会形成 Figure1.3 所示的平面。
当引入第三个向量
w
\boldsymbol w
w 时，所有的
e
w
e\boldsymbol w
ew 会得到第三条直线。假设第三条直线不在
u
\boldsymbol u
u 与
v
\boldsymbol v
v 形成的平面上，则
e
w
e\boldsymbol w
ew 与
c
u
+
d
v
c\boldsymbol u+d\boldsymbol v
cu+dv 的组合可以形成整个三维空间。
典型情况下，我们会得到线、面、然后空间，但是还会有其它可能的情况。若
w
\boldsymbol w
w 正好等于
c
u
+
d
v
c\boldsymbol u+d\boldsymbol v
cu+dv 时，即第三个向量
w
\boldsymbol w
w 在前两个向量所形成的平面上，那么
u
\boldsymbol u
u，
v
\boldsymbol v
v，
w
\boldsymbol w
w 的组合仍然会在
u
v
\boldsymbol{uv}
uv 平面内，也就不能得到整个三维空间。
五、主要内容总结
（1）二维空间的向量
v
\boldsymbol v
v 由两个分量
v
1
v_1
v1 和
v
2
v_2
v2。
（2）
v
+
w
=
(
v
1
+
w
1
,
v
2
+
w
2
)
\boldsymbol v+\boldsymbol w=(v_1+w_1,v_2+w_2)
v+w=(v1+w1,v2+w2)，
c
v
=
(
c
v
1
,
c
v
2
)
c\boldsymbol v=(cv_1,cv_2)
cv=(cv1,cv2)，每次计算一个分量。
（3）三个向量
u
\boldsymbol u
u，
v
\boldsymbol v
v，
w
\boldsymbol w
w 的线性组合是
c
u
+
d
v
+
e
w
c\boldsymbol u+d\boldsymbol v+e\boldsymbol w
cu+dv+ew。
（4）选取所有的
u
\boldsymbol u
u 或
u
\boldsymbol u
u，
v
\boldsymbol v
v 或
u
\boldsymbol u
u，
v
\boldsymbol v
v，
w
\boldsymbol w
w 的线性组合，在三维空间中，典型情况下，会形成一条直线或一个平面或整个空间
R
3
\textbf R^3
R3。
六、例题
【例1】
v
=
(
1
,
1
,
0
)
\boldsymbol v=(1,1,0)
v=(1,1,0) 和
w
=
(
0
,
1
,
1
)
\boldsymbol w=(0,1,1)
w=(0,1,1) 的线性组合会形成
R
3
\textbf R^3
R3 中的一个平面，描述这个平面，并找到一个不是
v
\boldsymbol v
v 与
w
\boldsymbol w
w 线性组合的向量，即不在该平面上的向量。
解：
v
\boldsymbol v
v 与
w
\boldsymbol w
w 所形成的平面包含所有的组合
c
v
+
d
w
c\boldsymbol v+d\boldsymbol w
cv+dw，该平面上的向量允许任意和
c
c
c 和
d
d
d。
线性组合
c
v
+
d
w
=
c
[
1
1
0
]
+
d
[
0
1
1
]
=
[
c
c
+
d
d
]
形成一个平面
线性组合\kern 3ptc\boldsymbol v+d\boldsymbol w=c\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}+d\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c\\c+d\\d\end{bmatrix}\kern 3pt形成一个平面
线性组合cv+dw=c
110
+d
011
=
cc+dd
形成一个平面可以发现其第二分量
c
+
d
c+d
c+d 为第一分量与第三分量之和。
(
1
,
2
,
3
)
(1,2,3)
(1,2,3) 即不在这个平面上，这是因为
2
≠
1
+
3
2\neq1+3
2=1+3。
【例2】
v
=
(
1
,
0
)
\boldsymbol v=(1,0)
v=(1,0) 与
w
=
(
0
,
1
)
\boldsymbol w=(0,1)
w=(0,1)，描述所有的
c
v
c\boldsymbol v
cv 点。
（1）当
c
c
c 为任意整数时；
（2）当
c
c
c 非负数时，
c
≥
0
c\geq0
c≥0。
