数学术语之源——代数——(子空间的)直和(direct sum)

news2024/11/18 22:30:57

1. 关于(子空间的)直和(direct sum)的较正式定义

令 $W_{i}$ 为向量空间 $V$ 的子空间,若 $W_{1} + ... + W_{k} = V$ 且 $W_{1}, ... ,W_{k}$ 是独立的，则称 $V$ 是子空间 $W_{1}, ... ,W_{k}$ 的直和(direct sum), 记为

$V = W_{1} \oplus ... \oplus W_{k}$ ，

这种表示在同一个基的前提下是唯一的。

一个直观几何类比理解(个人愚见)：如果我将向量空间V 看成是一条线段，将线段V截成k段长短不一的线段，这些线段之间不能互相重合，理解成子空间的互不相关，如果第i(1≤ i ≤k)段恰好对应子空间 $W_{i}$ ,则这些子线段长度之后恰好等于线段V，就类似于互相独立的子空间之和恰好等于向量空间V 。这个“直”字强调的是“无重复成分”，如果这些子空间有个别互相相关，其和等于向量空间V，这种情况不能称为直和。或许冠名“和”的术语在数学中有很多个，取名“直和”也可能是为了区分各种不同的“和”，就和“内积”和“外积”类似。

2. “直和(direct sum)”概念的可能起源

“direct sum”和“direct product”过去并不具有现在运算意义上的含义，即使在今天，旧的用法仍然存在。Van der Waerden 在<<现代代数>>(Moderne Algebra)(1930-1931)中(以下章节编号根据 1967 年版给出)，在假定运算采用加法约定时使用“direct sum”(例如，对于环和模，第 92 节)，在假定运算采用乘法约定时使用“direct product”(例如，对于一般群，第 53 节)。他还在伽罗瓦理论(Galois theory)的特殊背景下使用“direct product”来表示现在所谓的张量积(tensor product)(§67)，但这部分是在 1967 年添加的。范德瓦尔登(Van der Waerden)的书基于 Artin 和 Emmy Noether 在 1920 年代中期的讲座。基于加法/乘法惯例的和/积区别在群论中仍然流行。

Murray 和 von Neumann 从 1936 年开始使用“direct product”来表示(向量空间的)张量积，他们还首创了符号 ⊗，请参阅历史：直积成为张量积？这与矩阵的类似用途有关，例如在 MacDuffee 的<<矩阵理论>>(The theory of matrices)(1933年)中，“direct sum”代表对角组合矩阵，“direct product”代表“Kronecker”乘积。 Kronecker与此关系不大，但这个名字在Hensel c. 后一直沿用至今。1890年(Zehfuss 早在 1858 年就引入了它，请参阅 Henderson 等人的<<关于 Kronecker 积的历史>>)。“direct product”仍然偶有使用。

Bourbaki(20世纪一群法国数学家的笔名)决定在他们的代数 I(多重线性代数，1948)中对其进行整理并分类。在那里，他们为笛卡尔积(Cartesian product)(注：两个集合X和Y的笛卡尔积，表示为X × Y，第一个对象是X的每一个成员与第二个对象是Y的每个成员组成的所有可能的有序对)保留了(模块的)“direct product”(无论运算的约定如何)，为其子集保留了“direct sum”，只有有限多个非零条目，并将其与遵循Whitney 1938年的一般定义的的“张量积”分开，请参阅张量积的现代定义的起源。所有这一切都发生在通用属性(universal property)、乘积(product)和对偶积(coproduct)的分类概念(categorical notions)在 20 世纪 50 年代流行之前。但是，Bourbaki的整理工作很可能是受到无限求和(infinite sum)和对无限积的启发。