再将（1）（2）得到的
c
v
c\boldsymbol v
cv 加上所有的
d
w
d\boldsymbol w
dw，描述所有的
c
v
+
d
w
c\boldsymbol v+d\boldsymbol w
cv+dw。
解：（1）当
c
c
c 为任意整数时，向量
c
v
=
(
c
,
0
)
c\boldsymbol v=(c,0)
cv=(c,0) 是沿着
x
x
x 轴（
v
\boldsymbol v
v 的方向）的等距点，包含
(
−
2
,
0
)
(-2,0)
(−2,0)，
(
−
1
,
0
)
(-1,0)
(−1,0)，
(
0
,
0
)
(0,0)
(0,0)，
(
1
,
0
)
(1,0)
(1,0)，
(
2
,
0
)
(2,0)
(2,0)。
（2）当
c
≥
0
c\geq0
c≥0 时，向量
c
v
c\boldsymbol v
cv 形成一条半线，即
x
x
x 正半轴。这条线从
(
0
,
0
)
(0,0)
(0,0) 开始，此时
c
=
0
c=0
c=0。包含点
(
100
,
0
)
(100,0)
(100,0) 与
(
π
,
0
)
(π,0)
(π,0)，但不包含
(
−
100
,
0
)
(-100,0)
(−100,0)。
（1’）加上所有的向量
d
w
=
(
0
,
d
)
d\boldsymbol w=(0,d)
dw=(0,d)，会在这些等距点
c
v
c\boldsymbol v
cv 上放置一条垂直（vertical）线，将会得到无数条（全部整数
c
c
c，任意的
d
d
d）平行线。
（2’）加上所有的向量
d
w
=
(
0
,
d
)
d\boldsymbol w=(0,d)
dw=(0,d)，会在半线上的每一个
c
v
c\boldsymbol v
cv 上放置一条垂直线，将会得到一个半平面，
x
y
xy
xy 平面的右半部分包括任意的
x
≥
0
x\geq0
x≥0 和任意的
y
y
y。
【例3】求出
c
c
c 和
d
d
d 的两个方程，使得线性组合
c
v
+
d
w
=
b
c\boldsymbol v+d\boldsymbol w=\boldsymbol b
cv+dw=b：
v
=
[
2
−
1
]
，
w
=
[
−
1
2
]
，
b
=
[
1
0
]
\boldsymbol v=\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}，\boldsymbol w=\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}，\boldsymbol b=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}
v=[2−1]，w=[−12]，b=[10]
解： 在应用数学中，很多问题都有两个部分：
- 建模（modeling）部分：利用一些方程式来表述问题。
- 计算（computational）部分：利用快速且正确的算法求解方程组。
这里仅讨论第一部分，使用方程组表示。这里可以使用一个线性代数的基础模型： 求 n 个数值 c 1 , ⋯ , c n ，使得 c 1 v + ⋯ c n v n = b 求\,n\,个数值\,c_1,\cdots,c_n，使得\,\,c_1\boldsymbol v+\cdots c_n\boldsymbol v_n=\boldsymbol b 求n个数值c1,⋯,cn，使得c1v+⋯cnvn=b当 n = 2 n=2 n=2 时即为此例题的模型。 向量方程式 c v + d w c [ 2 − 1 ] + d [ − 1 2 ] = [ 1 0 ] 向量方程式 \kern 4ptc\boldsymbol v+d\boldsymbol w\kern 10ptc\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}+d\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} 向量方程式cv+dwc[2−1]+d[−12]=[10]可以得到两个一般方程式： { 2 c − d = 1 − c + 2 d = 1 \left\{\begin{matrix}2c-d=1\\-c+2d=1\end{matrix}\right. {2c−d=1−c+2d=1每个方程式产生一条直线，两条直线相交可以解得 c = 2 / 3 c=2/3 c=2/3， d = 1 / 3 d=1/3 d=1/3。
